1.2 直线的方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2 直线的方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:03:33 | ||
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文档简介
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1.2 直线的方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )
A. B.
C. D.
2．若过点的直线l与坐标轴交于A，B两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为( )
A.或
B.或或
C.或
D.或或
4．过点作直线l，若l经过点和，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
5．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
6．过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.4条 B.2条 C.3条 D.1条
7．直线过点，则直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为( )
A.6 B.12 C.18 D.24
8．已知直线l过点，且与坐标轴分别相交于点A B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.直线必过定点
B.过，两点的直线方程为
C.直线的倾斜角为
D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10．下列说法正确的是( )
A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11．已知直线l过点，且直线l在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为_________.
13．已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，两点，O为坐标原点，则的最小值为_________.
14．直线l过点，且横截距为纵截距的两倍，则直线l的方程是_____.（请用直线方程的一般式作答）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，直线l的斜率小于0，且l经过点.l与坐标轴交于M、N两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
16．在平面直角坐标系中，直线过点.
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B点，当面积最小时，求直线l的方程.
17．已知直线方程为.
(1)若直线的倾斜角为，求k的值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程.
18．设k为实数，若直线l的方程为，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为2；
(2)直线l与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为12.
19．求符合下列条件的直线l的方程：
（1）过点，且斜率为；
（2）过点，；
（3）经过点且在两坐标轴上的截距相等.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意不妨设直线l与直线的斜率分别为，，倾斜角分别为，，，
而，，又由二倍角公式，
所以有，整理得，解得或（舍去），
所以设直线l的方程为，
则直线l与坐标轴分别交于，，
所以由题意直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为，
解得，所以设直线l的方程为，
当时，它可以变形为.
故选：C.
2．答案：D
解析：由题意直线l显然不过原点，所以不妨设直线l：，，，
又点在直线l上，所以，，
又三角形的面积为16，所以，，
所以，整理得；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的a分别为，；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的a分别为，；
综上所述：满足题意的直线为：，，共有4条.
故选：D.
3．答案：B
解析：①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
综上所述，直线方程为：或或.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为a，b均为正整数，所以可设直线，将的坐标代入直线方程得.当时，，方程无解；当时，.因为，，所以，所以或，所以或即满足题意的直线l有2条.
5．答案：D
解析：已知直线经过第一、二、三象限，则直线在x轴上的截距，在y轴上的截距，
由直线的斜率小于1，可知，结合可得，
对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误，
对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误，
对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误，
对于D，，，则，故选项D正确.
故选：D.
6．答案：C
解析：当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得，
故方程为；
当截距不为0时，
①截距相等时，设方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
②截距互为相反数时，设直线方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
一条是截距为0，一条是截距相等（不为0），一条是截距互为相反数（不为0），共3条.
故选：C.
7．答案：B
解析：因为直线过点，所以，
令，可得，即直线l与y轴交于点，
令，可得，即直线l与x轴交于点，
依题意可得、，所以，则，当且仅当，
即、时取等号，
所以直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号，
即直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为12.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题知直线的斜率存在，且不过原点，
所以设直线l方程为，，
所以直线l与x轴交点坐标为，直线l与y轴交点坐标为，
所以面积为，即，
所以或，
解方程，即，解得，
解方程，即，解得.
所以这样的直线有3条.
故选：C.
9．答案：AD
解析：对于A，因为直线可以化为：，令，则，解得，，所以直线过定点，故A正确；
对于B，当，时，过，两点的直线方程为，故B不正确；
对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；
对于D，直线与两坐标轴的交点分别为，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确.
故选：AD.
10．答案：AC
解析：对于A，任意一条直线都有倾斜角，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故A正确，
对于B，直线的倾斜角为，时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误，
对于C，直线，令，，令，，
故与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确，
对于D，当直线在x轴和y轴上截距为0时，所求直线方程为，
当直线在x轴和y轴上截距不为0时，所求直线方程为，
综上所述，所求直线的方程为或，故D错误.
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：当直线l过原点时，设直线方程为，因过点，则直线l的方程为，即，故A正确；
当直线l截距相等时，设直线方程为，因过点，则，则直线l的方程为，故C正确；
当直线l截距互为相反数时，设直线方程为，因过点，则，则直线l的方程为，故B正确.
