3.3 抛物线--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3 抛物线--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:11:08 | ||
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文档简介
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3.3 抛物线--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设坐标原点为O，若抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则( )
A. B. C.3 D.
2．过抛物线上任意两点A，B作两条切线交于点P，则称为阿基米德三角形，当弦AB经过抛物线的焦点F时，具有以下特征：
①点P在抛物线的准线上；
②.
若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，为阿基米德三角形，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
3．若直线与抛物线交于A，B两点，且（O为坐标原点），则( )
A. B.1 C. D.2
4．若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值为( )
A. B.0 C.或0 D.8或0
5．青花瓷是中国陶瓷烧制工艺的珍品，中国瓷器的主流品种之一.如图，一只内壁光滑的青花瓷碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓曲线可以近似看成抛物线，若碗里放置一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上，则筷子的中点离桌面的距离为( )
A. B. C. D.
6．抛物线上的点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.3
7．设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若，则C的标准方程为( )
A. B. C. D.
8．已知，则方程与在同一坐标系内表示的曲线可能是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线，下列描述正确的是( )
A.开口向上，准线方程为 B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为 D.开口向右，准线方程为
10．已知O为坐标原点，抛物线，E的焦点为F，直线l与E交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为2，则下列结论正确的是( )
A.
B.A，B到抛物线E的距离之和为6
C.若，则直线AB的方程为
D.若，则面积的最小值为16
11．如图，过焦点F的直线与抛物线交于，两点，A，B在准线上的射影分别为M，N，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.以弦AB为直径的圆与准线相切 D.A，O，N三点共线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．过点作抛物线的弦AB，若弦AB恰好被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为___________.
13．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则点M的轨迹方程是__________.
14．①为抛物线C上的点，且；②焦点到准线的距离是1.在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.
已知抛物线的焦点为F，______，若直线与抛物线C相交于A、B两点，求弦长.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
（1）准线方程为；
（2）焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
（3）对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
（4）对称轴是y轴，经过点.
16．已知点A，B是抛物线上不同的两点，且A，B两点到抛物线C的焦点F的距离之和为6，线段AB的中点为，求焦点F到直线AB的距离.
17．已知抛物线的准线过双曲线的左焦点，点是两条曲线的一个公共点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求双曲线的方程.
18．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且AB的中点的纵坐标为2.求C的方程.
19．已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长.
参考答案
1．答案：D
解析：抛物线的焦点为.由题意知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为，，.由得，，，所以.
2．答案：A
解析：因为为阿基米德三角形，且弦AB经过抛物线的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点，所以直线PF的斜率为.又，所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即.
3．答案：B
解析：设，.由得，所以，.又，所以，所以.
4．答案：C
解析：若，则直线与抛物线只有一个交点；若，由得，则，所以.综上可知或，故选C.
5．答案：B
解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为.
因为碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，，过AB的中点N作轴于点H.由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
6．答案：A
解析：方法一：设与抛物线相切且与直线平行的直线方程为.由得，则，得，所以所求最小值为两平行线之间的距离，为.
方法二：设抛物线上一点为，该点到直线的距离，当时，d取得最小值，为.
7．答案：B
解析：方法一：令，得，解得，不妨设，.因为，所以，解得，故C的标准方程为.
方法二：因为直线DE过点，所以，即，故C的标准方程为.
8．答案：A
解析：由题意，当时，不妨取，，方程表示焦点在x轴上的椭圆，方程可化为，表示开口向左的抛物线，故排除C，D；当，时，不妨取，，方程表示焦点在y轴上的双曲线，方程可化为，表示开口向右的抛物线，故A符合，B不符合，故选A.
9．答案：AB
解析：抛物线方程可化为，所以抛物线开口向上，焦点为，准线方程为.故选AB.
10．答案：BCD
解析：抛物线E的标准方程为，所以，故A错误.设AB的中点为M，分别过A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N，因为M到x轴的距离为2，所以，所以A，B到准线的距离之和为，故B正确.由，得直线AB过点，且直线的斜率存在，设直线AB的方程为，由得，，.由于，所以，所以，解得，，所以，直线AB的方程为，故C正确.设，，由，得，又所以，由题知，所以，又，故直线AB的方程为，即，故直线AB恒过定点，所以，即面积的最小值为16，故D正确.
