第2章 圆与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第2章 圆与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:15:42 | ||
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文档简介
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第2章 圆与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．直线与圆的位置关系是( )
A.相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2．已知圆C的方程为，则圆C的半径为( )
A. B.2 C. D.8
3．已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4．已知圆和两点，.若圆C上存在四个不同的点P，使得的面积为2，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是( )
A. B. C. D.
6．众所周知的太极图，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的太极图的一部分，整个图形是一个圆形，其中阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：
①当时，若直线l将阴影区域分为两部分，面积分别为，（），则；
②当时，直线l与阴影区域有1个公共点；
③当时，直线l与阴影区域有2个公共点.
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
7．在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A. B. C. D.
8．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足.若点P的轨迹关于直线（，）对称，则的最小值是( )
A. B. C.3 D.9
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系中，已知点，，圆.若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可以是( )
A. B.0 C.2 D.4
10．已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则( )
A.存在点P，使得四边形PAMB为菱形
B.四边形PAMB的面积最小值为
C.的外接圆恒过两个定点
D.原点到直线AB的距离小于
11．已知圆，，点P为圆C上一动点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是( )
A.点在圆C内 B.AP的最大值为
C.的最小值为 D.直线AP的斜率范围为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在平面直角坐标系中，点，，定义为点，之间的极距.已知点P是直线上的动点，点Q是圆上的动点，则P，Q两点之间的距离最小时，其极距为___________.
13．大约在2000多年前，中国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O是坐标原点，动点P满足，若，，则线段PM长的最大值是__________.
14．设点M在直线上，点和均在圆M上，则圆M的方程为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知圆，点.
（1）若，半径为1的圆N过点P，且与圆M相外切，求圆N的方程；
（2）若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为，且与y轴分别交于点S，T，，求t.
16．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，__________，求实数m的值.
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答.
条件①：；条件②：.
17．如图，已知点，圆.
（1）求过点P且与圆O相切的直线的方程.
（2）设圆O与x轴的正半轴的交点是Q，斜率为k的直线l过点P，且与圆O交于不同的两点A，B.
（ⅰ）设直线QA，QB的斜率分别是，，求证：为定值；
（ⅱ）设AB的中点为M，点，当，且k为整数时，求以MN为直径的圆的方程.
18．已知圆，直线.若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.
（1）求证：过点O，A，P的圆过定点，并求出所有定点的坐标；
（2）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标.
19．如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且.
（1）求证：；
（2）求PQ的最小值；
（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心.
故选：D.
2．答案：C
解析：由圆的一般方程可知，，，，
所以半径.
故选：C
3．答案：D
解析：由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则.在中，，所以点P在圆上，由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.又圆M的半径等于1，圆心，所以，所以，所以.
4．答案：B
解析：由和，得直线AB的方程为，即，且，设点P到直线AB的距离为d，则，解得.因为圆C上存在四个不同的点P，使得的面积为2，所以圆C上存在四个不同的点P到直线AB的距离为，又圆的圆心，半径，则圆心C到直线AB的距离小于，即，解得，所以a的取值范围是.
5．答案：B
解析：化简得，所以.
因为，所以或.当时，；当时，.所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，如图.
根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.
6．答案：A
解析：对于①，如图1所示，大圆圆O的半径为2，小圆圆P及圆Q的半径均为1，当时，直线l的方程为，即直线l为x轴，所以，，所以，故①正确.
对于②，如图2所示，根据题意，阴影区域在y轴右侧部分的边界为半圆，其方程为，当时，直线l的方程为，即，半圆圆心到直线l的距离，所以直线l与该半圆相切，故直线l与阴影区域只有一个公共点，故②正确.
对于③，当时，如图3所示，直线与阴影区域的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故③错误.综上所述，①②正确.故选A.
7．答案：B
解析：设，则，，以C为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，.设，，则，得，所以.由圆O与圆内切，得，解得.因为圆与圆大小一样，所以.，所以.
8．答案：C
解析：设，因为，所以，整理得，即点P在以点为圆心，为半径的圆上.又点P的轨迹关于直线（，）对称，所以该直线过圆心，故，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值是3，故选C.
9．答案：BC
解析：设，由，得，整理得，所以点M的轨迹是以为圆心，半径的圆.圆的圆心为，半径，由于点M存在，两圆有公共点，所以，即，，其中恒成立，由得，，则，解得，所以实数a的值可以是B，C选项，故选BC.