故选：ABC.
12．答案：
解析：因为，
所以由，
因此直线恒过点，且该直线的斜率
所以由，
因此直线也恒过点，且该直线的，
设直线与纵轴的交点为，直线与横轴的交点为，
点为C点，
所以，与两坐标轴围成的四边形为四边形，
如图所示：
，
当时，有最小值，
故答案为：.
13．答案：9
解析：直线l与x轴、y轴分别交于，，
可设直线的截距式，直线l过点，，且，，
，
当且仅当，即时，取得最小值9.
故答案为：9.
14．答案：或
解析：当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，
又直线过点，
所以，解得，
所以直线方程为，即；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，
由题意可得，解得，
所以直线方程为，即；
综上可知所求直线方程为或，
故答案为：或.
15．答案：面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为
解析：设直线方程为：，因为直线过点，且直线斜率小于0，
所以，且，.
所以
，
当且仅当，即，时取等号
故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为.
16．答案：(1)，或
(2)
解析：(1)若横截距，则纵截距，
则直线l过，，
直线l的方程为，即；
若横截距，则纵截距，
则直线l的方程为，把点代入，得，解得，
直线l的方程为；
综上：直线l的方程为或.
(2)直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
则直线l的斜率存在且不为0，设为m，且，
则直线l的方程为，即，
、，
面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值为4，
此时直线l的方程为，即.
17．答案：(1)
(2)面积的最小值为4，此时直线l的方程为
解析：(1)由题意可得.
(2)在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知，直线l的斜率为，解得.
(2)由题意可知，在直线l的方程中，令，可得，
令时，可得，
所以，直线l分别交x、y轴于点、，
由题意可得，解得.
由题意可得，整理可得，
因为，解得.
19．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）所求直线过点，且斜率为，
直线方程为，即.
（2）所求直线过点，，
，直线方程为，即.
（3）当直线过原点时，设直线方程为.
直线过点，，直线方程为，即.
当直线不过原点时，设直线方程为.
将点的坐标代入上式，得，解得，
故直线的方程为.
综上，直线方程为或.
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1.2 直线的方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )
A. B.
C. D.
2．若过点的直线l与坐标轴交于A，B两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为( )
A.或
B.或或
C.或
D.或或
4．过点作直线l，若l经过点和，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
5．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
6．过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.4条 B.2条 C.3条 D.1条
7．直线过点，则直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为( )
A.6 B.12 C.18 D.24
8．已知直线l过点，且与坐标轴分别相交于点A B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.直线必过定点
B.过，两点的直线方程为
C.直线的倾斜角为
D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10．下列说法正确的是( )
A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11．已知直线l过点，且直线l在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为_________.
13．已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，两点，O为坐标原点，则的最小值为_________.
14．直线l过点，且横截距为纵截距的两倍，则直线l的方程是_____.（请用直线方程的一般式作答）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，直线l的斜率小于0，且l经过点.l与坐标轴交于M、N两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
16．在平面直角坐标系中，直线过点.
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B点，当面积最小时，求直线l的方程.
17．已知直线方程为.
(1)若直线的倾斜角为，求k的值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程.
18．设k为实数，若直线l的方程为，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为2；
(2)直线l与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为12.
19．求符合下列条件的直线l的方程：
（1）过点，且斜率为；
（2）过点，；
（3）经过点且在两坐标轴上的截距相等.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意不妨设直线l与直线的斜率分别为，，倾斜角分别为，，，
而，，又由二倍角公式，
所以有，整理得，解得或（舍去），
所以设直线l的方程为，
则直线l与坐标轴分别交于，，
所以由题意直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为，
解得，所以设直线l的方程为，
当时，它可以变形为.
故选：C.
2．答案：D
解析：由题意直线l显然不过原点，所以不妨设直线l：，，，
又点在直线l上，所以，，
又三角形的面积为16，所以，，
所以，整理得；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的a分别为，；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的a分别为，；
综上所述：满足题意的直线为：，，共有4条.
故选：D.
3．答案：B
解析：①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
综上所述，直线方程为：或或.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为a，b均为正整数，所以可设直线，将的坐标代入直线方程得.当时，，方程无解；当时，.因为，，所以，所以或，所以或即满足题意的直线l有2条.
