2.2 直线与圆的位置关系--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.2 直线与圆的位置关系--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:05:59 | ||
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文档简介
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2.2 直线与圆的位置关系--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知圆，直线上一动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
2．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A. B. C. D.
3．过点作直线l与圆交于A，B两点，设，且，当的面积为时，直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
4．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆，则下列结论正确的是( )
A.过点P与圆O相切的直线方程为
B.过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则直线MN的方程为
C.过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则
D.过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若，则直线m的方程为或
6．已知圆，直线，则下列命题中不正确的是( )
A.对任意实数k和，直线l和圆M有公共点
B.对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C.对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切
D.存在实数k和，使得圆M上有3个点到直线l的距离为
7．圆心为且与直线相切的圆的方程为( )
A. B. C. D.
8．若直线与圆相交于A，B两点，且（其中O为原点），则k的值为( )
A.或 B. C.或 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设有一组圆，则下列命题中正确的是( )
A.存在k，使得圆与x轴相切 B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
10．点P在圆上运动，点Q在直线上运动，若的最小值是1，则______.
11．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是_________.
12．直线与圆的位置关系是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．已知圆M与x轴相切于点，与y轴相切于点，且圆心M在直线上，过点的直线与圆M交于，两点，点C是圆M上的动点.
（1）求圆M的标准方程.
（2）若直线AB的斜率不存在，求面积的最大值.
（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.
14．已知圆C过点，，且圆心C在直线上，P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
（1）求圆C的方程.
（2）若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
15．已知圆，直线.
(1)求证：对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于不同的两点A，B，点，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)在(2)的条件下，若，求直线l的方程.
16．已知圆，直线，求b为何值时，
（1）直线与圆有两个公共点；
（2）直线与圆只有一个公共点；
（3）直线与圆没有公共点.
17．已知圆C经过两点，，且圆心C在直线上，直线.
(1)求圆C的方程；
(2)证明：直线l与圆C一定相交；
(3)求直线l被圆C截得的弦长的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：方法一：圆中，圆心，半径，设，则，则，当时，.
方法二：圆O的圆心，半径，则，所以.由题意得，所以.
2．答案：B
解析：根据题意，圆的方程可化为，其圆心为，
半径为5，
所以该圆过点的最长弦为直径，
则，
最短弦，
所以
故选B.
3．答案：B
解析：的面积为，，
，，.
圆心O到直线l的距离为.
由题意可设直线l的方程为，即，
，.故选B.
4．答案：A
解析：直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆(包括点，).如图，作出半圆C.
当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；当l与半圆相切时，由，得，切线记为.
由图可知当时，直线l与曲线C有两个不同的交点，故选A.
5．答案：D
解析：对于A，当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心O到直线的距离，所以是过点P的圆的切线，
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
圆心O到直线的距离，解得，此时直线的方程为，
过点P的圆的切线方程为或，故A错误；
对于B，设，，则两切线方程分别为和，又是两切线的交点，
所以即，都满足方程，所以直线MN的方程为，即，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若，则，
圆心到直线m的距离，
显然直线m的斜率存在，设直线m的方程为，即，
，解得或，
直线m的方程为或，故D正确.
故选D.
6．答案：B
解析：因为圆恒过定点，直线也恒过定点，所以对任意实数k和，直线l和圆M有公共点，故A中命题正确；因为圆的圆心到直线的距离(其中)，所以对任意实数，直线l与圆M不一定相切，但是对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切，故B中命题错误，C中命题正确；设圆M的半径为r，且，当时，，此时圆M上有3个点到直线l的距离为，因此存在实数k和，使得圆M上有3个点到直线l的距离为，故D中命题正确.故选B.
7．答案：C
解析：设圆的方程为，
直线与圆相切，
圆心到直线的距离等于半径r，
，圆的方程为.故选C.
8．答案：A
解析：由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，
故选：A.
9．答案：ABD
解析：当时，圆心，半径，满足与x轴相切，故A正确；因为圆心恒在直线上，所以该线与圆一定相交，故B正确；若k取无穷大的正数，半径也无穷大，则可认为所有直线都与圆相交，故C错误；若在圆上，则.若k是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解；若k是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，故D正确.故选ABD.
10．答案：10或-10
解析：由题，设圆心为O，要使最短，则O，P，Q三点共线且OQ与直线垂直.则，其中为圆半径为1，为圆心到直线距离.
则，解得或.
故答案为:10或-10.
11．答案：
解析：如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.
由题可知，，，，
设，则，
在中，有，
即，解得，
，
，
，
故车辆通过隧道的限制高度是.
故答案为：.
12．答案：相切
解析：圆可化为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
故答案为：相切.
