3.1.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:06:42 | ||
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文档简介
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3.1.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知椭圆的右焦点为F，点P为椭圆C上的动点，点，则周长的最大值为( )
A.4 B. C. D.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点.若，，的面积为，则a的值为( )
A.4 B.3 C.5 D.6
3．过点的直线l交椭圆于A，B两点，若，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
4．已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5．椭圆（）的焦点为，，上顶点为A，若，则m等于( )
A.1 B. C. D.2
6．已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．椭圆的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交椭圆于点M（M在x轴的上方），连接，再作的角平分线l，点在l上的投影为点N，则（其中O为坐标原点）的长度为( )
A. B.1 C. D.
8．已知点，分别为椭圆的左 右焦点，点M在直线上运动，若的最大值为，则椭圆C的标准方程是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为,,，则下列结论正确的是( )
A.的周长为16 B.
C.点P到x轴的距离为 D.
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则( )
A.当时，
B.的取值范围为
C.的面积的最大值为
D.椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
11．已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
（1）曲线W为一个圆；
（2）曲线W上存在点D，使得D到点的距离为6；
（3）直线（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点；
（4）曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8.
其中所有正确结论的序号是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知圆，圆.动圆M与外切，与内切，则动圆M的圆心的轨迹方程为___________.
13．已知椭圆C：，为椭圆上一点，，则_________.
14．设F是椭圆（）的右焦点，O为坐标原点，过F作斜率为的直线l交椭圆于A，B两点（A点在x轴上方），过O作的垂线，垂足为H，且，则该椭圆的离心率是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆，直线l与椭圆C相交于A，B两点，点为线段AB的中点.
（1）求直线l的方程；
（2）若O为坐标原点，求的面积.
16．已知椭圆C：经过点，，是椭圆C的左、右焦点，，P是椭圆C上的一个动点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围.
17．已知、分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，且轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求MN的最大值.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，，，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点P的坐标.
19．已知点P是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为6，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动直线L过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
参考答案
1．答案：D
解析：由题知，.设椭圆C的左焦点为，则，的周长为，当P，A，三点共线（点在线段PA上）时取等号，所以周长的最大值为.
2．答案：C
解析：由题意设，因为，，所以，.根据椭圆定义，知，即，则，所以，所以，所以，从而，即，所以，因为，所以.
3．答案：B
解析：方法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，代入，得.又，所以M是线段AB的中点，所以，得.
方法二：设，，因为，所以M是线段AB的中点，所以又A，B在椭圆上，所以两式作差，得，即，所以直线l的斜率为.
方法三：因为，所以M是线段AB的中点.由题意知AB不与坐标轴平行，所以，所以.
4．答案：C
解析：由题意，椭圆C：，，，，故，；
若是直角三角形，
若为直角：
由于O为的中点，
故
设，则
故点P为圆O与椭圆C的交点，
联立，可得，即，，
共有4个点
若为直角：
则，则，，有2个点；
若为直角：
则，则，，有2个点；
综上，满足条件的点P的个数为8.
故选：C.
5．答案：C
解析：由题设，，，故，，
在中，则，又，
所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：圆的圆心坐标为，半径为，
则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，则有，
，
由椭圆方程可知，，
当时，有最小值，所以的最小值为.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题知，，，
因为M在椭圆上，所以，
设，，
在中，由余弦定理得，解得，
所以，，，
延长交于H，
因为l是的角平分线，点在l上的投影为点，
所以N是的中点，，
因为O是的中点，
所以.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意，，直线l为，
设直线，的倾斜角分别为、，
由椭圆的对称性，不妨设M为第二象限的点，即，
则，，且，
，当且仅当，即时取等号，
又的最大值为，得，从而，
故椭圆C的标准方程为.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：依题意，，，，，.
所以三角形的周长为，A选项正确，
设，，
所以，
整理得，
所以，B选项正确，
设P到x轴的距离为h，则，，C选项正确，
，D选项错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：在椭圆中，，，，且，
对于A，在中，由余弦定理可得，
即①，
又，即②，
由②－①解得，
的面积为，故A错误；
对于B，设点，则，
，，
，
，，，
的取值范围为，故B正确；
对于C，当点P为椭圆的短轴顶点时，点P到x轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角；
当时，，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形；
当时，，此时点P位于第一或第四象限，有2个直角三角形.