5．答案：D
解析：已知直线经过第一、二、三象限，则直线在x轴上的截距，在y轴上的截距，
由直线的斜率小于1，可知，结合可得，
对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误，
对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误，
对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误，
对于D，，，则，故选项D正确.
故选：D.
6．答案：C
解析：当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得，
故方程为；
当截距不为0时，
①截距相等时，设方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
②截距互为相反数时，设直线方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
一条是截距为0，一条是截距相等（不为0），一条是截距互为相反数（不为0），共3条.
故选：C.
7．答案：B
解析：因为直线过点，所以，
令，可得，即直线l与y轴交于点，
令，可得，即直线l与x轴交于点，
依题意可得、，所以，则，当且仅当，
即、时取等号，
所以直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号，
即直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为12.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题知直线的斜率存在，且不过原点，
所以设直线l方程为，，
所以直线l与x轴交点坐标为，直线l与y轴交点坐标为，
所以面积为，即，
所以或，
解方程，即，解得，
解方程，即，解得.
所以这样的直线有3条.
故选：C.
9．答案：AD
解析：对于A，因为直线可以化为：，令，则，解得，，所以直线过定点，故A正确；
对于B，当，时，过，两点的直线方程为，故B不正确；
对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；
对于D，直线与两坐标轴的交点分别为，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确.
故选：AD.
10．答案：AC
解析：对于A，任意一条直线都有倾斜角，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故A正确，
对于B，直线的倾斜角为，时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误，
对于C，直线，令，，令，，
故与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确，
对于D，当直线在x轴和y轴上截距为0时，所求直线方程为，
当直线在x轴和y轴上截距不为0时，所求直线方程为，
综上所述，所求直线的方程为或，故D错误.
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：当直线l过原点时，设直线方程为，因过点，则直线l的方程为，即，故A正确；
当直线l截距相等时，设直线方程为，因过点，则，则直线l的方程为，故C正确；
当直线l截距互为相反数时，设直线方程为，因过点，则，则直线l的方程为，故B正确.
故选：ABC.
12．答案：
解析：因为，
所以由，
因此直线恒过点，且该直线的斜率
所以由，
因此直线也恒过点，且该直线的，
设直线与纵轴的交点为，直线与横轴的交点为，
点为C点，
所以，与两坐标轴围成的四边形为四边形，
如图所示：
，
当时，有最小值，
故答案为：.
13．答案：9
解析：直线l与x轴、y轴分别交于，，
可设直线的截距式，直线l过点，，且，，
，
当且仅当，即时，取得最小值9.
故答案为：9.
14．答案：或
解析：当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，
又直线过点，
所以，解得，
所以直线方程为，即；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，
由题意可得，解得，
所以直线方程为，即；
综上可知所求直线方程为或，
故答案为：或.
15．答案：面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为
解析：设直线方程为：，因为直线过点，且直线斜率小于0，
所以，且，.
所以
，
当且仅当，即，时取等号
故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为.
16．答案：(1)，或
(2)
解析：(1)若横截距，则纵截距，
则直线l过，，
直线l的方程为，即；
若横截距，则纵截距，
则直线l的方程为，把点代入，得，解得，
直线l的方程为；
综上：直线l的方程为或.
(2)直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
则直线l的斜率存在且不为0，设为m，且，
则直线l的方程为，即，
、，
面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值为4，
此时直线l的方程为，即.
17．答案：(1)
(2)面积的最小值为4，此时直线l的方程为
解析：(1)由题意可得.
(2)在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知，直线l的斜率为，解得.
(2)由题意可知，在直线l的方程中，令，可得，
令时，可得，
所以，直线l分别交x、y轴于点、，
由题意可得，解得.
由题意可得，整理可得，
因为，解得.
19．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）所求直线过点，且斜率为，
直线方程为，即.
（2）所求直线过点，，
，直线方程为，即.
（3）当直线过原点时，设直线方程为.
直线过点，，直线方程为，即.
当直线不过原点时，设直线方程为.
将点的坐标代入上式，得，解得，
故直线的方程为.
综上，直线方程为或.
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