4.2 等差数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.2 等差数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:12:39 | ||
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文档简介
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4.2 等差数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在等差数列中，，其前n项和为，若，则( )
A.2024 B. C. D.2024
2．某学校附近的胜利电影院的某放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多2个座位，则该放映大厅最后一排的座位数为( )
A.53 B.51 C.15 D.16
3．在等差数列中，，公差为d，前n项和为.若当且仅当时，取得最小值，则d的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．设等差数列的前n项和为，且，，则的最大值为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
5．设等差数列的前n项和为，，，则满足的正整数n的最大值为( )
A.16 B.15 C.12 D.8
6．在数列中，，，都有，若正整数k满足，则( )
A.1 B.10 C.50 D.100
7．已知等差数列的前n项和为，，则( )
A.22 B.10 C.8 D.4
8．设数列的前n项和为，已知，，，若，则( )
A.8 B.9 C.10 D.11
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设等差数列的前n项和为，公差为d.若，，，则( )
A. B.
C.时，n的最小值为13 D.数列中的最小项为第6项
10．已知正项数列的前n项和为，且，则( )
A.是递减数列 B.是等差数列 C. D.
11．已知等差数列的前n项和为，且，则( )
A.在数列中，最大 B.在数列中，最大
C. D.当时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，并用支付宝记录每天的运动步数.在11月，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的总运动步数是6.9万步，前20天的总运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的总运动步数是__________万步.
13．写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前n项和在时取最大值：__________.
14．若等差数列和的前n项和分别是和，且，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设数列是等差数列，且公差为d.若数列中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若等差数列中，，，求证：数列是“封闭数列”；
（2）若，试判断等差数列是否为“封闭数列”，并说明理由.
16．已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
17．（1）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式；
（2）已知四个数构成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
18．已知数列满足，且.
（1）求，；
（2）求数列的通项公式.
19．已知等差数列中，，.
（1）求的值；
（2）若数列满足，证明：数列是等差数列.
参考答案
1．答案：C
解析：因为数列为等差数列，故是等差数列，设其公差为.又，即，又，所以，所以，即.
2．答案：A
解析：由题意，设该放映大厅第n排有个座位（，），由题意知，，故数列是公差的等差数列，且数列的前20项和，故，解得，故该放映大厅最后一排的座位数.
3．答案：B
解析：方法一：因为当且仅当时，取得最小值，所以数列是递增数列，且又，所以即.
方法二：因为，当且仅当时取得最小值，所以即解得.
4．答案：B
解析：设等差数列的公差为d，则由题意得解得因此.令，解得，，所以数列的前4项为正，其余项为负，故的最大值为.（【另解】，故当时取最大值，为.）
5．答案：B
解析：设等差数列的公差为d，则解得所以，.由，得，即，解得，所以正整数n的最大值为15.
6．答案：A
解析：令，则，即，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，解得.
7．答案：D
解析：方法一：因为是等差数列，所以，解得.
方法二：由性质：，得，所以.
8．答案：D
解析：由，得，即.因为，符合上式，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，则.若，则.
9．答案：ABC
解析：因为，所以，又，所以，故A正确；因为，，，，所以解得，故B正确；因为，，所以时，n的最小值为13，故C正确；当时，，当时，，当时，，当时，，所以当时，，当时，，当时，，故D错误.
10．答案：ACD
解析：当时，，又，所以.当时，，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，故D正确；因为，，所以，故B错误；因为，也满足上式，所以是递减数列，故A正确；，即，故C正确.
11．答案：AD
解析：因为且，所以，，故C错误；等差数列的公差，则在数列中，最大，故A正确，B错误；因为，，，所以当时，，故D正确.
12．答案：26.7
解析：设张大爷在11月每天的运动步数构成数列，由题可知该数列为等差数列.设的前n项和为，则，，成等差数列，所以，即，解得，所以张大爷在11月的总运动步数是26.7万步.
13．答案：（答案不唯一）
解析：对于等差数列，其前n项和，由二次函数的性质可知，在或时取到最大值，故满足题意.（注：满足题意的答案均可.）
14．答案：
解析：设，，，则，，所以.
15．答案：（1）证明见解析
（2）数列不是“封闭数列”.理由见解析
解析：（1）因为，，
所以，
所以对任意的，，有.
因为，所以是数列中的项.
所以数列是“封闭数列”.
（2）数列不是“封闭数列”.理由如下：
因为，所以，，所以.
令，即，可得.
所以数列不是“封闭数列”.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）将两边取倒数，
得，即，
即，故数列是等差数列.
（2）由（1）知数列是等差数列，且公差为2，首项，
所以，
即数列的通项公式为.
17．答案：（1）
（2），2，5，8或，，，1
解析：（1）方法一：设等差数列的公差为d，则其前三项分别为，，，
则
解得或
因为数列为递增数列，所以
从而等差数列的通项公式为.
方法二：设等差数列的前三项分别为，a，，
则
解得或
因为数列为递增数列，所以
从而等差数列的通项公式为.
（2）设这四个数分别为，，，，
则
又该数列是递增数列，所以，所以，，
所以此等差数列为，2，5，8或，，，1.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，
所以，
又，所以，.
（2）由，得.
又，所以是首项为，公差为3的等差数列，
所以，
则，即数列的通项公式为.
19．答案：（1）12
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d.
因为，
所以，即.
因为，又，所以，
所以.
（2）由（1）可知，所以.