11．答案：ACD
解析：由抛物线的定义得，故A正确.连接MF，NF，如图，，，则，，所以，所以，故B错误.
设过焦点F的直线方程为，由得，，，，则.以AB为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到准线的距离，所以以弦AB为直径的圆与准线相切，故C正确.由题意可得，，因为，所以在直线OA上，所以A，O，N三点共线，故D正确.
12．答案：
解析：方法一：因为弦AB不垂直于x轴，所以可设弦AB所在直线的方程为，.由得，，设，，则.因为点Q是弦AB的中点，所以，所以，所以弦AB所在直线的方程为，即.
方法二：由题意可知，所以弦AB所在直线的方程为，即.
13．答案：
解析：将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，所以动点到点的距离与它到直线的距离相等.由抛物线定义可知，动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以直线为准线，开口向右，设其方程为，则，解得，所以抛物线方程为，即点M的轨迹方程为.
14．答案：
解析：若选①：
在抛物线上，且，
，则；
若选②：
焦点到准线的距离是1，；
故抛物线C的方程为.
联立，可得，
设，，则，，
.
15．答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）答案见解析
（4）答案见解析
解析：（1）因为抛物线的准线方程为，
所以，，
所以抛物线的方程是；其图象如下：
（2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
（3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，
所以，，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
（4）因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程是，其图象如下：
16．答案：
解析：设，，且，
所以，且，故，则，
又，，则，
因为AB的中点为，即，则，
所以直线AB为，即，而，
所以焦点F到直线AB的距离.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）把，点代入方程，
得，解得：，
所以抛物线的方程为：.
（2）抛物线的准线方程为：，所以，
设双曲线的右焦点为F，则，
则，因此，
又因为，，
所以双曲线的方程为：.
18．答案：
解析：设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
19．答案：椭圆方程为；长轴长为
解析：由题知椭圆焦点在x轴，设椭圆方程为，抛物线的焦点为，所以，椭圆短轴长为2，所以，所以，所以椭圆方程为，长轴长为.
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3.3 抛物线--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设坐标原点为O，若抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则( )
A. B. C.3 D.
2．过抛物线上任意两点A，B作两条切线交于点P，则称为阿基米德三角形，当弦AB经过抛物线的焦点F时，具有以下特征：
①点P在抛物线的准线上；
②.
若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，为阿基米德三角形，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
3．若直线与抛物线交于A，B两点，且（O为坐标原点），则( )
A. B.1 C. D.2
4．若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值为( )
A. B.0 C.或0 D.8或0
5．青花瓷是中国陶瓷烧制工艺的珍品，中国瓷器的主流品种之一.如图，一只内壁光滑的青花瓷碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓曲线可以近似看成抛物线，若碗里放置一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上，则筷子的中点离桌面的距离为( )
A. B. C. D.
6．抛物线上的点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.3
7．设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若，则C的标准方程为( )
A. B. C. D.
8．已知，则方程与在同一坐标系内表示的曲线可能是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线，下列描述正确的是( )
A.开口向上，准线方程为 B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为 D.开口向右，准线方程为
10．已知O为坐标原点，抛物线，E的焦点为F，直线l与E交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为2，则下列结论正确的是( )
A.
B.A，B到抛物线E的距离之和为6
C.若，则直线AB的方程为
D.若，则面积的最小值为16
11．如图，过焦点F的直线与抛物线交于，两点，A，B在准线上的射影分别为M，N，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.以弦AB为直径的圆与准线相切 D.A，O，N三点共线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．过点作抛物线的弦AB，若弦AB恰好被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为___________.
13．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则点M的轨迹方程是__________.
14．①为抛物线C上的点，且；②焦点到准线的距离是1.在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.
已知抛物线的焦点为F，______，若直线与抛物线C相交于A、B两点，求弦长.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
（1）准线方程为；
（2）焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
（3）对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
（4）对称轴是y轴，经过点.
16．已知点A，B是抛物线上不同的两点，且A，B两点到抛物线C的焦点F的距离之和为6，线段AB的中点为，求焦点F到直线AB的距离.
