4.1 数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.1 数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:11:42 | ||
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文档简介
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4.1 数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在数列中，，，则的值为( )
A. B.5 C. D.
2．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2024项和为( )
A.2024 B.2024 C.2024 D.2024
3．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
4．已知数列满足，n为正整数，则该数列的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
5．已知数列满足，将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为( ).
A.8 B.2 C.3 D.7
6．数列满足，则数列的前12项和为( )
A.64 B.150 C.108 D.240
7．记数列前n项和为，且数列满足，，则( )
A. B. C. D.
8．设是公差为d的无穷等差数列，则“”是“，”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列满足，则( )
A. B.
C. D.
10．已知斐波那契数列满足：，，，记的前n项和为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列有关数列的说法正确的是( )
A.数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
B.数列的通项公式为，则110是该数列的第10项
C.在数列1，，，2，，…中，第8个数是
D.数列3，5，9，17，33，…的通项公式为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列中，，且则_____________.
13．数列满足，，且其前n项和为.若，则正整数______.
14．将正整数N分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，即为6的最优分解，当，是N的最优分解时，定义，则数列的前100项和为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设各项均为正数的数列满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设，数列的前n项和为，求证：.
16．设是等比数列的前n项和，已知，
（1）求和；
（2）若，求数列的前n项和.
17．已知以为直径的半圆有一个内接正方形，其边长为1（如图）.设，，作数列，，，…，；求证：.
18．已知数列满足.求数列的通项公式.
19．已知数列满足：，，求数列的通项公式.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，，则，，
于是得数列是周期数列，其周期是3，由得：，
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：由于函数为奇函数，则，
即，所以，
所以，
所以
.
因此数列的前2024项和为.
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意得数列为递增数列等价于对任意，恒成立，
即对任意恒成立，故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A.
4．答案：B
解析：由，得，，，，.又，，且函数在上单调递增，在上单调递减，所以数列的最大值为.
5．答案：C
解析：因为，
所以数列为，，，，，，，，，，，，，…，
整数项为，，，，，，…，
所以数列的各项依次为：2，3，7，8，12，13，17，18，…，
末位数字分别是2，3，7，8，2，3，7，8，…，
即末位数字周期为4，
又因为，
故的末位数字为3.
故选：C.
6．答案：C
解析：，再分别代入，2，3，可得，，，.
由周期为2，同理可得，.
.
故选：C.
7．答案：D
解析：由题设，，，，，…
所以是下标周期为4的数列，且，
则.
故选：D.
8．答案：A
解析：，则等差数列为递增数列，故当k足够大时，总有，
但若，，公差或，比如，满足，
但公差为，
综上：“”是“，”的充分而不必要条件.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由，可得，
有，
，化简得，故选项A正确；
由可得，故选项B错误；
由，故可知选项C正确；
若，满足，但，选项D错误.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：因为，，，
所以，，，，，，，，
所以，故A正确，
因为，
所以，故B正确，
，故C错误，
因为，
，
所以，故D错误；
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：对于选项A，数列，0，4与4，0，中数字的排列顺序不同，
不是同一个数列，
所以选项A不正确；
对于选项B，令，
解得或（舍去），
所以选项B正确；
对于选项C，根号里面的数是公差为1的等差数列，
第8个数为，即，
所以选项C正确；
对于选项D，由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知通项公式为，
所以选项D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由题：，
，，，
，，，
，，…
观察可得数列从第2项开始是以6为周期的数列，
故.
故答案为：.
13．答案：
解析：由，可得，
所以为等比数列，所以，
所以，所以，
又由.
①当m为奇数时，，得；
②当m为偶数时，，得，
因为，所以只能为奇数，所以m为偶数时无解.
综上所述，.
故答案为：.
14．答案：
解析：当时，由于，此时，
当时，由于，此时，
所以的前100项和为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由得：
因为数列为正项数列，所以，
所以.
因为，所以，
又当时，，
所以.
（2）由（1）知，
当，时，因为，
所以，
所以
.
所以.
16．答案：（1），
（2）
解析：（1）设的公比为q，由题可得，又，所以，
又，所以，，
所以，；
（2）由（1）得，
所以
17．答案：证明见解析
解析：因为是首项为，公比为的等比数列前项的和，
由，可知，
所以，
因为，在中，，
所以，
，
.
18．答案：
解析：由已知，①
当时，，，
当时，，②
①②，
而当时，也满足上式，
.
19．答案：.
解析：由题意得，
当时，
，
又也满足上式，所以.
