1.4两条直线的交点--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.4两条直线的交点--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:04:44 | ||
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文档简介
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1.4两条直线的交点--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，，则欧拉线的方程为( )
A. B.
C. D.
3．设集合，，若，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4．已知直线：，：，则与( )
A.通过平移两直线可能会重合 B.不可能会垂直
C.通过绕上某点旋转可以重合 D.可能与x轴围成等腰直角三角形
5．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，关于：和：的交点情况是( )
A.存在k、、使之无交点
B.存在k、、使之有无穷多交点
C.无论k、、如何，总是无交点
D.无论k、、如何，总是唯一交点
6．若直线与平行，并且经过直线和的交点，则a，b的值分别为( )
A.-3，-4 B.3，4 C.4，3 D.-4，-3
7．已知直线l过直线和的交点，且与直线垂直，则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
8．已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若三条直线，与共有两个交点，则实数a的值为( ).
A.1 B.2 C.－2 D.－1
10．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，BD与CE交于点O，则( )
A.
B.
C.
D.方向上的投影向量的模为
11．已知直线，，，以下结论正确的是( )
A.不论a为何值时，与都互相垂直
B.当a变化时，与分别经过定点和
C.如果与交于点M，则的最大值是
D.不论a为何值时，与都关于直线对称
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若三条直线：，：，：不能围成三角形，则实数m取值的集合为____________.
13．过两直线和的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______.
14．若直线与直线的交点位于第一象限，则k的取值范围是____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知两直线和的交点为P.求：
（1）过点P与点的直线方程；
（2）过点P且与直线垂直的直线方程.
16．已知直线，.
（1）求直线与的交点坐标；
（2）已知直线l经过点，且与直线平行，设l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
17．已知直线l：.
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是（1）中的定点M，求直线l的方程.
18．已知直线的倾斜角为.
（1）求a；
（2）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为-2，求直线与直线的交点坐标.
19．判断下列各组直线与是否相交.若相交，求出它们的交点.
（1），；
（2），.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，联立，解得，
因直线l与直线的交点位于第一象限，所以，解得，
又因且，所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：由题可得的重心为，
直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为，即，
直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为，即，
联立可得垂心坐标为，
则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，
所以欧拉线的方程为.
故选：D.
3．答案：C
解析：由题知集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
易知直线与直线不重合，
所以当时，直线与直线相交且交点不是点，
当时，两条直线相交且交点为，符合题意；
当时，由且，得且且.
综上，且.
故选：C.
4．答案：C
解析：对于A选项，若能通过平移两直线可能会重合，则两直线一定平行，故，显然矛盾，故错误；
对于B选项，当时，两直线为垂直关系，故错误；
对于C选项，由题知，与必相交，故通过绕与的交点旋转可以使得与重合，故正确；
对于D选项，因为，所以直线：与x轴不能垂直，
因为：的斜率为3，故与x轴也不能垂直，
所以，要想，与x轴围成直角三角形，则，
此时联立方程得与的交点坐标为，
因为与x轴交点为坐标原点O，与x轴交点为，
显然不在的中垂线上，
故此直角三角形不可能为等腰直角三角形，故D选项错误.
故选：C.
5．答案：D
解析：与是直线（k为常数）上两个不同的点，直线的斜率存在，
，即，并且，，
，
，解得：，
即.
方程组有唯一解.
故选：D.
6．答案：B
解析：由得，由题意得，解得.
故选：B.
7．答案：A
解析：联立，解得，
直线和的交点为，
又直线l和直线垂直，
直线l的斜率为-3.
则直线l的方程为，即.
故选：A.
8．答案：D
解析：可化为，直线过定点，
故选：D.
9．答案：AC
解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.
直线和直线不平行，
直线和直线平行或直线和直线平行.
的斜率为1，的斜率为－2，的斜率为a，
或时，两直线分别平行且不重合，符合题意
故选：AC.
10．答案：BD
解析：如图，以B为坐标原点，所在直线为x轴，垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，，因为，故E为的中点，所以，设，则，，因为，故，即，解得：，则，
设直线：，则代入，解得：，所以直线：，
设直线：，把，代入，解得：，，
所以直线：，联立，解得：，故，A选项：，A选项错误；B选项：，故B选项正确；
，，，，
所以，故，C选项错误；方向上的投影向量的模为，故方向上的投影向量的模为，D选项正确.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：对于A，如果，则，，分别平行于x轴和y轴，显然；
如果，则，，，恒成立，故A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；
对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，故B正确；
对于D，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知，当时，则点在上，
当、时不成立，则点不在上，
即不论a为何值时，与不一定关于直线对称，故D错误；
对于C，联立，解得：，即，
，即的最大值是，故C正确；
故选：ABC.
