3.1.2 椭圆的几何性质--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的几何性质--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:07:01 | ||
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文档简介
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3.1.2 椭圆的几何性质--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2．曲线与曲线的( )
A.长轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.短轴长相等
3．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作x轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为P点（如图所示），若的面积为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
5．关于椭圆C：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为；如果只有一个假命题，则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6．若椭圆比椭圆更扁，则C的长轴长的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知，为椭圆（）的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为8，椭圆的离心率，则椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
8．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则( )
A.1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.离心率 B.的最大值为
C.的面积的最大值为 D.的最大值为
10．已知椭圆：，：，则( )
A.，的焦点都在x轴上 B.，的焦距相等
C.，没有公共点 D.离心率比离心率小
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时，的最大值为
C.存在点Q使得
D.的最小值为1
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.写出一个长轴长为6的“倍径椭圆”的标准方程：___________.
13．写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：___________.
14．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）已知点在圆：外，求实数m的取值范围.
（2）已知椭圆的离心率为，求实数n的取值.
16．已知椭圆的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2），为椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证：为等腰三角形.
17．已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在一点P使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由.
18．设椭圆过点，离心率为，求椭圆C的方程.
19．已知椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点是直线l被椭圆E所截得的线段的中点，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：延长，，分别与椭圆C交于M，N两点，由椭圆的对称性可知，，则.当直线PM的斜率不存在时，PM最小，为3；当PM与x轴重合时，PM最大，为.又P，Q位于x轴上方，故.
2．答案：B
解析：曲线是焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.由得，，且，故曲线也是焦点在x轴上的椭圆，所以，，，故其长轴长、短轴长、离心率均与k有关，不一定与曲线的相同，而其焦距为8，故选B.
3．答案：C
解析：，，点M在以为直径的圆上.
又点M在椭圆的内部，，，即，，即.又椭圆的离心率，
.
4．答案：A
解析：由题意可得，即，
即有，
令，则，
可得，
则，即，
解得，，
椭圆的方程为.
故选：A.
5．答案：B
解析：依题意，甲：；乙：；丙：；丁：；，甲丙丁真命题，故乙为假命题.
故选：B.
6．答案：C
解析：椭圆的离心率
椭圆离心率
因为椭圆比椭圆更扁，
所以，即，解之得
则，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.
故选：C.
7．答案：D
解析：由椭圆的定义知，所以，
又因为，所以，，所以椭圆的方程为.
故选：D.
8．答案：A
解析：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即，又，所以，
由，所以.
故选：A.
9．答案：AB
解析：
A √ ，，所以，所以离心率.
B √ 椭圆上到右焦点距离最大的点是左顶点，故的最大值为.
C × ，，设，则，因为，所以，当P在上、下顶点时取最大值.
D × 因为，，所以，所以，又，所以的最大值为4，当P在左、右顶点时取最大值.（【另解】，O是坐标原点，因为，即，所以的最大值为4.）
10．答案：BCD
解析：因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
联立椭圆，的方程，消除，得，所以x无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以.对于A，，故A错误；对于B，当时，，，，故B正确；对于C，由A知，若，当Q在短轴端点时，最大，此时，则，由，可得的最大值小于，所以不存在点Q使得，即C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选BD.
12．答案：（答案不唯一）
解析：设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m，则，即.
因为，所以.
又，所以，，故所求标准方程可为.（注：其他满足，的椭圆的标准方程均可.）
13．答案：（答案不唯一）
解析：设椭圆的标准方程为，则，
所以，令，则，
所以满足题意的一个椭圆的标准方程为.
故答案为：.
14．答案：（答案不唯一）
解析：只要椭圆方程形如或即可.
故答案为：.（答案不唯一）.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）若方程表示圆，则，解得，
根据点在圆外，可得，则，
所以.
（2）由椭圆方程，得，
①若焦点在x轴上，则，即，，
，
，即.
②若焦点在y轴上，则，即，，
，
得到，即.
故或.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得解得
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：由（1）知，，.
设（，），则，
所以.
设直线的方程为（且）.易知直线的方程为.
由可得点.
由于，
所以直线的方程为.
易知直线的方程为.
由可得点.
于是，所以轴.
设线段PQ的中点为N，则点N的纵坐标为.
故线段PQ的中点在定直线上.
所以点B在线段PQ的垂直平分线上，
所以，所以为等腰三角形.
17．答案：(1)
(2)椭圆上不存在点P，使得，理由见解析
解析：(1)椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为，
，，
，
椭圆的标准方程为：；
(2)假设椭圆上存在点，使得，
则，
即，
联立，得：，此方程无解.
椭圆上不存在点P，使得.
18．答案：
解析：将代入椭圆C的方程得，
.
又，得，即，
，
椭圆C的方程为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知，，
，，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）解：设直线l与椭圆E交于，两点，
则且，
两式相减并化简得.