所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：（1）设，因为M满足，所以，整理可得：，即，曲线W为一个圆，所以（1）正确；
（2）由（1）可知，点在圆的外部，因为到圆心的距离，半径为2，所以圆上的点D到的距离的范围为，而，所以（2）不正确；
（3）直线（k为常数），则，则直线过定点，且点圆内，则无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点，所以（3）正确；
（4）假设存在这样的点F，使得F到点B与点的距离之和为8，则F在以点B与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，即F在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8；所以（4）正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为5，
设动圆圆心为，半径为r，
则，，
于是，
动圆圆心M的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，
，，，
的轨迹方程为，
故答案为：.
13．答案：或.
解析：由题意可得：，，
在中由余弦定理可得：，
所以有，
即，
，
，
所以，
整理得：，
所以或，
解得或，
又因为，
所以或.
故答案为：或.
14．答案：
解析：由题可知，，且，所以，
又因为O是的中点，所以是的中位线，
所以，且，又直线l的斜率为，
所以，设，，
所以，，联立解得，，
由勾股定理有：，即，
所以，所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知直线l的斜率存在，
设其方程为，即，设，.
解法一：由得，
因为点为线段AB的中点，所以，解得，
故直线l的方程为，即.
解法二：由题意得①，②，
整理得，
因为点为线段AB的中点，所以，，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即.
（2）由（1）知，，
所以，
O到直线l的距离，
所以.
16.
（1）答案：
解析：由题意得解得
椭圆C的标准方程为.
（2）答案：
解析：设，，
，，
，，
.
又点P在椭圆上，
，即，
，解得，
，，
点P的横坐标的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知，，，
因为轴，所以可以把代入，可得，所以或，
又，所以，所以或（舍去），得，
又由椭圆定义知，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，易知直线MN的斜率存在.
设直线MN的方程为，联立得，
设，，则，，
所以，
所以MN中点的坐标为，
故线段MN的垂直平分线的方程为，
令，得，
因为点Q的纵坐标的最大值为，
所以，则，
所以，
当时，MN取得最大值，为.
18.
（1）答案：
解析：由椭圆的定义得，.
在中，由余弦定理可得，
，，，
故椭圆C的方程为.
（2）答案：点P的坐标为或
解析：设点，由题意可知.
，
.
将点P的坐标代入椭圆C的方程可得，解得，
故点P的坐标为或.
19．答案：（1）；
（2）20.
解析：（1）令椭圆半焦距为c，则，即，由椭圆的定义知，
因此，，
所以椭圆的标准方程是.
（2）由（1）知椭圆长半轴长，因弦AB过椭圆右焦点，而是左焦点，
所以的周长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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3.1.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知椭圆的右焦点为F，点P为椭圆C上的动点，点，则周长的最大值为( )
A.4 B. C. D.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点.若，，的面积为，则a的值为( )
A.4 B.3 C.5 D.6
3．过点的直线l交椭圆于A，B两点，若，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
4．已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5．椭圆（）的焦点为，，上顶点为A，若，则m等于( )
A.1 B. C. D.2
6．已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．椭圆的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交椭圆于点M（M在x轴的上方），连接，再作的角平分线l，点在l上的投影为点N，则（其中O为坐标原点）的长度为( )
A. B.1 C. D.
8．已知点，分别为椭圆的左 右焦点，点M在直线上运动，若的最大值为，则椭圆C的标准方程是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为,,，则下列结论正确的是( )
A.的周长为16 B.
C.点P到x轴的距离为 D.
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则( )
A.当时，
B.的取值范围为
C.的面积的最大值为
D.椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
11．已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
（1）曲线W为一个圆；
（2）曲线W上存在点D，使得D到点的距离为6；
（3）直线（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点；
（4）曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8.
其中所有正确结论的序号是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知圆，圆.动圆M与外切，与内切，则动圆M的圆心的轨迹方程为___________.
13．已知椭圆C：，为椭圆上一点，，则_________.
14．设F是椭圆（）的右焦点，O为坐标原点，过F作斜率为的直线l交椭圆于A，B两点（A点在x轴上方），过O作的垂线，垂足为H，且，则该椭圆的离心率是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆，直线l与椭圆C相交于A，B两点，点为线段AB的中点.
（1）求直线l的方程；
（2）若O为坐标原点，求的面积.
16．已知椭圆C：经过点，，是椭圆C的左、右焦点，，P是椭圆C上的一个动点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围.
17．已知、分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，且轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求MN的最大值.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，，，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求点P的坐标.
19．已知点P是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为6，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动直线L过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
参考答案
1．答案：D
解析：由题知，.设椭圆C的左焦点为，则，的周长为，当P，A，三点共线（点在线段PA上）时取等号，所以周长的最大值为.
2．答案：C
解析：由题意设，因为，，所以，.根据椭圆定义，知，即，则，所以，所以，所以，从而，即，所以，因为，所以.