12．答案：
解析：当三条直线交于一点时不能围成三角形：由，
解得和的交点A的坐标，
由A在上可得，
解得
因为与相交，所以当、、有两条直线平行时不能围成三角形，
当时，，即，
当时，，即，
显然、与不可能重合.
综上，，，时，这三条直线不能围成三角形，
实数m的取值集合是.
故答案为：.
13．答案：或
解析：联立解得
两条直线和的交点坐标为.
当直线l过原点时，设直线方程为，代入可得，即；
当直线l不过原点时，设直线方程为，代入可得
直线方程为.
经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或.
故答案为：或.
14．答案：
解析：解法一：由题意知直线l过定点，直线与x轴，y轴的交点分别为，，如图所示，
要使两直线的交点在第一象限，
则直线l的斜率，而，
.
解法二：解方程组，
得，
由题意知且.
，且，解得.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，解得，则交点，
又所求直线的斜率，
则所求直线的方程为，即；
（2）直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
又所求直线过点，
则所求直线的方程为，即.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）联立方程组，解得，
所以直线与的交点坐标为.
（2）因为，所以它们的斜率相等，设直线l的方程为，
将点的坐标代入方程，得，解得，
所以直线l的方程为.
令，得；令，得.
所以.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：直线l的方程化为，
令，解得，
所以不论m为何实数，直线l恒过一定点；
（2）由题意设，
因为M是线段PQ的中点，则，
又点P在直线上，
则，解得，
所以，
所以直线l的方程为，即.
18．答案：（1）-1
（2）
解析：（1）因为直线的斜率为，即，故.
（2）依题意，直线的方程为.
将代入，得，故所求交点的.
19．答案：（1）两直线相交，交点坐标为：
（2）两直线平行，不相交
解析：（1）由直线，知直线斜率为，
由直线，知直线斜率为，
，所以直线与直线相交.
由，解得，
即交点坐标为： .
（2）.
由直线，知直线斜率为，
由直线，知直线斜率为，
两直线的斜率相等，且两直线不重合，故，无交点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1.4两条直线的交点--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，，则欧拉线的方程为( )
A. B.
C. D.
3．设集合，，若，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4．已知直线：，：，则与( )
A.通过平移两直线可能会重合 B.不可能会垂直
C.通过绕上某点旋转可以重合 D.可能与x轴围成等腰直角三角形
5．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，关于：和：的交点情况是( )
A.存在k、、使之无交点
B.存在k、、使之有无穷多交点
C.无论k、、如何，总是无交点
D.无论k、、如何，总是唯一交点
6．若直线与平行，并且经过直线和的交点，则a，b的值分别为( )
A.-3，-4 B.3，4 C.4，3 D.-4，-3
7．已知直线l过直线和的交点，且与直线垂直，则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
8．已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若三条直线，与共有两个交点，则实数a的值为( ).
A.1 B.2 C.－2 D.－1
10．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，BD与CE交于点O，则( )
A.
B.
C.
D.方向上的投影向量的模为
11．已知直线，，，以下结论正确的是( )
A.不论a为何值时，与都互相垂直
B.当a变化时，与分别经过定点和
C.如果与交于点M，则的最大值是
D.不论a为何值时，与都关于直线对称
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若三条直线：，：，：不能围成三角形，则实数m取值的集合为____________.
13．过两直线和的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______.
14．若直线与直线的交点位于第一象限，则k的取值范围是____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知两直线和的交点为P.求：
（1）过点P与点的直线方程；
（2）过点P且与直线垂直的直线方程.
16．已知直线，.
（1）求直线与的交点坐标；
（2）已知直线l经过点，且与直线平行，设l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
17．已知直线l：.
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是（1）中的定点M，求直线l的方程.
18．已知直线的倾斜角为.
（1）求a；
（2）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为-2，求直线与直线的交点坐标.
19．判断下列各组直线与是否相交.若相交，求出它们的交点.
（1），；
（2），.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，联立，解得，
因直线l与直线的交点位于第一象限，所以，解得，
又因且，所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：由题可得的重心为，
直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为，即，
直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为，即，
联立可得垂心坐标为，
则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，
所以欧拉线的方程为.
故选：D.