10．答案：BCD
解析：对于A，当四边形PAMB为菱形时，，则，又到直线的距离为，所以不存在点P，使得四边形PAMB为菱形，故A错误；对于B，由A可知，，所以四边形PAMB的面积为，所以四边形PAMB的面积最小值为，故B正确；对于C，如图，由图可知M，A，P，B四点在以PM为直径的圆上，设，则过M，A，P，B的圆的方程为，即，由得或所以的外接圆恒过两个定点和，故C正确；对于D，设，则过M，A，P，B的圆的方程为，由得直线AB的方程为，则原点到直线AB的距离为，故D正确.
11．答案：BD
解析：
A × 因为，所以点A在圆C外.
B √ 由A中解题思路知点A在圆外，所以.
C × ，当且仅当P在线段OA与圆C的交点处时取等号.
D √ 设直线，根据题意可得C点到直线AP的距离，解得.
12．答案：
解析：如图1所示，在平面直角坐标系中，，，作出直角三角形，则由极距的定义可知，就是直角三角形中较小的直角边的大小.因为点P是直线上的动点，Q是圆上的动点，要使得PQ最小，则，此时.如图2所示，过点P作PR平行于x轴，过点Q作QR平行于y轴交PR于R，由直线l斜率为，知，在中，P，Q两点之间的极距即为RQ.设，则，所以，解得，即P，Q两点之间距离最小时，其极距为.
13．答案：5
解析：由题知点P在以原点O为圆心，4为半径的圆上，因为，所以点M在圆内，故当O，P，M三点共线，且P，M在点O两侧时，线段PM的长最大，此时.
14．答案：
解析：方法一：设圆M的方程为，则解得所以圆M的方程为.
方法二：设圆M的方程为，则，所以解得所以圆M的方程为，即.
方法三：，，则，的中点坐标为，所以AB的垂直平分线的方程为，即.由解得，所以，所以圆M的方程为.
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设圆心，圆M的圆心为，
由题意可得
解得或
因此，圆N的方程为或.
（2）若过点P的直线斜率不存在，
则该直线的方程为，
圆心M到直线的距离为3，不符合题意.
设过点P且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，
整理可得，
设直线PS，PT的斜率分别为，，
则，为关于k的二次方程的两根，，
，.
直线PS的方程为，令，可得，即点，
直线PT的方程为，令，可得，即点，
所以，
解得.
16．答案：（1）
（2）选择条件①或②：或
解析：（1）设圆心坐标为，半径为r.
由圆心C在直线上，得.
又圆C与y轴相切于点，所以，，
则，
所以圆C的方程为.
（2）方案一：选择条件①.
因为，，
所以圆心C到直线l的距离，
则，
解得或.
方案二：选择条件②.
因为，，
所以圆心C到直线l的距离，
则，
解得或.
17．答案：（1）或
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）
解析：（1）圆的圆心为，半径等于2，显然有一条切线方程为.
当切线的斜率存在时，因为点不在圆O上，所以切线的方程可设为.
根据圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，故切线的方程为，
即.
综上可得，过点P且与圆O相切的直线方程为或.
（2）（ⅰ）由题意知l的方程为.
由
得.
设，，则，.
又，所以
，
即为定值，且定值是.
（ⅱ）设中点，由（ⅰ）知，①
代入直线l的方程得.②
由，得，化简得
将①②代入得，解得或，
又k为整数，所以.
当时，，，即，可得MN的中点为，，
故以MN为直径的圆的方程为.
18．答案：（1）圆过定点和
（2）直线AB过定点
解析：（1）PA是圆O的切线，切点为A.
所以.
所以点A在以PO为直径的圆上，
点P在直线l上运动，所以设点，
则以PO为直径的圆方程为，即.
令解得或
所以圆过定点和.
（2）由（1）知，过O，A，B，P的圆方程为，
同时点A，B在圆上，
两个圆的方程相减得，即为两个圆的公共弦所在直线的方程.
令解得
故直线AB过定点.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）连接OP，因为PQ为圆O的切线，所以，
在中，，
又，所以，
即，整理得.
（2）因为，且，所以点P在直线上，
因为，所以当PQ最小时，OP最小，OP最小时，OP垂直于直线，
所以，此时，
所以PQ的最小值为.
（3）由题意知，以P为圆心的圆在OP垂直于直线时，且以P为圆心的圆和圆O外切时半径最小，
此时OP的方程为，由得
所以，半径为，
故所求圆的方程为.