故.
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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在数列中，，，则的值为( )
A. B.5 C. D.
2．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2024项和为( )
A.2024 B.2024 C.2024 D.2024
3．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
4．已知数列满足，n为正整数，则该数列的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
5．已知数列满足，将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为( ).
A.8 B.2 C.3 D.7
6．数列满足，则数列的前12项和为( )
A.64 B.150 C.108 D.240
7．记数列前n项和为，且数列满足，，则( )
A. B. C. D.
8．设是公差为d的无穷等差数列，则“”是“，”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列满足，则( )
A. B.
C. D.
10．已知斐波那契数列满足：，，，记的前n项和为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列有关数列的说法正确的是( )
A.数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
B.数列的通项公式为，则110是该数列的第10项
C.在数列1，，，2，，…中，第8个数是
D.数列3，5，9，17，33，…的通项公式为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列中，，且则_____________.
13．数列满足，，且其前n项和为.若，则正整数______.
14．将正整数N分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，即为6的最优分解，当，是N的最优分解时，定义，则数列的前100项和为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设各项均为正数的数列满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设，数列的前n项和为，求证：.
16．设是等比数列的前n项和，已知，
（1）求和；
（2）若，求数列的前n项和.
17．已知以为直径的半圆有一个内接正方形，其边长为1（如图）.设，，作数列，，，…，；求证：.
18．已知数列满足.求数列的通项公式.
19．已知数列满足：，，求数列的通项公式.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，，则，，
于是得数列是周期数列，其周期是3，由得：，
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：由于函数为奇函数，则，
即，所以，
所以，
所以
.
因此数列的前2024项和为.
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意得数列为递增数列等价于对任意，恒成立，
即对任意恒成立，故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A.
4．答案：B
解析：由，得，，，，.又，，且函数在上单调递增，在上单调递减，所以数列的最大值为.
5．答案：C
解析：因为，
所以数列为，，，，，，，，，，，，，…，
整数项为，，，，，，…，
所以数列的各项依次为：2，3，7，8，12，13，17，18，…，
末位数字分别是2，3，7，8，2，3，7，8，…，
即末位数字周期为4，
又因为，
故的末位数字为3.
故选：C.
6．答案：C
解析：，再分别代入，2，3，可得，，，.
由周期为2，同理可得，.
.
故选：C.
7．答案：D
解析：由题设，，，，，…
所以是下标周期为4的数列，且，
则.
故选：D.
8．答案：A
解析：，则等差数列为递增数列，故当k足够大时，总有，
但若，，公差或，比如，满足，
但公差为，
综上：“”是“，”的充分而不必要条件.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由，可得，
有，
，化简得，故选项A正确；
由可得，故选项B错误；
由，故可知选项C正确；
若，满足，但，选项D错误.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：因为，，，
所以，，，，，，，，
所以，故A正确，
因为，
所以，故B正确，
，故C错误，
因为，
，
所以，故D错误；
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：对于选项A，数列，0，4与4，0，中数字的排列顺序不同，
不是同一个数列，
所以选项A不正确；
对于选项B，令，
解得或（舍去），
所以选项B正确；
对于选项C，根号里面的数是公差为1的等差数列，
第8个数为，即，
所以选项C正确；
对于选项D，由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知通项公式为，
所以选项D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由题：，
，，，
，，，
，，…
观察可得数列从第2项开始是以6为周期的数列，
故.
故答案为：.
13．答案：
解析：由，可得，
所以为等比数列，所以，
所以，所以，
又由.
①当m为奇数时，，得；
②当m为偶数时，，得，
因为，所以只能为奇数，所以m为偶数时无解.
综上所述，.
故答案为：.
14．答案：
解析：当时，由于，此时，
当时，由于，此时，
所以的前100项和为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由得：
因为数列为正项数列，所以，
所以.
因为，所以，
又当时，，
所以.
（2）由（1）知，
当，时，因为，
所以，
所以
.
所以.
16．答案：（1），
（2）
解析：（1）设的公比为q，由题可得，又，所以，
又，所以，，
所以，；
（2）由（1）得，
所以
17．答案：证明见解析
解析：因为是首项为，公比为的等比数列前项的和，
由，可知，
所以，
因为，在中，，
所以，
，
.
18．答案：
解析：由已知，①
当时，，，
当时，，②
①②，
而当时，也满足上式，
.
19．答案：.
解析：由题意得，
当时，
，
又也满足上式，所以.
故.
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