又，，
所以，即，
所以直线l的方程为.
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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2．曲线与曲线的( )
A.长轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.短轴长相等
3．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作x轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为P点（如图所示），若的面积为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
5．关于椭圆C：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为；如果只有一个假命题，则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6．若椭圆比椭圆更扁，则C的长轴长的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知，为椭圆（）的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为8，椭圆的离心率，则椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
8．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则( )
A.1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.离心率 B.的最大值为
C.的面积的最大值为 D.的最大值为
10．已知椭圆：，：，则( )
A.，的焦点都在x轴上 B.，的焦距相等
C.，没有公共点 D.离心率比离心率小
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时，的最大值为
C.存在点Q使得
D.的最小值为1
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.写出一个长轴长为6的“倍径椭圆”的标准方程：___________.
13．写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：___________.
14．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）已知点在圆：外，求实数m的取值范围.
（2）已知椭圆的离心率为，求实数n的取值.
16．已知椭圆的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2），为椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证：为等腰三角形.
17．已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在一点P使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由.
18．设椭圆过点，离心率为，求椭圆C的方程.
19．已知椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点是直线l被椭圆E所截得的线段的中点，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：延长，，分别与椭圆C交于M，N两点，由椭圆的对称性可知，，则.当直线PM的斜率不存在时，PM最小，为3；当PM与x轴重合时，PM最大，为.又P，Q位于x轴上方，故.
2．答案：B
解析：曲线是焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.由得，，且，故曲线也是焦点在x轴上的椭圆，所以，，，故其长轴长、短轴长、离心率均与k有关，不一定与曲线的相同，而其焦距为8，故选B.
3．答案：C
解析：，，点M在以为直径的圆上.
又点M在椭圆的内部，，，即，，即.又椭圆的离心率，
.
4．答案：A
解析：由题意可得，即，
即有，
令，则，
可得，
则，即，
解得，，
椭圆的方程为.
故选：A.
5．答案：B
解析：依题意，甲：；乙：；丙：；丁：；，甲丙丁真命题，故乙为假命题.
故选：B.
6．答案：C
解析：椭圆的离心率
椭圆离心率
因为椭圆比椭圆更扁，
所以，即，解之得
则，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.
故选：C.
7．答案：D
解析：由椭圆的定义知，所以，
又因为，所以，，所以椭圆的方程为.
故选：D.
8．答案：A
解析：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即，又，所以，
由，所以.
故选：A.
9．答案：AB
解析：
A √ ，，所以，所以离心率.
B √ 椭圆上到右焦点距离最大的点是左顶点，故的最大值为.
C × ，，设，则，因为，所以，当P在上、下顶点时取最大值.
D × 因为，，所以，所以，又，所以的最大值为4，当P在左、右顶点时取最大值.（【另解】，O是坐标原点，因为，即，所以的最大值为4.）
10．答案：BCD
解析：因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
联立椭圆，的方程，消除，得，所以x无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以.对于A，，故A错误；对于B，当时，，，，故B正确；对于C，由A知，若，当Q在短轴端点时，最大，此时，则，由，可得的最大值小于，所以不存在点Q使得，即C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选BD.
12．答案：（答案不唯一）
解析：设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m，则，即.
因为，所以.
又，所以，，故所求标准方程可为.（注：其他满足，的椭圆的标准方程均可.）
13．答案：（答案不唯一）
解析：设椭圆的标准方程为，则，
所以，令，则，
所以满足题意的一个椭圆的标准方程为.
故答案为：.
14．答案：（答案不唯一）
解析：只要椭圆方程形如或即可.
故答案为：.（答案不唯一）.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）若方程表示圆，则，解得，
根据点在圆外，可得，则，
所以.
（2）由椭圆方程，得，
①若焦点在x轴上，则，即，，
，
，即.
②若焦点在y轴上，则，即，，
，
得到，即.
故或.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得解得
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：由（1）知，，.
设（，），则，
所以.
设直线的方程为（且）.易知直线的方程为.
由可得点.
由于，
所以直线的方程为.
易知直线的方程为.
由可得点.
于是，所以轴.
设线段PQ的中点为N，则点N的纵坐标为.
故线段PQ的中点在定直线上.
所以点B在线段PQ的垂直平分线上，
所以，所以为等腰三角形.
17．答案：(1)
(2)椭圆上不存在点P，使得，理由见解析
解析：(1)椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为，
，，
，
椭圆的标准方程为：；
(2)假设椭圆上存在点，使得，
则，
即，
联立，得：，此方程无解.
椭圆上不存在点P，使得.
18．答案：
解析：将代入椭圆C的方程得，
.
又，得，即，
，
椭圆C的方程为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知，，
，，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）解：设直线l与椭圆E交于，两点，
则且，
两式相减并化简得.
又，，
所以，即，
所以直线l的方程为.
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