专练6 反比例函数与一次函数的综合应用
1.[2024春·宜宾期末]如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(－1，6)、B，与x轴交于点C，与y轴交于点D.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标.
2.如图，一次函数y1＝－2x＋2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A、B，与y轴、x轴分别交于点C、D，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，OE＝4.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
(3)点P在x轴负半轴上，连结PA，若PA⊥AB，求点P的坐标.
3.[2022·眉山]已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M(2，a).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图，将直线y＝x向上平移b个单位长度后与y＝的图象交于点A(1，m)和点B(n，－1)，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C、D，求证：△AOD≌△BOC.
4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点A(a，3)，与x轴相交于点B.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式.
参考答案
1.(1)反比例函数的表达式为y＝－，一次函数的表达式为y＝－2x＋4.
(2)点M的坐标为或.
2.(1)y2＝－ (2)－1＜x＜0 (3)点P的坐标为(－9，0).
3.(1)y＝ (2)b＝3 (3)略
4.(1)y＝ (2)y＝－x＋
。专练9 一次函数与坐标轴围成的三角形
类型一 由一次函数的图象求三角形的面积
1.如图，在平面直角坐标系中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点.
(1)求直线l的函数表达式；
(2)求△AOB的面积.
2.如图，已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2：y＝－x＋5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求△ABC的面积.
类型二 由三角形的面积求一次函数的表达式
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－4x＋8的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在x轴上，△ABP的面积为12.若一次函数y＝kx＋b的图象经过点P和点B，求这个一次函数的表达式.
参考答案
1.(1)y＝－x＋4 (2)8
2.(1)点A的坐标为(，)，点B的坐标为(－，0)，点C的坐标为(5，0).
(2)
3.y＝8x＋8或y＝－x＋8.
。
B
O
A
X
中
A
B
O
C
X
B
A
O
X专练4 待定系数法求一次函数的表达式
类型一 已知点的坐标求表达式
1.如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2).
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标.
2.在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A(0，5)、B(－1，4)和点P(m，n).
(1)求一次函数的表达式；
(2)当n＝2时，求直线AB、直线OP与x轴围成的图形的面积；
(3)当△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值.
类型二 利用平移的性质求表达式
3.一次函数的图象与直线y＝3x－1平行，且过点(－2，－4)，求这个一次函数的表达式.
4.如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P2，点P2恰好在直线l上.
(1)写出点P2的坐标.
(2)求直线l的表达式.
(3)若将点P2先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由.
类型三 已知函数图象求表达式
5.如图，已知直线y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC＝S△AOB时，求直线OC的函数表达式.
6.如图，直线y＝2x＋2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)过点A作直线AP与y轴相交于点P，且使OP＝OA，求直线AP的函数表达式.
参考答案
1.(1)y＝2x－2 (2)点C的坐标为(2，2).
2.(1)这个一次函数的表达式为y＝x＋5. (2)5 (3)n的值为7或3.
3.y＝3x＋2.
4.(1)P2(3，3) (2)y＝2x－3 (3)点P3在直线l上.理由略.
5.(1)点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，2).
(2)y＝－x
6.(1)点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(0，2).
(2)y＝x＋1或y＝－x－1
。专练8 一次函数的方案选择问题
类型一 利用函数值的大小选择方案
1.用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数).
(1)根据题意，填写下表：
一次复印页数(页) 5 10 20 30 …
甲复印店收费(元) 0.5 2 …
乙复印店收费(元) 0.6 2.4 …
(2)设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1、y2关于x的函数关系式.
(3)当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由.
类型二 利用一次函数的性质选择方案
2.[2022春·南充期末]某商店今年春季分两次订购A、B两种商品销售，同种商品前后进价相同，具体情况如下表：
批次 A件数(件) B件数(件) 总价(元)
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
(1)求这两种商品订货的单价.
(2)夏季来临，需求增加，商店计划再订购这两种商品共1000件，其中A种件数不少于B种件数的4倍，A种每件售价30元，B种每件售价100元.求夏季销售这两种商品的毛利w(元)与再订购A种商品件数m之间的函数关系式，并求最大毛利.(毛利＝售价－进价)
参考答案
1.(1)1 3 1.2 3.3
(2)y1＝0.1x(x≥0)，y2＝
(3)顾客在乙复印店复印花费少.理由略.
2.(1)A种商品订货的单价为20元/件，B种商品订货的单价为80元/件.
(2)w＝－10m＋20000，最大毛利是12000元.