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第2章 圆与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．直线与圆的位置关系是( )
A.相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2．已知圆C的方程为，则圆C的半径为( )
A. B.2 C. D.8
3．已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4．已知圆和两点，.若圆C上存在四个不同的点P，使得的面积为2，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是( )
A. B. C. D.
6．众所周知的太极图，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的太极图的一部分，整个图形是一个圆形，其中阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：
①当时，若直线l将阴影区域分为两部分，面积分别为，（），则；
②当时，直线l与阴影区域有1个公共点；
③当时，直线l与阴影区域有2个公共点.
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
7．在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A. B. C. D.
8．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足.若点P的轨迹关于直线（，）对称，则的最小值是( )
A. B. C.3 D.9
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系中，已知点，，圆.若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可以是( )
A. B.0 C.2 D.4
10．已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则( )
A.存在点P，使得四边形PAMB为菱形
B.四边形PAMB的面积最小值为
C.的外接圆恒过两个定点
D.原点到直线AB的距离小于
11．已知圆，，点P为圆C上一动点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是( )
A.点在圆C内 B.AP的最大值为
C.的最小值为 D.直线AP的斜率范围为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在平面直角坐标系中，点，，定义为点，之间的极距.已知点P是直线上的动点，点Q是圆上的动点，则P，Q两点之间的距离最小时，其极距为___________.
13．大约在2000多年前，中国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O是坐标原点，动点P满足，若，，则线段PM长的最大值是__________.
14．设点M在直线上，点和均在圆M上，则圆M的方程为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知圆，点.
（1）若，半径为1的圆N过点P，且与圆M相外切，求圆N的方程；
（2）若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为，且与y轴分别交于点S，T，，求t.
16．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，__________，求实数m的值.
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答.
条件①：；条件②：.
17．如图，已知点，圆.
（1）求过点P且与圆O相切的直线的方程.
（2）设圆O与x轴的正半轴的交点是Q，斜率为k的直线l过点P，且与圆O交于不同的两点A，B.
（ⅰ）设直线QA，QB的斜率分别是，，求证：为定值；
（ⅱ）设AB的中点为M，点，当，且k为整数时，求以MN为直径的圆的方程.
18．已知圆，直线.若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.
（1）求证：过点O，A，P的圆过定点，并求出所有定点的坐标；
（2）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标.
19．如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且.
（1）求证：；
（2）求PQ的最小值；
（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心.
故选：D.
2．答案：C
解析：由圆的一般方程可知，，，，
所以半径.
故选：C
3．答案：D
解析：由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则.在中，，所以点P在圆上，由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.又圆M的半径等于1，圆心，所以，所以，所以.
4．答案：B
解析：由和，得直线AB的方程为，即，且，设点P到直线AB的距离为d，则，解得.因为圆C上存在四个不同的点P，使得的面积为2，所以圆C上存在四个不同的点P到直线AB的距离为，又圆的圆心，半径，则圆心C到直线AB的距离小于，即，解得，所以a的取值范围是.
5．答案：B
解析：化简得，所以.
因为，所以或.当时，；当时，.所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，如图.
根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.
6．答案：A
解析：对于①，如图1所示，大圆圆O的半径为2，小圆圆P及圆Q的半径均为1，当时，直线l的方程为，即直线l为x轴，所以，，所以，故①正确.
对于②，如图2所示，根据题意，阴影区域在y轴右侧部分的边界为半圆，其方程为，当时，直线l的方程为，即，半圆圆心到直线l的距离，所以直线l与该半圆相切，故直线l与阴影区域只有一个公共点，故②正确.
对于③，当时，如图3所示，直线与阴影区域的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故③错误.综上所述，①②正确.故选A.
7．答案：B
解析：设，则，，以C为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，.设，，则，得，所以.由圆O与圆内切，得，解得.因为圆与圆大小一样，所以.，所以.
8．答案：C
解析：设，因为，所以，整理得，即点P在以点为圆心，为半径的圆上.又点P的轨迹关于直线（，）对称，所以该直线过圆心，故，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值是3，故选C.
9．答案：BC
解析：设，由，得，整理得，所以点M的轨迹是以为圆心，半径的圆.圆的圆心为，半径，由于点M存在，两圆有公共点，所以，即，，其中恒成立，由得，，则，解得，所以实数a的值可以是B，C选项，故选BC.