3．答案：C
解析：由题知集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
易知直线与直线不重合，
所以当时，直线与直线相交且交点不是点，
当时，两条直线相交且交点为，符合题意；
当时，由且，得且且.
综上，且.
故选：C.
4．答案：C
解析：对于A选项，若能通过平移两直线可能会重合，则两直线一定平行，故，显然矛盾，故错误；
对于B选项，当时，两直线为垂直关系，故错误；
对于C选项，由题知，与必相交，故通过绕与的交点旋转可以使得与重合，故正确；
对于D选项，因为，所以直线：与x轴不能垂直，
因为：的斜率为3，故与x轴也不能垂直，
所以，要想，与x轴围成直角三角形，则，
此时联立方程得与的交点坐标为，
因为与x轴交点为坐标原点O，与x轴交点为，
显然不在的中垂线上，
故此直角三角形不可能为等腰直角三角形，故D选项错误.
故选：C.
5．答案：D
解析：与是直线（k为常数）上两个不同的点，直线的斜率存在，
，即，并且，，
，
，解得：，
即.
方程组有唯一解.
故选：D.
6．答案：B
解析：由得，由题意得，解得.
故选：B.
7．答案：A
解析：联立，解得，
直线和的交点为，
又直线l和直线垂直，
直线l的斜率为-3.
则直线l的方程为，即.
故选：A.
8．答案：D
解析：可化为，直线过定点，
故选：D.
9．答案：AC
解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.
直线和直线不平行，
直线和直线平行或直线和直线平行.
的斜率为1，的斜率为－2，的斜率为a，
或时，两直线分别平行且不重合，符合题意
故选：AC.
10．答案：BD
解析：如图，以B为坐标原点，所在直线为x轴，垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，，因为，故E为的中点，所以，设，则，，因为，故，即，解得：，则，
设直线：，则代入，解得：，所以直线：，
设直线：，把，代入，解得：，，
所以直线：，联立，解得：，故，A选项：，A选项错误；B选项：，故B选项正确；
，，，，
所以，故，C选项错误；方向上的投影向量的模为，故方向上的投影向量的模为，D选项正确.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：对于A，如果，则，，分别平行于x轴和y轴，显然；
如果，则，，，恒成立，故A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；
对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，故B正确；
对于D，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知，当时，则点在上，
当、时不成立，则点不在上，
即不论a为何值时，与不一定关于直线对称，故D错误；
对于C，联立，解得：，即，
，即的最大值是，故C正确；
故选：ABC.
12．答案：
解析：当三条直线交于一点时不能围成三角形：由，
解得和的交点A的坐标，
由A在上可得，
解得
因为与相交，所以当、、有两条直线平行时不能围成三角形，
当时，，即，
当时，，即，
显然、与不可能重合.
综上，，，时，这三条直线不能围成三角形，
实数m的取值集合是.
故答案为：.
13．答案：或
解析：联立解得
两条直线和的交点坐标为.
当直线l过原点时，设直线方程为，代入可得，即；
当直线l不过原点时，设直线方程为，代入可得
直线方程为.
经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或.
故答案为：或.
14．答案：
解析：解法一：由题意知直线l过定点，直线与x轴，y轴的交点分别为，，如图所示，
要使两直线的交点在第一象限，
则直线l的斜率，而，
.
解法二：解方程组，
得，
由题意知且.
，且，解得.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，解得，则交点，
又所求直线的斜率，
则所求直线的方程为，即；
（2）直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
又所求直线过点，
则所求直线的方程为，即.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）联立方程组，解得，
所以直线与的交点坐标为.
（2）因为，所以它们的斜率相等，设直线l的方程为，
将点的坐标代入方程，得，解得，
所以直线l的方程为.
令，得；令，得.
所以.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：直线l的方程化为，
令，解得，
所以不论m为何实数，直线l恒过一定点；
（2）由题意设，
因为M是线段PQ的中点，则，
又点P在直线上，
则，解得，
所以，
所以直线l的方程为，即.
18．答案：（1）-1
（2）
解析：（1）因为直线的斜率为，即，故.
（2）依题意，直线的方程为.
将代入，得，故所求交点的.
19．答案：（1）两直线相交，交点坐标为：
（2）两直线平行，不相交
解析：（1）由直线，知直线斜率为，
由直线，知直线斜率为，
，所以直线与直线相交.
由，解得，
即交点坐标为： .
（2）.
由直线，知直线斜率为，
由直线，知直线斜率为，
两直线的斜率相等，且两直线不重合，故，无交点.
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