3.2.1 双曲线的标准方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线的标准方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:10:21 | ||
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文档简介
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3.2.1 双曲线的标准方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C左支上，直线与C的右支交于点B，且，，则( )
A. B.26 C.25 D.23
2．已知点，F是双曲线的左焦点，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为( )
A.9 B.5 C.8 D.4
3．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若，且，则的值为( )
A.3 B.2 C. D.
5．已知平面内两定点，，下列选项中动点P的轨迹为双曲线的是( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线的下、上焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
7．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是( )
A. B. C. D.
8．若双曲线的焦点为，，则b等于( )
A.3 B.4 C.5 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆，则 B.若C为双曲线，则或
C.曲线C可能是圆 D.若C为双曲线，则焦距为定值
10．下列关于二次曲线与的说法正确的是( )
A.当时，它们分别是双曲线与椭圆
B.当时，它们都是椭圆
C.当时，它们的焦点不同，但焦距相等.
D.当时，它们的焦点相同
11．已知点Q是圆上一动点，点，若线段NQ的垂直平分线交直线MQ于点P，则下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹是椭圆
B.点P的轨迹是双曲线
C.当点P满足时，
D.当点P满足时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________.
13．双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于___________.
14．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于P，Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
16．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点M满足，求的面积.
17．已知双曲线，的焦距为4，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点F分别作斜率为，的直线与，直线交双曲线于A，B两点，直线交双曲线于C，D两点，设M，N分别为AB与CD的中点，若，试求与的面积之比.
18．直线与双曲线相交于A，B两点.
（1）若，求线段AB的长；
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
19．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）.
（1）求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
参考答案
1．答案：B
解析：，令，则，.如图，在中，，即，解得，故，，所以.
2．答案：A
解析：.设右焦点为，则.由双曲线的定义及，得，所以（当P是线段与双曲线的交点时取等号）.故选A.
3．答案：C
解析：方法一：椭圆C的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为（，）.因为双曲线过点，所以.又，所以，，所以双曲线的标准方程为.
方法二：设所求双曲线的方程为，则，所以，即双曲线的标准方程为.
方法三：椭圆C的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为（，）.由双曲线的定义可得，所以.因为，所以，因此双曲线的标准方程为.
4．答案：A
解析：连接.由题意知，则，，则.在中，.在中，，设，则，由，得，解得.又，所以.
5．答案：C
解析：由题意，得，所以由双曲线的定义知，当时，动点P的轨迹为双曲线.
6．答案：C
解析：因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为P是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
7．答案：B
解析：双曲线的焦点在y轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在y轴上，且，
依题意，椭圆短半轴，则，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意得：，解得：，
因为，
所以.
故选：B.
9．答案：BC
解析：若C为椭圆，则，且，故且，所以选项A错误；
若C为双曲线，则，故或，所以选项B正确；
若C为圆，则，故，所以选项C正确；
若C为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：对于A，当时，是双曲线，是椭圆，故A正确，
对于B，当时，是椭圆，故B正确，
对于C，当时，焦点在x轴上，，
焦点在y轴上，，两曲线的焦距相等，故C正确，
对于D，当时焦点在x轴上，焦点在y轴上，故D错误，
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：依题意得，，因为线段NQ的垂直平分线交直线MQ于点P，所以，
当点P在线段MQ的延长线上时，，
当点P在线段QM的延长线上时，，
从而得，故点P的轨迹是双曲线，故A错误，B正确；
易得，，，，，故P的轨迹方程为，当时，，
所以，故C正确；
当时，，所以，故D正确.故选BCD.
12．答案：2
解析：依题意，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，
则且，
解之得，（舍）.
故答案为：2.
13．答案：17
解析：由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.
因为点P与一个焦点的距离等于1，而，
故点P与该焦点同在x轴的上方或下方，
故点P与另一个焦点的距离为，
故答案为：.
14．答案：24
解析：由双曲线定义知：，
所以，，而，
故，故的周长为.
故答案为：24.
15．答案：
解析：椭圆
，，，
且椭圆焦点在y轴上
双曲线的焦距是，实轴长为，虚轴长为8，
即，，，
焦点在y轴上，
双曲线方程为：.
16.
（1）答案：
解析：设双曲线的标准方程为（，），
由双曲线的定义可得，
所以，又，所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）答案：4
解析：由题意得，，
所以，所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，故，所以，
因为点在双曲线上，所以，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）易知，则直线的方程为，，，
由得，
则，，所以，
所以AB的中点，
因为，
所以可用代替，得，
当，即时，直线MN的方程为，过点，设为E.
当时，，
直线MN的方程为，
令，得，
所以直线MN也过定点，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，联立
消去y，整理得，
所以，则，，
所以.
（2）联立消去y，整理得，
由题意知，即，
所以，，
则，
若以AB为直径的圆经过坐标原点，则，即，
所以，满足要求.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设观察员可能出现的位置为点，
由题意得，
故点P的轨迹为双曲线的左支，
设双曲线方程为（，，），又，，
所以，故点P的轨迹方程为.
（2）设轨迹上一点为，则，
因为，所以，
则，
当且仅当时，MC取得最小值，
故扫描半径r至少是.