10．答案：BCD
解析：对于A，当四边形PAMB为菱形时，，则，又到直线的距离为，所以不存在点P，使得四边形PAMB为菱形，故A错误；对于B，由A可知，，所以四边形PAMB的面积为，所以四边形PAMB的面积最小值为，故B正确；对于C，如图，由图可知M，A，P，B四点在以PM为直径的圆上，设，则过M，A，P，B的圆的方程为，即，由得或所以的外接圆恒过两个定点和，故C正确；对于D，设，则过M，A，P，B的圆的方程为，由得直线AB的方程为，则原点到直线AB的距离为，故D正确.
11．答案：BD
解析：
A × 因为，所以点A在圆C外.
B √ 由A中解题思路知点A在圆外，所以.
C × ，当且仅当P在线段OA与圆C的交点处时取等号.
D √ 设直线，根据题意可得C点到直线AP的距离，解得.
12．答案：
解析：如图1所示，在平面直角坐标系中，，，作出直角三角形，则由极距的定义可知，就是直角三角形中较小的直角边的大小.因为点P是直线上的动点，Q是圆上的动点，要使得PQ最小，则，此时.如图2所示，过点P作PR平行于x轴，过点Q作QR平行于y轴交PR于R，由直线l斜率为，知，在中，P，Q两点之间的极距即为RQ.设，则，所以，解得，即P，Q两点之间距离最小时，其极距为.
13．答案：5
解析：由题知点P在以原点O为圆心，4为半径的圆上，因为，所以点M在圆内，故当O，P，M三点共线，且P，M在点O两侧时，线段PM的长最大，此时.
14．答案：
解析：方法一：设圆M的方程为，则解得所以圆M的方程为.
方法二：设圆M的方程为，则，所以解得所以圆M的方程为，即.
方法三：，，则，的中点坐标为，所以AB的垂直平分线的方程为，即.由解得，所以，所以圆M的方程为.
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设圆心，圆M的圆心为，
由题意可得
解得或
因此，圆N的方程为或.
（2）若过点P的直线斜率不存在，
则该直线的方程为，
圆心M到直线的距离为3，不符合题意.
设过点P且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，
整理可得，
设直线PS，PT的斜率分别为，，
则，为关于k的二次方程的两根，，
，.
直线PS的方程为，令，可得，即点，
直线PT的方程为，令，可得，即点，
所以，
解得.
16．答案：（1）
（2）选择条件①或②：或
解析：（1）设圆心坐标为，半径为r.
由圆心C在直线上，得.
又圆C与y轴相切于点，所以，，
则，
所以圆C的方程为.
（2）方案一：选择条件①.
因为，，
所以圆心C到直线l的距离，
则，
解得或.
方案二：选择条件②.
因为，，
所以圆心C到直线l的距离，
则，
解得或.
17．答案：（1）或
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）
解析：（1）圆的圆心为，半径等于2，显然有一条切线方程为.
当切线的斜率存在时，因为点不在圆O上，所以切线的方程可设为.
根据圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，故切线的方程为，
即.
综上可得，过点P且与圆O相切的直线方程为或.
（2）（ⅰ）由题意知l的方程为.
由
得.
设，，则，.
又，所以
，
即为定值，且定值是.
（ⅱ）设中点，由（ⅰ）知，①
代入直线l的方程得.②
由，得，化简得
将①②代入得，解得或，
又k为整数，所以.
当时，，，即，可得MN的中点为，，
故以MN为直径的圆的方程为.
18．答案：（1）圆过定点和
（2）直线AB过定点
解析：（1）PA是圆O的切线，切点为A.
所以.
所以点A在以PO为直径的圆上，
点P在直线l上运动，所以设点，
则以PO为直径的圆方程为，即.
令解得或
所以圆过定点和.
（2）由（1）知，过O，A，B，P的圆方程为，
同时点A，B在圆上，
两个圆的方程相减得，即为两个圆的公共弦所在直线的方程.
令解得
故直线AB过定点.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）连接OP，因为PQ为圆O的切线，所以，
在中，，
又，所以，
即，整理得.
（2）因为，且，所以点P在直线上，
因为，所以当PQ最小时，OP最小，OP最小时，OP垂直于直线，
所以，此时，
所以PQ的最小值为.
（3）由题意知，以P为圆心的圆在OP垂直于直线时，且以P为圆心的圆和圆O外切时半径最小，
此时OP的方程为，由得
所以，半径为，
故所求圆的方程为.
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