13．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为圆M与x轴相切于点，与y轴相切于点，所以圆M的圆心为，半径，又圆心M在直线上，
所以，解得.
所以圆M的标准方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为.
所以由，解得.
所以.
易知圆心M到直线AB的距离，所以点C到直线AB的最大距离为，
所以面积的最大值为.
（3）方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.又，所以.
又直线MP的斜率为，所以直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，即.
所以存在弦AB被点P平分，此时直线AB的方程为.
方法二：由（2）知当直线AB的斜率不存在时，，所以此时点P不平分AB.
当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.
因为点A，B是圆M上的点，所以由点差法得.
由点P是弦AB的中点，可得，，所以，
所以直线AB的方程为，即.所以存在弦AB被点P平分，此时直线AB的方程为.
14．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由于圆心C在直线上，故设圆C的方程为.
将，的坐标代入可得解得所以圆C的方程为.
（2）当直线轴时，.当直线l的斜率存在时，设其方程为.
由得，
设，，则，，由于点P在圆外，所以，
因此.
综上，无论l的位置如何变化，，为定值.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)或
解析：(1)证明：(证法一)直线l的方程可以整理为，
所以直线l恒过点，又，
所以点在圆内，
所以对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点.
(证法二)由题意得圆C的圆心为，半径为，
所以圆心到直线l的距离，
所以直线l与圆C相交，故对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)由(1)知，直线l恒过定点.
如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，
则，所以，
设，则，
整理得.
当M与P重合时，也满足.
综上，弦AB的中点M的轨迹方程为.
(3)设，，由，得，
所以，即.
由消去y，得，
且，
所以，
由得，
所以，解得，
所以直线l的方程为或.
16.
（1）答案：
解析：圆心到直线的距离，圆的半径.
当，即时，直线与圆相交，有两个公共点.
（2）答案：
解析：当，即时，直线与圆相切，只有一个公共点.
（3）答案：或
解析：当，即或时，直线与圆相离，没有公共点.
17．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)因为，，
所以PQ的中点坐标为，的斜率为，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为，即，
由解得
所以圆心为，
又半径，
所以圆C的方程为.
(2)证明：直线l的方程可化为，
令可得
所以直线l过定点，记，
由(3-2可知M在圆内，
所以直线l与圆C一定相交.
(3)设圆心C到直线l的距离为d，弦长为L，
则，
易知，即，
所以，即弦长的取值范围是.
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2.2 直线与圆的位置关系--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知圆，直线上一动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
2．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A. B. C. D.
3．过点作直线l与圆交于A，B两点，设，且，当的面积为时，直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
4．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆，则下列结论正确的是( )
A.过点P与圆O相切的直线方程为
B.过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则直线MN的方程为
C.过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则
D.过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若，则直线m的方程为或
6．已知圆，直线，则下列命题中不正确的是( )
A.对任意实数k和，直线l和圆M有公共点
B.对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C.对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切
D.存在实数k和，使得圆M上有3个点到直线l的距离为
7．圆心为且与直线相切的圆的方程为( )
A. B. C. D.
8．若直线与圆相交于A，B两点，且（其中O为原点），则k的值为( )
A.或 B. C.或 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设有一组圆，则下列命题中正确的是( )
A.存在k，使得圆与x轴相切 B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
10．点P在圆上运动，点Q在直线上运动，若的最小值是1，则______.
11．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是_________.
12．直线与圆的位置关系是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．已知圆M与x轴相切于点，与y轴相切于点，且圆心M在直线上，过点的直线与圆M交于，两点，点C是圆M上的动点.
（1）求圆M的标准方程.
（2）若直线AB的斜率不存在，求面积的最大值.
（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.
14．已知圆C过点，，且圆心C在直线上，P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
（1）求圆C的方程.
（2）若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
15．已知圆，直线.
(1)求证：对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于不同的两点A，B，点，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)在(2)的条件下，若，求直线l的方程.
16．已知圆，直线，求b为何值时，
（1）直线与圆有两个公共点；
（2）直线与圆只有一个公共点；
（3）直线与圆没有公共点.
17．已知圆C经过两点，，且圆心C在直线上，直线.
(1)求圆C的方程；
(2)证明：直线l与圆C一定相交；
(3)求直线l被圆C截得的弦长的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：方法一：圆中，圆心，半径，设，则，则，当时，.
方法二：圆O的圆心，半径，则，所以.由题意得，所以.
2．答案：B
解析：根据题意，圆的方程可化为，其圆心为，
半径为5，
所以该圆过点的最长弦为直径，
则，
最短弦，
所以
故选B.
3．答案：B
解析：的面积为，，
，，.
圆心O到直线l的距离为.
