第19章 矩形、菱形与正方形
19.2 菱形
2.菱形的判定 第2课时 菱形的判定定理2
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的 是菱形.
定理1：四条边都相等的 是菱形.
定理2： 的平行四边形是菱形.
类型之一 利用“对角线互相垂直的平行四边形”证明菱形
[2024春·东坡区期末]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连结CE，AF，若AC⊥BD，求证：四边形AECF为菱形.
类型之二 菱形的判定与性质的综合运用
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N.
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求四边形BNDM的周长.
1.下列条件中，能判断四边形是菱形的是 ( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.对角线相等的平行四边形
D.对角线互相平分且垂直的四边形
2.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是 ( )
A.AB＝AD
B.∠BAC＝∠DAC
C.∠BAC＝∠ABD
D.AC⊥BD
1.[2024·上海]如图，四边形ABCD为矩形，过点A、C作对角线BD的垂线，过点B、D作对角线AC的垂线.如果四条垂线拼成一个四边形，那这个四边形为 ( )
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
2.[2024·广西]如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm.
3.[2022·北京]如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.
4.(推理能力)[2024·重庆B卷]在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连结AF、CE.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)已知：矩形ABCD，点E、F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴① ，∠OCF＝∠OAE.
∵点O是AC的中点，
∴② ，
∴△CFO≌△AEO(A.A.S.)，
∴③ .
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ .
参考答案
【预习导航】
平行四边形 四边形 对角线互相垂直
【归类探究】
【例1】略
【例2】(1)略 (2)40
【当堂测评】
1.D 2.C
【分层训练】
1.A 2.8 3.略
4.(1)作图略
(2)∠OFC＝∠OEA OC＝OA OF＝OE 四边形AECF是菱形
。第19章 矩形、菱形与正方形
19.2 菱形
2.菱形的判定 第1课时 菱形的判定定理1
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的 是菱形.
定理1：四条边都相等的 是菱形.
类型之一 利用菱形的定义判定菱形
如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为点M，AN⊥DC，垂足为点N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求证：四边形ABCD是菱形.
类型之二 利用“四边相等”判定菱形
如图，AC＝8，分别以点A、C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，连结AB、BC、CD、DA，连结BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)求BD的长.
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是 ( )
A.AB＝CD B.AB＝BC
C.∠BAD＝90° D.AC＝BD
2.如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形 ABCD 是菱形；④△ABD≌ △CDB.其中正确的是 (填序号).
1.下列命题中，正确的是 ( )
A.有一个角是60°的平行四边形是菱形
B.有一组邻边相等的四边形是菱形
C.有两边相等的平行四边形是菱形
D.四条边相等的四边形是菱形
2.如图，AC是 ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是 ( )
A.①或② B.②或③
C.③或④ D.①或④
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.求证：四边形ABCD是菱形.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P.试判断四边形MDPE的形状，并说明理由.
5.(模型观念)如图，在 ABCD中，E为边BC上的一点，连结AE、BD，且AE＝AB.
(1)求证：∠ABE＝∠EAD；
(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.
参考答案
【预习导航】
平行四边形 四边形
【归类探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】(1)四边形ABCD为菱形.理由略.
(2)BD＝6
【当堂测评】
1.B 2.①②③④
【分层训练】
1.D 2.D 3.略
4.四边形MDPE是菱形.理由略.
5.略
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