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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C左支上，直线与C的右支交于点B，且，，则( )
A. B.26 C.25 D.23
2．已知点，F是双曲线的左焦点，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为( )
A.9 B.5 C.8 D.4
3．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若，且，则的值为( )
A.3 B.2 C. D.
5．已知平面内两定点，，下列选项中动点P的轨迹为双曲线的是( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线的下、上焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
7．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是( )
A. B. C. D.
8．若双曲线的焦点为，，则b等于( )
A.3 B.4 C.5 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆，则 B.若C为双曲线，则或
C.曲线C可能是圆 D.若C为双曲线，则焦距为定值
10．下列关于二次曲线与的说法正确的是( )
A.当时，它们分别是双曲线与椭圆
B.当时，它们都是椭圆
C.当时，它们的焦点不同，但焦距相等.
D.当时，它们的焦点相同
11．已知点Q是圆上一动点，点，若线段NQ的垂直平分线交直线MQ于点P，则下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹是椭圆
B.点P的轨迹是双曲线
C.当点P满足时，
D.当点P满足时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________.
13．双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于___________.
14．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于P，Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
16．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点M满足，求的面积.
17．已知双曲线，的焦距为4，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点F分别作斜率为，的直线与，直线交双曲线于A，B两点，直线交双曲线于C，D两点，设M，N分别为AB与CD的中点，若，试求与的面积之比.
18．直线与双曲线相交于A，B两点.
（1）若，求线段AB的长；
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
19．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）.
（1）求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
参考答案
1．答案：B
解析：，令，则，.如图，在中，，即，解得，故，，所以.
2．答案：A
解析：.设右焦点为，则.由双曲线的定义及，得，所以（当P是线段与双曲线的交点时取等号）.故选A.
3．答案：C
解析：方法一：椭圆C的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为（，）.因为双曲线过点，所以.又，所以，，所以双曲线的标准方程为.
方法二：设所求双曲线的方程为，则，所以，即双曲线的标准方程为.
方法三：椭圆C的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为（，）.由双曲线的定义可得，所以.因为，所以，因此双曲线的标准方程为.
4．答案：A
解析：连接.由题意知，则，，则.在中，.在中，，设，则，由，得，解得.又，所以.
5．答案：C
解析：由题意，得，所以由双曲线的定义知，当时，动点P的轨迹为双曲线.
6．答案：C
解析：因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为P是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
7．答案：B
解析：双曲线的焦点在y轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在y轴上，且，
依题意，椭圆短半轴，则，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意得：，解得：，
因为，
所以.
故选：B.
9．答案：BC
解析：若C为椭圆，则，且，故且，所以选项A错误；
若C为双曲线，则，故或，所以选项B正确；
若C为圆，则，故，所以选项C正确；
若C为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：对于A，当时，是双曲线，是椭圆，故A正确，
对于B，当时，是椭圆，故B正确，
对于C，当时，焦点在x轴上，，
焦点在y轴上，，两曲线的焦距相等，故C正确，
对于D，当时焦点在x轴上，焦点在y轴上，故D错误，
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：依题意得，，因为线段NQ的垂直平分线交直线MQ于点P，所以，
当点P在线段MQ的延长线上时，，
当点P在线段QM的延长线上时，，
从而得，故点P的轨迹是双曲线，故A错误，B正确；
易得，，，，，故P的轨迹方程为，当时，，
所以，故C正确；
当时，，所以，故D正确.故选BCD.
12．答案：2
解析：依题意，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，
则且，
解之得，（舍）.
故答案为：2.
13．答案：17
解析：由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.
因为点P与一个焦点的距离等于1，而，
故点P与该焦点同在x轴的上方或下方，
故点P与另一个焦点的距离为，
故答案为：.
14．答案：24
解析：由双曲线定义知：，
所以，，而，
故，故的周长为.
故答案为：24.
15．答案：
解析：椭圆
，，，
且椭圆焦点在y轴上
双曲线的焦距是，实轴长为，虚轴长为8，
即，，，
焦点在y轴上，
双曲线方程为：.
16.
（1）答案：
解析：设双曲线的标准方程为（，），
由双曲线的定义可得，
所以，又，所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）答案：4
解析：由题意得，，
所以，所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，故，所以，
因为点在双曲线上，所以，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）易知，则直线的方程为，，，
由得，
则，，所以，
所以AB的中点，
因为，
所以可用代替，得，
当，即时，直线MN的方程为，过点，设为E.
当时，，
直线MN的方程为，
令，得，
所以直线MN也过定点，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，联立
消去y，整理得，
所以，则，，
所以.
（2）联立消去y，整理得，
由题意知，即，
所以，，
则，
若以AB为直径的圆经过坐标原点，则，即，
所以，满足要求.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设观察员可能出现的位置为点，
由题意得，
故点P的轨迹为双曲线的左支，
设双曲线方程为（，，），又，，
所以，故点P的轨迹方程为.
（2）设轨迹上一点为，则，
因为，所以，
则，
当且仅当时，MC取得最小值，
故扫描半径r至少是.
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