由题意可设直线l的方程为，即，
，.故选B.
4．答案：A
解析：直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆(包括点，).如图，作出半圆C.
当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；当l与半圆相切时，由，得，切线记为.
由图可知当时，直线l与曲线C有两个不同的交点，故选A.
5．答案：D
解析：对于A，当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心O到直线的距离，所以是过点P的圆的切线，
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
圆心O到直线的距离，解得，此时直线的方程为，
过点P的圆的切线方程为或，故A错误；
对于B，设，，则两切线方程分别为和，又是两切线的交点，
所以即，都满足方程，所以直线MN的方程为，即，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若，则，
圆心到直线m的距离，
显然直线m的斜率存在，设直线m的方程为，即，
，解得或，
直线m的方程为或，故D正确.
故选D.
6．答案：B
解析：因为圆恒过定点，直线也恒过定点，所以对任意实数k和，直线l和圆M有公共点，故A中命题正确；因为圆的圆心到直线的距离(其中)，所以对任意实数，直线l与圆M不一定相切，但是对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切，故B中命题错误，C中命题正确；设圆M的半径为r，且，当时，，此时圆M上有3个点到直线l的距离为，因此存在实数k和，使得圆M上有3个点到直线l的距离为，故D中命题正确.故选B.
7．答案：C
解析：设圆的方程为，
直线与圆相切，
圆心到直线的距离等于半径r，
，圆的方程为.故选C.
8．答案：A
解析：由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，
故选：A.
9．答案：ABD
解析：当时，圆心，半径，满足与x轴相切，故A正确；因为圆心恒在直线上，所以该线与圆一定相交，故B正确；若k取无穷大的正数，半径也无穷大，则可认为所有直线都与圆相交，故C错误；若在圆上，则.若k是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解；若k是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，故D正确.故选ABD.
10．答案：10或-10
解析：由题，设圆心为O，要使最短，则O，P，Q三点共线且OQ与直线垂直.则，其中为圆半径为1，为圆心到直线距离.
则，解得或.
故答案为:10或-10.
11．答案：
解析：如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.
由题可知，，，，
设，则，
在中，有，
即，解得，
，
，
，
故车辆通过隧道的限制高度是.
故答案为：.
12．答案：相切
解析：圆可化为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
故答案为：相切.
13．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为圆M与x轴相切于点，与y轴相切于点，所以圆M的圆心为，半径，又圆心M在直线上，
所以，解得.
所以圆M的标准方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为.
所以由，解得.
所以.
易知圆心M到直线AB的距离，所以点C到直线AB的最大距离为，
所以面积的最大值为.
（3）方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.又，所以.
又直线MP的斜率为，所以直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，即.
所以存在弦AB被点P平分，此时直线AB的方程为.
方法二：由（2）知当直线AB的斜率不存在时，，所以此时点P不平分AB.
当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.
因为点A，B是圆M上的点，所以由点差法得.
由点P是弦AB的中点，可得，，所以，
所以直线AB的方程为，即.所以存在弦AB被点P平分，此时直线AB的方程为.
14．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由于圆心C在直线上，故设圆C的方程为.
将，的坐标代入可得解得所以圆C的方程为.
（2）当直线轴时，.当直线l的斜率存在时，设其方程为.
由得，
设，，则，，由于点P在圆外，所以，
因此.
综上，无论l的位置如何变化，，为定值.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)或
解析：(1)证明：(证法一)直线l的方程可以整理为，
所以直线l恒过点，又，
所以点在圆内，
所以对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点.
(证法二)由题意得圆C的圆心为，半径为，
所以圆心到直线l的距离，
所以直线l与圆C相交，故对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)由(1)知，直线l恒过定点.
如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，
则，所以，
设，则，
整理得.
当M与P重合时，也满足.
综上，弦AB的中点M的轨迹方程为.
(3)设，，由，得，
所以，即.
由消去y，得，
且，
所以，
由得，
所以，解得，
所以直线l的方程为或.
16.
（1）答案：
解析：圆心到直线的距离，圆的半径.
当，即时，直线与圆相交，有两个公共点.
（2）答案：
解析：当，即时，直线与圆相切，只有一个公共点.
（3）答案：或
解析：当，即或时，直线与圆相离，没有公共点.
17．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)因为，，
所以PQ的中点坐标为，的斜率为，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为，即，
由解得
所以圆心为，
又半径，
所以圆C的方程为.
(2)证明：直线l的方程可化为，
令可得
所以直线l过定点，记，
由(3-2可知M在圆内，
所以直线l与圆C一定相交.
(3)设圆心C到直线l的距离为d，弦长为L，
则，
易知，即，
所以，即弦长的取值范围是.
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