3．答案：B
解析：方法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，代入，得.又，所以M是线段AB的中点，所以，得.
方法二：设，，因为，所以M是线段AB的中点，所以又A，B在椭圆上，所以两式作差，得，即，所以直线l的斜率为.
方法三：因为，所以M是线段AB的中点.由题意知AB不与坐标轴平行，所以，所以.
4．答案：C
解析：由题意，椭圆C：，，，，故，；
若是直角三角形，
若为直角：
由于O为的中点，
故
设，则
故点P为圆O与椭圆C的交点，
联立，可得，即，，
共有4个点
若为直角：
则，则，，有2个点；
若为直角：
则，则，，有2个点；
综上，满足条件的点P的个数为8.
故选：C.
5．答案：C
解析：由题设，，，故，，
在中，则，又，
所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：圆的圆心坐标为，半径为，
则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，则有，
，
由椭圆方程可知，，
当时，有最小值，所以的最小值为.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题知，，，
因为M在椭圆上，所以，
设，，
在中，由余弦定理得，解得，
所以，，，
延长交于H，
因为l是的角平分线，点在l上的投影为点，
所以N是的中点，，
因为O是的中点，
所以.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意，，直线l为，
设直线，的倾斜角分别为、，
由椭圆的对称性，不妨设M为第二象限的点，即，
则，，且，
，当且仅当，即时取等号，
又的最大值为，得，从而，
故椭圆C的标准方程为.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：依题意，，，，，.
所以三角形的周长为，A选项正确，
设，，
所以，
整理得，
所以，B选项正确，
设P到x轴的距离为h，则，，C选项正确，
，D选项错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：在椭圆中，，，，且，
对于A，在中，由余弦定理可得，
即①，
又，即②，
由②－①解得，
的面积为，故A错误；
对于B，设点，则，
，，
，
，，，
的取值范围为，故B正确；
对于C，当点P为椭圆的短轴顶点时，点P到x轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角；
当时，，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形；
当时，，此时点P位于第一或第四象限，有2个直角三角形.
所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：（1）设，因为M满足，所以，整理可得：，即，曲线W为一个圆，所以（1）正确；
（2）由（1）可知，点在圆的外部，因为到圆心的距离，半径为2，所以圆上的点D到的距离的范围为，而，所以（2）不正确；
（3）直线（k为常数），则，则直线过定点，且点圆内，则无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点，所以（3）正确；
（4）假设存在这样的点F，使得F到点B与点的距离之和为8，则F在以点B与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，即F在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8；所以（4）正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为5，
设动圆圆心为，半径为r，
则，，
于是，
动圆圆心M的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，
，，，
的轨迹方程为，
故答案为：.
13．答案：或.
解析：由题意可得：，，
在中由余弦定理可得：，
所以有，
即，
，
，
所以，
整理得：，
所以或，
解得或，
又因为，
所以或.
故答案为：或.
14．答案：
解析：由题可知，，且，所以，
又因为O是的中点，所以是的中位线，
所以，且，又直线l的斜率为，
所以，设，，
所以，，联立解得，，
由勾股定理有：，即，
所以，所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知直线l的斜率存在，
设其方程为，即，设，.
解法一：由得，
因为点为线段AB的中点，所以，解得，
故直线l的方程为，即.
解法二：由题意得①，②，
整理得，
因为点为线段AB的中点，所以，，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即.
（2）由（1）知，，
所以，
O到直线l的距离，
所以.
16.
（1）答案：
解析：由题意得解得
椭圆C的标准方程为.
（2）答案：
解析：设，，
，，
，，
.
又点P在椭圆上，
，即，
，解得，
，，
点P的横坐标的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知，，，
因为轴，所以可以把代入，可得，所以或，
又，所以，所以或（舍去），得，
又由椭圆定义知，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，易知直线MN的斜率存在.
设直线MN的方程为，联立得，
设，，则，，
所以，
所以MN中点的坐标为，
故线段MN的垂直平分线的方程为，
令，得，
因为点Q的纵坐标的最大值为，
所以，则，
所以，
当时，MN取得最大值，为.
18.
（1）答案：
解析：由椭圆的定义得，.
在中，由余弦定理可得，
，，，
故椭圆C的方程为.
（2）答案：点P的坐标为或
解析：设点，由题意可知.
，
.
将点P的坐标代入椭圆C的方程可得，解得，
故点P的坐标为或.
19．答案：（1）；
（2）20.
解析：（1）令椭圆半焦距为c，则，即，由椭圆的定义知，
因此，，
所以椭圆的标准方程是.
（2）由（1）知椭圆长半轴长，因弦AB过椭圆右焦点，而是左焦点，
所以的周长.
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