2025年哈佛-麻省数学竞赛（HMMT）2月锦标赛（团体赛与抢答赛）试题（PDF版，无答案）

2025年哈佛-麻省数学竞赛(HMMT)2月锦标赛（团体赛）
团体赛(Team Ronud):60分钟，团队协作完成l0道证明题或解答题
1(20分).正整数a6,c是两两不同，且。方。依次构成一个递增的等差数列.证明g0d(a,6)>
2(25分).多联骨牌是由一个或多个单位正方形边对边拼接而成的连通图形.计算没有空洞、周长
为180且面积为2024的不同构多联骨牌的数量，并证明你的结论.
3(30分).设圆w和2相交于不同点A和B.点X为1上的动点，在w2上选取点Y,使得
AB平分∠XAY.证明：△AXY的外心（若存在）在一条定直线上
4(35分).杰瑞在一个2025×2025的单元格网格中，每个单元格最多放置一个车.如果两个车在
同一行或同一列，且它们之间没有其他车，那么一个车会攻击另一个车.求杰瑞在网格上最多能放
置多少个车，使得没有一个车能够攻击另外4个车，并证明你的结论
5(35分).设△ABC是一个锐角三角形，垂心为H.点E和F分别在线段AC和AB上，使
得∠EHF=90°.设X是从H到EF的垂线的垂足.证明：∠BXC=90°.
6(40分).复数w1,w2,·,wn的模都为1.设z是一个与1，w2,·,wn都不同的复数，且满足
名+4+名+2+…++=0
2-12-w2
z-Wn
证明：=1，
7(45分).确定一个正方形是否能被分割成有限个（不一定全等）内角分别为30°、75°和75°的
三角形，并证明你的结论
8(50分).设△ABC的内心为I.△ABC的内切圆与BC相切于D,设M是BC的中点，直
线AI与△ABC的外接圆再次相交于点L(L≠A).设w是以L为圆心且与AB和AC相切的
圆.如果w与线段AD相交于点P,证明：∠IPM=90°，
9(60分).求所有的质数p,使得存在函数∫：Z→Z,满足对于任意整数x,都有f(x+p)=f(x),
且p|f(x+f(x)一x,并证明你的结论
10(60分).对于所有正整数三元组(a,b,c),求gcd(a2+b2+c2,abc)的所有可能值，并证明你的
结论
2025年哈佛-麻省数学竞赛（(HMMT)2月锦标赛（抢答赛）
抢答赛(Guts Ronud):80分钟，团队协作完成36道题，按组提交并实时记分
1(5分).如果一个9位数恰好使用1到9这9个数字各一次，就称它为“食火鸡数”计算“食火鸡
数”中质数的个数
20+26-玉的值·
26分.计算25+0
3(5分)，雅各布掷两枚标准的六面骰子，如果这两枚骰子的结果相同，他就再掷一枚标准的六面
骰子，计算他掷出的所有骰子点数之和为偶数的概率，
4(5分).设△ABC是边长为4的等边三角形.对于满足[PAB+[PAC=[PBC的△ABC
内部所有点P,计算PA的最小可能长度.（这里，[XY 表示△XYZ的面积）
5(6分).计算在坐标平面中，包含在区域x+≤1内的圆的最大可能半径.
6(6分).设△ABC是等边三角形.点D在线段BC上，且BD=1,DC=4.点E和F分
别在射线AC和AB上，使得D是EF的中点.计算EF的长度.
76分.已知”是一个整数计算它的质因数之和
8(6分).棋盘是一个矩形单元格网格，单元格黑白相间染色，使得左上角单元格为黑色，且任意
两个同色单元格不共用边.两个棋盘不同当且仅当它们的行数或列数不同.例如，一个20×25的
棋盘和一个25×20的棋盘被视为不同的棋盘.计算恰好有41个黑色单元格的不同棋盘的数量.
9(T分).在正六边形ABCDEF内部均匀且独立地随机选取点P和Q.计算线段PQ完全包含
在四边形ABCD、BCDE、CDEF、DEFA、EFAB或FABC中至少一个内的概率.
10(7分).一个边长为1的正方形被分割成两个全等的五边形.计算其中一个五边形周长的最小
上界
11(7分).设f(n)=n2+100.计算ff(…f(f(1)…)除以104的余数.
2025个f
12(7分).霍尔顿有一组多边形.他写下每个多边形的每个内角的度数，得到一个列表：30°、50°、
60°、70°、90°、100°、120°、160°和x°，顺序不定.计算x的值.
13(9分).如果一个数的十进制数字从左到右是不减的，就称这个数是“递增数”.计算小于10且
既是“递增数”又是11的倍数的正整数的个数，
14(9分).平行四边形P可以沿一条直线折叠，使得折叠后的图形是一个边长为1的正五边形.
计算平行四边形P的周长
15(9分).直角三角形△DEF中，∠D=90°，∠F=30°，它内接于等边三角形△ABC,使得
D、E、F分别在线段BC、CA、AB上，已知BD=7,DC=4,计算DE的长度.