17．已知抛物线的准线过双曲线的左焦点，点是两条曲线的一个公共点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求双曲线的方程.
18．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且AB的中点的纵坐标为2.求C的方程.
19．已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长.
参考答案
1．答案：D
解析：抛物线的焦点为.由题意知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为，，.由得，，，所以.
2．答案：A
解析：因为为阿基米德三角形，且弦AB经过抛物线的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点，所以直线PF的斜率为.又，所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即.
3．答案：B
解析：设，.由得，所以，.又，所以，所以.
4．答案：C
解析：若，则直线与抛物线只有一个交点；若，由得，则，所以.综上可知或，故选C.
5．答案：B
解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为.
因为碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，，过AB的中点N作轴于点H.由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
6．答案：A
解析：方法一：设与抛物线相切且与直线平行的直线方程为.由得，则，得，所以所求最小值为两平行线之间的距离，为.
方法二：设抛物线上一点为，该点到直线的距离，当时，d取得最小值，为.
7．答案：B
解析：方法一：令，得，解得，不妨设，.因为，所以，解得，故C的标准方程为.
方法二：因为直线DE过点，所以，即，故C的标准方程为.
8．答案：A
解析：由题意，当时，不妨取，，方程表示焦点在x轴上的椭圆，方程可化为，表示开口向左的抛物线，故排除C，D；当，时，不妨取，，方程表示焦点在y轴上的双曲线，方程可化为，表示开口向右的抛物线，故A符合，B不符合，故选A.
9．答案：AB
解析：抛物线方程可化为，所以抛物线开口向上，焦点为，准线方程为.故选AB.
10．答案：BCD
解析：抛物线E的标准方程为，所以，故A错误.设AB的中点为M，分别过A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N，因为M到x轴的距离为2，所以，所以A，B到准线的距离之和为，故B正确.由，得直线AB过点，且直线的斜率存在，设直线AB的方程为，由得，，.由于，所以，所以，解得，，所以，直线AB的方程为，故C正确.设，，由，得，又所以，由题知，所以，又，故直线AB的方程为，即，故直线AB恒过定点，所以，即面积的最小值为16，故D正确.
11．答案：ACD
解析：由抛物线的定义得，故A正确.连接MF，NF，如图，，，则，，所以，所以，故B错误.
设过焦点F的直线方程为，由得，，，，则.以AB为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到准线的距离，所以以弦AB为直径的圆与准线相切，故C正确.由题意可得，，因为，所以在直线OA上，所以A，O，N三点共线，故D正确.
12．答案：
解析：方法一：因为弦AB不垂直于x轴，所以可设弦AB所在直线的方程为，.由得，，设，，则.因为点Q是弦AB的中点，所以，所以，所以弦AB所在直线的方程为，即.
方法二：由题意可知，所以弦AB所在直线的方程为，即.
13．答案：
解析：将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，所以动点到点的距离与它到直线的距离相等.由抛物线定义可知，动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以直线为准线，开口向右，设其方程为，则，解得，所以抛物线方程为，即点M的轨迹方程为.
14．答案：
解析：若选①：
在抛物线上，且，
，则；
若选②：
焦点到准线的距离是1，；
故抛物线C的方程为.
联立，可得，
设，，则，，
.
15．答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）答案见解析
（4）答案见解析
解析：（1）因为抛物线的准线方程为，
所以，，
所以抛物线的方程是；其图象如下：
（2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
（3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，
所以，，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
（4）因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程是，其图象如下：
16．答案：
解析：设，，且，
所以，且，故，则，
又，，则，
因为AB的中点为，即，则，
所以直线AB为，即，而，
所以焦点F到直线AB的距离.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）把，点代入方程，
得，解得：，
所以抛物线的方程为：.
（2）抛物线的准线方程为：，所以，
设双曲线的右焦点为F，则，
则，因此，
又因为，，
所以双曲线的方程为：.
18．答案：
解析：设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
19．答案：椭圆方程为；长轴长为
解析：由题知椭圆焦点在x轴，设椭圆方程为，抛物线的焦点为，所以，椭圆短轴长为2，所以，所以，所以椭圆方程为，长轴长为.
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