易错易混五 矩形、菱形与正方形
易错点一 混淆矩形的性质和判定定理
1.如图，矩形EFGH的顶点F、G在等腰直角三角形ABC的斜边上，E、H分别在直角边AB、AC上，若EH＝2EF，AB＝12cm，求矩形EFGH的周长.
2.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，延长CB到点F，使BF＝CE，连结AF、OF.
(1)求证：四边形AFED是矩形；
(2)若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，求AC的长.
易错点二 混淆菱形的性质和判定定理
3.如图，已知四边形ABCD是菱形，△AEF是等边三角形，点E、F分别在边BC、CD上，且EF＝CD，则∠BAD＝ °.
4.[2024·怀化一模]如图，延长平行四边形ABCD的边AD、AB，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE＝CF，求证：四边形ABCD是菱形.
易错点三 混淆正方形的性质和判定定理
5.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点K在边AD上，连结BK交AC于点P，过点A、C作BK的垂线，垂足分别为M、N，点O是正方形ABCD的中心，连结OM、ON.
(1)求证：AM＝BN；
(2)请判断△OMN的形状，并说明理由.
易错点四 混淆菱形、矩形、正方形性质与判定
6.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.下列说法正确的个数为 ( )
①任意四边形的中点四边形是平行四边形；②平行四边形的中点四边形是菱形；③矩形的中点四边形是菱形；④菱形的中点四边形是正方形；⑤正方形的中点四边形是正方形.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1∶3两部分，则矩形的两条对角线夹角为 .
易错点五 不知如何添加辅助线
8.如图，已知P是矩形ABCD内的一点.求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
易错点六 不知如何证明线段相等
9.如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，且AE＝AD，又DF⊥AE于点F.
求证：EC＝EF.
参考答案
1.cm
2.(1)略 (2)AC＝13
3.100 4.略
5.(1)略 (2)△OMN是等腰直角三角形.理由略.
6.B 7.60°或120° 8.略 9.略
。专练13 以正方形为背景的证明与计算
类型一 正方形的性质
1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，则线段GH的长为 ( )
A. B. C. D.
2.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC的延长线上，点F在边CD的延长线上，且CE＝DF，连结AE、BF相交于点M.求证：AE＝BF.
类型二 正方形的判定
3.如图，等边三角形AEF的顶点E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
4.如图，AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，O是AC的中点，延长DO到点E，使AE∥BC，连结CE.
(1)求证：四边形ADCE是矩形.
(2)①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝ ；
②若AD＝10，则BC＝ 时，四边形ADCE是正方形.
5.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(点P与点B、C不重合)，点Q在边CD上，且BP＝CQ，连结AP、BQ，交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN，交BA的延长线于点M.
(1)求证：AP⊥BQ；
(2)若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
(3)当BP＝m，PC＝n时，求AM的长.
类型三 正方形的探究型问题
6.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交射线DC于点Q.
(1)如图1，当点Q在边DC上时，探究PB与PQ所满足的数量关系.
小明探究此问题的方法如下：
过点P作PE⊥DC于点E，PF⊥BC于点F，
根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF，
再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论.
请你按照小明的方法写出PB与PQ满足的数量关系.
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.
图1
图2
参考答案
1.B 2.略 3.略
4.(1)略 (2)①120 ②20
5.(1)略 (2)QM＝ (3)AM＝
6.(1)PB＝PQ (2)PB＝PQ.证明略.
。专练15 四边形中的动点问题
1.已知在 ABCD中，动点P在边AD上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动.
(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数.
(2)在(1)的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的周长.
(3)在(2)的条件下，如图2，另一动点Q在边BC上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止).若AD＝6cm，当运动时间为 秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形.
图1
图2
2.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是 ，菱形ABCD的面积是 .
(2)如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由.
(3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，判断OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系.
图1
图2
参考答案
1.(1)∠B＝60° (2)12cm (3)4.8，8或9.6
2.(1)12 96
(2)OE＋OF的值是定值.理由略.
(3)OE＋OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.
。专练16 特殊平行四边形中的最值问题
1.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为 .
第1题图
2.如图，在矩形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在 .
第2题图
3.如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值.
4.已知正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值.
5.如图，在正方形ABCD中，F为边BC上的定点，E、G分别是边AB、CD上的动点，AF和EG相交于点H，且AF⊥EG.
若AB＝6，BF＝2，连结AG、EF，求AG＋EF的最小值.
参考答案
1. 2.AD的中点 3.AB的最小值为. 4.PF＋PE的最小值为. 5.AG＋EF的最小值为.
。
D
P
A
C
E
B
A
D
B
C
C
A
D
O
B
F
F
A
D
G
H
E
B
F
C专练14 与正方形有关的四个常考类型
类型一 正方形中相交垂线段问题
【模型归纳】
正方形内，分别连结两组对边上任意两点，得到的两条线段，如图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG，满足：若垂直，则相等；若相等，则垂直.
图1
图2
图3
1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝CF.连结AF、BE，AF和BE之间有什么数量关系和位置关系？为什么？
类型二 正方形中过对角线交点的直角问题
【模型归纳】
如图，在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E、F分别在AB、BC上.若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝S正方形ABCD.
2.如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.
(1)求证：△AOE≌△BOF；
(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
类型三 正方形中三垂直全等类型
【模型归纳】
我们可以从汉代数学家赵爽的弦图(如图1，由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形全等模型图(如图2、图3)，即“一线三等角”模型.
3.(1)如图3，正方形ABCD中，AE⊥DE，DE＝4，求△CDE的面积.
(2)如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，DE⊥DC，DE＝DC，求△ADE的面积.
类型四 正方形中的半角类型
【模型归纳】
(1)如图1，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.
(2)如图2，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.
4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
参考答案
1.BE＝AF，BE⊥AF.理由略.
2.(1)略
(2)两个正方形重叠部分的面积等于a2.理由略.
3.(1)8 (2)1
4.(1)略 (2)GE＝BE＋GD成立.理由略.
。第19章 矩形、菱形与正方形
专练12 矩形的性质与判定的综合
类型一 矩形的性质
1.如图，在矩形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DE＝EF＝FB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AE⊥BD，AF＝3，AB＝4，求BF的长度.
2.如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF.
(1)求证：△AEH≌△CGF；
(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.
类型二 矩形的判定
3.如图，E是 ABCD中边BC的中点，连结AE并延长，交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)连结AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC是矩形.
4.如图，分别以△ABC的三边为底边在直线BC的同一侧作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形？
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
(3)当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？请说明理由.
5.如图，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：EO＝FO.
(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论.
(3)在第(2)问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，则四边形ABCE的面积为 .
参考答案
1.(1)略 (2)BF＝
2.(1)略 (2)四边形EFGH是平行四边形.理由略.
3.略
4.(1)四边形ADEF是平行四边形.
(2)当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形.理由略.
(3)当∠BAC＝60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.理由略.
5.(1)略 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形.证明略. (3)24
。