因为，
所以数列是等差数列.
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4.2 等差数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在等差数列中，，其前n项和为，若，则( )
A.2024 B. C. D.2024
2．某学校附近的胜利电影院的某放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多2个座位，则该放映大厅最后一排的座位数为( )
A.53 B.51 C.15 D.16
3．在等差数列中，，公差为d，前n项和为.若当且仅当时，取得最小值，则d的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．设等差数列的前n项和为，且，，则的最大值为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
5．设等差数列的前n项和为，，，则满足的正整数n的最大值为( )
A.16 B.15 C.12 D.8
6．在数列中，，，都有，若正整数k满足，则( )
A.1 B.10 C.50 D.100
7．已知等差数列的前n项和为，，则( )
A.22 B.10 C.8 D.4
8．设数列的前n项和为，已知，，，若，则( )
A.8 B.9 C.10 D.11
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设等差数列的前n项和为，公差为d.若，，，则( )
A. B.
C.时，n的最小值为13 D.数列中的最小项为第6项
10．已知正项数列的前n项和为，且，则( )
A.是递减数列 B.是等差数列 C. D.
11．已知等差数列的前n项和为，且，则( )
A.在数列中，最大 B.在数列中，最大
C. D.当时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，并用支付宝记录每天的运动步数.在11月，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的总运动步数是6.9万步，前20天的总运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的总运动步数是__________万步.
13．写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前n项和在时取最大值：__________.
14．若等差数列和的前n项和分别是和，且，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设数列是等差数列，且公差为d.若数列中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若等差数列中，，，求证：数列是“封闭数列”；
（2）若，试判断等差数列是否为“封闭数列”，并说明理由.
16．已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
17．（1）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式；
（2）已知四个数构成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
18．已知数列满足，且.
（1）求，；
（2）求数列的通项公式.
19．已知等差数列中，，.
（1）求的值；
（2）若数列满足，证明：数列是等差数列.
参考答案
1．答案：C
解析：因为数列为等差数列，故是等差数列，设其公差为.又，即，又，所以，所以，即.
2．答案：A
解析：由题意，设该放映大厅第n排有个座位（，），由题意知，，故数列是公差的等差数列，且数列的前20项和，故，解得，故该放映大厅最后一排的座位数.
3．答案：B
解析：方法一：因为当且仅当时，取得最小值，所以数列是递增数列，且又，所以即.
方法二：因为，当且仅当时取得最小值，所以即解得.
4．答案：B
解析：设等差数列的公差为d，则由题意得解得因此.令，解得，，所以数列的前4项为正，其余项为负，故的最大值为.（【另解】，故当时取最大值，为.）
5．答案：B
解析：设等差数列的公差为d，则解得所以，.由，得，即，解得，所以正整数n的最大值为15.
6．答案：A
解析：令，则，即，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，解得.
7．答案：D
解析：方法一：因为是等差数列，所以，解得.
方法二：由性质：，得，所以.
8．答案：D
解析：由，得，即.因为，符合上式，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，则.若，则.
9．答案：ABC
解析：因为，所以，又，所以，故A正确；因为，，，，所以解得，故B正确；因为，，所以时，n的最小值为13，故C正确；当时，，当时，，当时，，当时，，所以当时，，当时，，当时，，故D错误.
10．答案：ACD
解析：当时，，又，所以.当时，，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，故D正确；因为，，所以，故B错误；因为，也满足上式，所以是递减数列，故A正确；，即，故C正确.
11．答案：AD
解析：因为且，所以，，故C错误；等差数列的公差，则在数列中，最大，故A正确，B错误；因为，，，所以当时，，故D正确.
12．答案：26.7
解析：设张大爷在11月每天的运动步数构成数列，由题可知该数列为等差数列.设的前n项和为，则，，成等差数列，所以，即，解得，所以张大爷在11月的总运动步数是26.7万步.
13．答案：（答案不唯一）
解析：对于等差数列，其前n项和，由二次函数的性质可知，在或时取到最大值，故满足题意.（注：满足题意的答案均可.）
14．答案：
解析：设，，，则，，所以.
15．答案：（1）证明见解析
（2）数列不是“封闭数列”.理由见解析
解析：（1）因为，，
所以，
所以对任意的，，有.
因为，所以是数列中的项.
所以数列是“封闭数列”.
（2）数列不是“封闭数列”.理由如下：
因为，所以，，所以.
令，即，可得.
所以数列不是“封闭数列”.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）将两边取倒数，
得，即，
即，故数列是等差数列.
（2）由（1）知数列是等差数列，且公差为2，首项，
所以，
即数列的通项公式为.
17．答案：（1）
（2），2，5，8或，，，1
解析：（1）方法一：设等差数列的公差为d，则其前三项分别为，，，
则
解得或
因为数列为递增数列，所以
从而等差数列的通项公式为.
方法二：设等差数列的前三项分别为，a，，
则
解得或
因为数列为递增数列，所以
从而等差数列的通项公式为.
（2）设这四个数分别为，，，，
则
又该数列是递增数列，所以，所以，，
所以此等差数列为，2，5，8或，，，1.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，
所以，
又，所以，.
（2）由，得.
又，所以是首项为，公差为3的等差数列，
所以，
则，即数列的通项公式为.
19．答案：（1）12
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d.
因为，
所以，即.
因为，又，所以，
所以.
（2）由（1）可知，所以.
因为，
所以数列是等差数列.
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