。易错易混二 函数与一次函数
易错点一 忽视一次函数y＝kx＋b中k≠0而致错
1.已知y＝(m＋1)x2－｜m｜＋n＋4.
(1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
易错点二 忽视实际问题中的自变量取值范围而致错
2.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是 ( )
易错点三 考虑问题不全而致错
3.如果函数y＝kx＋b(k≠0)的自变量x的取值范围是－2≤x≤6，相应的函数值的范围是－11≤y≤9，求此函数的表达式.
4.[2024春·顺河区校级期末]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴、y轴分别相交于点A(1，0)、B.
(1)求一次函数的表达式和点B的坐标；
(2)点C在x轴上，若△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的横坐标.
参考答案
1.(1)当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数.
(2)当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数.
2.D 3.y＝x－6或y＝－x＋4
4.(1)一次函数的表达式为y＝－2x＋2，点B的坐标为(0，2).
(2)点C的横坐标为1＋或1－或－1.
。专练7 反比例函数的应用
1.图1是一个可调节亮度的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.图2是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数的图象，该图象经过点P(880，0.25).根据图象可知，下列说法正确的是 ( )
图1
图2
A.当R＜0.25时，I＜880
B.I与R的函数关系式是I＝(R＞0)
C.当R＞1000时，I＞0.22
D.当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
2.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p(Pa)随着木板面积S(m2)的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么下列说法正确的是 ( )
A.p与S的函数表达式为p＝600S
B.当S越来越大时，p也越来越大
C.若压强不超过6000Pa时，木板面积最多0.1m2
D.当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa
3.小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在9min内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为 字/min.
4.小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当.当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y(秒)与训练次数x(次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为400秒.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x的值为6、8、10时，对应的函数值分别为y1、y2、y3，比较y1－y2与y2－y3的大小：y1－y2 y2－y3(填“＞”“＜”或“＝”).
5.[2022·台州]如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(cm)的反比例函数，当x＝6时，y＝2.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离.
6.[2024春·新昌县期末]综合与实践；
素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的支撑点P可以在横梁OB段滑动.已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，左侧托盘放置一个100g的砝码.
任务1：若右侧托盘放置50g物体，当天平平衡时，求OP的长.
素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点P到点B时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点P移动到PC长为12cm时(点P在点C的右侧)，天平恰好平衡.
任务2：求这个矿泉水瓶的质量.
素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点P，使天平平衡.
任务3：请描述右侧支撑点P的移动过程.
根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP.(不计托盘和横梁的质量)
参考答案
1.D 2.D 3.
4.(1)y＝(x＞0) (2)＞
5.(1)y＝
(2)小孔到蜡烛的距离为4cm.
6.任务1：OP的长为24cm.任务2：这个矿原水瓶的质量是10g.任务3：支撑点P向左平移16cm.
。专练10 一次函数与动点问题
类型一 动点与图形的面积
1.[2024春·渠县校级期末]如图1，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC＝5，动点P从点C出发，沿C→A→D→C运动.设点P的运动路程为x(cm)，△BCP的面积为y(cm2).若y与x的对应关系如图2所示，则图中a－b的值为 ( )
图1
图2
A.－1 B.1 C.3 D.4
2.[2024春·广元期末]如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积为 ( )
图1
图2
A.9 B.12 C.16 D.32
3.[2024·雁江区一模]如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，那么下列说法不正确的是 ( )
图1
图2
A.当x＝6时，y＝10
B.当y＝5时，x＝2
C.y的最大值是10
D.矩形MNPQ的周长是18
4.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(－2，0).现将点B向右平移6个单位长度得到点C，AC⊥BC，且AC＝5，连结AB交y轴于点D.
图1
图2
图3
(1)如图1，△ABC的面积为 ；
(2)如图2，∠CAD与∠ODA的平分线相交于点E，BF⊥AE，垂足为F，求证：∠ADE＝∠ABF；
(3)如图3，点P是线段AB上一动点，将点P向下平移2个单位长度到点Q，连结AQ、BQ、CQ，当△AQC的面积是△BQC的面积的4倍时，请直接写出此时点Q的坐标.
类型二 动点与存在性问题
5.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(1，m)为直线y＝x＋1与直线y＝－x＋b的交点.
(1)求m和b的值.
(2)直线y＝－x＋b与x轴交于点D，动点P在射线DA上从点D开始以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t s.
①若△ACP的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.
