19.3　正方形 学案（含答案） 2024-2025学年数学华东师大版八年级下册

第19章　矩形、菱形与正方形
19.3　正方形
1.正方形的性质
性　　质：(1)正方形的　　　　　都相等；
(2)正方形的　　　　　都是直角；
(3)正方形的对角线　　　　　　　　　　　.
注　　意：正方形是中心对称图形，对称中心是　　　　　　　　　　，也是轴对称图形，它有　　　条对称轴.
2.正方形的判定方法
定理1：有一个角是　　　　的菱形是正方形.
定理2：有一组邻边　　　　的矩形是正方形.
类型之一　正方形的性质
　如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连结BE、CE.
(1)求证：△BAE≌△CDE；
(2)求∠AEB的度数.
类型之二　正方形的判定
　[2022·邵阳]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形.
类型之三　正方形的性质与判定的综合运用
　如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论.
1.在四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点.下列条件能判定这个四边形为正方形的是 (　　)
A.AD∥BC，∠B＝∠D
B.AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C.OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
D.OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
2.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD于点F，则∠AFC的度数是 (　　)
第2题图
A.150° B.125°
C.135° D.112.5°
3.[2023春·北京期中]如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连结CE、AE，则∠AEC的度数为　　　　　　.
第3题图
1.[2024·连云港]如图，正方形中有一个由若干个矩形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是 (　　)
第1题图
A.440cm B.320cm
C.280cm D.160cm
2.[2024·新疆]如图，在正方形ABCD中，若面积S矩形AEOH＝12，周长C矩形OFCG＝16，则S正方形EBFO＋S正方形HOGD＝　　　　.
第2题图
3.[2022·恩施州]如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.
4.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连结AE、CE，并延长CE交AD于点F.
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数.
5.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE，垂足为G.
(1)求证：AF＝BE.
(2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由.
　　　　
6.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G.
(1)BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由.
(2)求AF的长.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB＝∠C，连结BE.
(1)求证：BC∥AE.
(2)求证：四边形AEBD是矩形.
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形？请说明理由.
8.(推理能力)[2024春·仁寿县校级月考]如图，在正方形ABCD中，CF平分正方形的外角，点E在BC上.
(1)若AE＝EF，求证：AE⊥EF；
(2)若AE⊥EF，求证：AE＝EF.
参考答案
【预习导航】
1.(1)四条边　(2)四个角　(3)相等且互相垂直平分　两条对角线的交点　4
2.直角　相等
【归类探究】
【例1】(1)略　(2)∠AEB＝15°
【例2】略
【例3】四边形EFMN是正方形.证明略.
【当堂测评】
1.D　2.D　3.135°
【分层训练】
1.A　2.40　3.略
4.(1)略　(2)∠DFE＝65°
5.(1)略　(2)MP＝NQ.理由略.
6.(1)BE＝AG.证明略.　(2)AF＝
7.(1)略　(2)略
(3)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEBD是正方形.理由略.
8.略
。