4.3 等比数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3 等比数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:12:09 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
4.3 等比数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若数列的通项公式为，则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
2．已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A.25 B.20 C.15 D.10
3．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
4．( )
A. B. C. D.
5．已知是等比数列，，，则( )
A. B. C. D.
6．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
7．数列中，“，”是“是公比为2的等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列的前n项和为，，则( )
A. B.
C.数列是等比数列 D.数列的前n项和为
10．设为数列的前n项和，已知，，，则( )
A.是等比数列 B.
C. D.
11．已知等比数列中，，，则( )
A. B.
C. D.当时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列，满足，其中是等差数列，若，则__________.
13．已知数列满足，，则__________.
14．若将“”变为“”，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记的前n项和为，求证：.
16．已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：.
17．已知各项都为正数的数列满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
18．在各项为正的递增等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
19．已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：C
解析：
.
2．答案：B
解析：因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，所以.又是正项等比数列，所以，所以，当且仅当时取等号.故选B.
3．答案：A
解析：，故，即，解得.
4．答案：B
解析：
.
5．答案：C
解析：设等比数列的公比为q.由，，得，所以，则，所以，所以，所以，所以数列是一个首项为，公比为的等比数列，所以.
6．答案：C
解析：设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以，从而.故，，两式相减，得，所以，所以.
7．答案：B
解析：若是公比为2的等比数列，则一定有，；若，，则不一定为等比数列，例如当时，满足，，但此时该数列不是等比数列.因此“，”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.
8．答案：D
解析：因为，，，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，所以，当时，，因为时，，所以，所以.
9．答案：ACD
解析：因为①，所以②，两式作差，得，所以，，即.因为，所以，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，则，.由上述内容可知，选项A，C正确.当时，，选项B错误.因为，，，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则数列的前n项和为，选项D正确.
10．答案：BD
解析：令，得，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以D正确.，所以B正确.由，，可得，所以不是等比数列，所以A错误.，所以C错误.
11．答案：ABD
解析：由，，得，所以，A，B正确；，C错误；，为递减数列，所以当时，，D正确.
12．答案：117
解析：因为数列为等差数列，设公差为d，则，，，则，故为等比数列，所以，所以.
13．答案：
解析：由，得.又，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，因此数列的通项公式为.
14．答案：
解析：由，得.又，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，故.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，
当时，，又，则，
当时，，，
两式相减，整理可得，
又为正项数列，即，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，所以，
所以，
两式相减得
，
所以.
16．答案：（1），
（2）证明见解析；其通项公式为
（3）证明见解析
解析：（1）由数列的递推关系，知
，.
（2）
.
因为，所以数列的各项均不为0，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（3）由（2）知.
所以
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由，得.
因为数列的各项都为正数，所以，
所以是公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，
整理得.
又，所以，所以，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为数列是各项为正的递增等比数列，所以设公比为q，且，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
即.
又，所以，
所以，
所以.
（2）假设数列中存在三项，，（其中，）成等差数列，则.
由（1）得，即.
两边同时除以，得，（*）
因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，
所以（*）式不成立，即假设不成立.
所以数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为等差数列的公差为2，前n项和为，
则，
因为，，成等比数列，所以，
即，
化为，解得.
所以.
故数列的通项公式为.
（2）根据（1）中所求可得：
，
故，
，
故数列的前n项和.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
4.3 等比数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若数列的通项公式为，则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
2．已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A.25 B.20 C.15 D.10
3．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
4．( )
A. B. C. D.
5．已知是等比数列，，，则( )
A. B. C. D.
6．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
7．数列中，“，”是“是公比为2的等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列的前n项和为，，则( )
A. B.
C.数列是等比数列 D.数列的前n项和为
10．设为数列的前n项和，已知，，，则( )
A.是等比数列 B.
C. D.
11．已知等比数列中，，，则( )
A. B.
C. D.当时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列，满足，其中是等差数列，若，则__________.
13．已知数列满足，，则__________.
14．若将“”变为“”，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记的前n项和为，求证：.
16．已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：.
17．已知各项都为正数的数列满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
18．在各项为正的递增等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
19．已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：C
解析：
.
2．答案：B
解析：因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，所以.又是正项等比数列，所以，所以，当且仅当时取等号.故选B.
3．答案：A
解析：，故，即，解得.
4．答案：B
解析：
.
5．答案：C
解析：设等比数列的公比为q.由，，得，所以，则，所以，所以，所以，所以数列是一个首项为，公比为的等比数列，所以.
6．答案：C
解析：设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以，从而.故，，两式相减，得，所以，所以.
7．答案：B
解析：若是公比为2的等比数列，则一定有，；若，，则不一定为等比数列，例如当时，满足，，但此时该数列不是等比数列.因此“，”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.
8．答案：D
解析：因为，，，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，所以，当时，，因为时，，所以，所以.
9．答案：ACD
解析：因为①，所以②，两式作差，得，所以，，即.因为，所以，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，则，.由上述内容可知，选项A，C正确.当时，，选项B错误.因为，，，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则数列的前n项和为，选项D正确.
10．答案：BD
解析：令，得，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以D正确.，所以B正确.由，，可得，所以不是等比数列，所以A错误.，所以C错误.
11．答案：ABD
解析：由，，得，所以，A，B正确；，C错误；，为递减数列，所以当时，，D正确.
12．答案：117
解析：因为数列为等差数列，设公差为d，则，，，则，故为等比数列，所以，所以.
13．答案：
解析：由，得.又，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，因此数列的通项公式为.
14．答案：
解析：由，得.又，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，故.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，
当时，，又，则，
当时，，，
两式相减，整理可得，
又为正项数列，即，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，所以，
所以，
两式相减得
，
所以.
16．答案：（1），
（2）证明见解析；其通项公式为
（3）证明见解析
解析：（1）由数列的递推关系，知
，.
（2）
.
因为，所以数列的各项均不为0，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（3）由（2）知.
所以
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由，得.
因为数列的各项都为正数，所以，
所以是公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，
整理得.
又，所以，所以，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为数列是各项为正的递增等比数列，所以设公比为q，且，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
即.
又，所以，
所以，
所以.
（2）假设数列中存在三项，，（其中，）成等差数列，则.
由（1）得，即.
两边同时除以，得，（*）
因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，
所以（*）式不成立，即假设不成立.
所以数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为等差数列的公差为2，前n项和为，
则，
因为，，成等比数列，所以，
即，
化为，解得.
所以.
故数列的通项公式为.
（2）根据（1）中所求可得：
，
故，
，
故数列的前n项和.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)