②是否存在t，使得S△CPD＝2S△ACP？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
6.[2022秋·渠县期末]【建立模型】美国总统加菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E.研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB.
【模型运用】
(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(0，－2)，点A的坐标为(4，0)，求点B的坐标.
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x＋4分别与y轴、x轴交于点A、B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式.
(3)如图4，在平面直角坐标系中，点B(6，4)，过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q(a，2a－4)位于第一象限.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请求出a的值；若不能，请说明理由.
图1
图2
图3
图4
参考答案
1.C 2.C 3.B
4.(1)15 (2)略 (3)点Q的坐标为或.
5.(1)m＝2，b＝
(2)①S＝ ②t的值为4或12.
6.(1)B(－2，2) (2)y＝x＋4(答案不唯一) (3)a的值为.
。第17章 函数及其图象
专练3 平面直角坐标系中的图形面积
类型一 直接利用点的坐标求图形的面积
1.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4，2)、B(4，6)、C(－1，3)，则△ABC的面积为 .
类型二 利用补形法求图形的面积
2.在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)、B(1，3)、C(2，－3)，求△ABC的面积.
类型三 利用分割法求图形的面积
3.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)、A(－4，10)、B(－12，8)、C(－14，0)，求四边形OABC的面积.
类型四 根据已知图形的面积利用逆向思维求点的坐标
4.如图，已知点A(－1，0)、C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)点B的坐标为 .
(2)△ABC的面积为 .
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.10 2.14 3.100
4.(1)(2，0)或(－4，0) (2)6
(3)点P的坐标为(0，)或(0，－).
。易错易混三 反比例函数
易错点一 对反比例函数的概念理解不清
1.下列函数中，表示y是x的反比例函数的是 ( )
A.y＝3x B.y＝
C.y＝ D.y＝
2.若函数y＝(m－1)x｜m｜－2是反比例函数，则m的值为 .
3.若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 .
易错点二 忽视反比例函数的图象有两个分支致错
4.反比例函数图象经过点(1，－4)，那么这个反比例函数的图象在第 象限.
易错点三 不能正确运用反比例函数的性质
5.若点A(－3，y1)、B(2，y2)、C(5，y3)都在反比例函数y＝(a为常数)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ( )
A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2
C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y2＜y1
6.反比例函数y＝的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ( )
A.k＜3 B.k＞0
C.k＞3 D.k＜0
7.在反比例函数y＝中，若0＜y＜10，则x的取值范围是 .
8.已知函数y1＝，y2＝－(k＞0)，当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a－4，求a和k的值.
易错点四 与面积结合求k值出错
9.如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A(2，m)，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，当点C在x轴正半轴上运动时，△ABC的面积为 ( )
A.3 B.6 C.12 D.先变大，后减小
10.如图，点P、Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的长方形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ的面积为S2，若S1＋S2＝3，则k的值为 ( )
A.2 B.1 C.－1 D.－2
11.如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，0)、B(0，－4)，把线段AB绕点A逆时针旋转90°到AC，AC交y轴于点D，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C.
(1)求k的值；
(2)连结BC，若点P在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且＝，求点P的坐标.
易错点五 判断函数图象时忽视了自变量(或函数值)的取值范围
12.在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的大致图象是 ( )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
参考答案
1.D 2.－1 3.k＞5 4.二、四 5.B 6.C 7.x＞1 8.a＝2，k＝4 9.A 10.D
11.(1)k＝3 (2)点P的坐标为4，.
12.B
。专练5 反比例系数k的几何意义
1.如图，直线 y＝mx 与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM.若S△ABM＝2，则k的值为 ( )
第1题图
A.－2 B.2 C.4 D.－4
2.如图，A、B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是 ( )
第2题图
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝(x＞0)，y＝(x＜0)的图象于B、C两点.若△ABC的面积为2，则k的值为 ( )
第3题图
A.－1 B.1 C.－ D.
4.如图，已知点A、B在双曲线y＝(x＞0)上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD相交于点P，P是AC的中点.若△ABP的面积为4，则k的值为 .
第4题图
5.[2022·安徽]如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k的值为 .
第5题图
6.[2024秋·海州区校级月考]如图，平行于x轴的直线与双曲线y＝(k1＞0，x＞0)，y＝(k2＞0，x＞0)的图象分别相交于A、B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为 .
第6题图
7.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝(x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E.若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k的值为 .
参考答案
1.A 2.B 3.A 4.16 5.3 6.8 7.
。
