第3章 圆锥曲线与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第3章 圆锥曲线与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:15:52 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第3章 圆锥曲线与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知椭圆的离心率为,,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为( )
A. B. C. D.
2．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则( )
A. B. C. D.
3．如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A. B.1 C.2 D.
4．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C.2 D.4
5．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A. B. C. D.
6．设双曲线的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.
7．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，且双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的实轴长为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8．双曲线的一条渐近线的方程为，，分别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的一点，则的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.12
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于x轴的两侧，若，则( )
A.
B.直线AB过点
C.面积的最小值是
D.与面积之和的最小值是3
10．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则( )
A.椭圆的离心率是
B.线段AB长度的取值范围是
C.面积的最大值是
D.的周长存在最大值
11．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A. B.
C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知,为椭圆的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为___________.
13．一动圆与圆外切,同时与圆内切,则动圆圆心的轨迹方程为___________.
14．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设点，点P为曲线E上任一点，求的最大值.
16．已知抛物线C的顶点为坐标原点，C关于x轴对称且过点.
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与C交于，两点，且，，求直线l的方程.
17．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
18．已知直线与焦点为F的抛物线相切.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.
19．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，，点E在C上，E在x轴上的射影为C的右焦点F，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是C上异于A，B的不同两点，且满足，直线AM，BN交于点P，求证：点P在定直线上.
参考答案
1．答案：B
解析：因为离心率,解得,,
,分别为C的左右顶点,则,,
为上顶点,所以.
所以,,因为
所以,将代入,解得,,
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．答案：B
解析：为等边三角形，，
，，，
中，由余弦定理有，
，，.
故选:B.
3．答案：B
解析：如图，设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径.抛物线上点到圆心距离的平方为.若小球触及凹槽的最底部，则的最小值在处取到，又，所以，即，所以，所以清洁钢球的最大半径为1.
4．答案：C
解析：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
5．答案：D
解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零.设，，的中点为，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得，即，化简得，即，因此.由双曲线方程可得渐近线方程为.对于A，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C，，此时直线AB的斜率与渐近线的斜率相同，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D，因为，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.
6．答案：D
解析：由题意可知，设，，可得①，
因为，所以②，且③，由①②③可得，所以双曲线的离心率.故选D.
7．答案：C
解析：由题意可设双曲线方程为，即，则，，，即双曲线的焦点为，.又直线与x的交点为，所以，所以，所以双曲线的实轴长.
8．答案：B
解析：双曲线的一条渐近线方程为，所以，.当M在双曲线的左支上时，，，所以，当且仅当，即，时等号成立；当M在双曲线的右支上时，，，所以（其中），对于函数，可知在上单调递增，所以，所以的最小值为.综上所述，的最小值为4.故选B.
9．答案：BCD
解析：设直线，由得，所以，，又，所以，解得或，因为，所以，所以，，故A错误.直线过点，故B正确.设定点，，当且仅当时，等号成立，故C正确.，不妨设，则，，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.
10．答案：ABC
解析：由题意可知，半圆的半径，则半圆方程为.设椭圆方程为，则，，则，所以半椭圆的方程为，离心率为，故A正确.当时，，时，，又，所以线段AB长度的取值范围是，故B正确.，设点，，则，，即，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确.的周长为，时，最大，但，所以的周长不存在最大值，故D错误.
11．答案：AC
解析：直线过点.对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以焦点坐标为，所以，即，所以A正确.
对于B，方法一：不妨设，，，联立方程得消去y并整理得，解得，.所以，，所以（也可由抛物线的定义得，，还可由弦长公式得），故B错误.
方法二：直线的倾斜角为，所以，故B错误.
对于C，方法一：由以上解题思路知，l的方程为，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确.
方法二：由二级结论：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，知C正确.
对于D，，由两点间距离公式可得，，故D错误.
12．答案：
解析：因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,
且,所以四边形为矩形,
设,,则,,
所以,
,即四边形面积等于8.
故答案为：8.
13．答案：
解析：圆的圆心为,,
圆的圆心为,,
设动圆的圆心为P,半径为r,
由题意得,,则,,,
由椭圆定义得P的轨迹方程为,
故答案为：
14．答案：14
解析：由，则，由P在椭圆上，故有，又.所以.
故答案为：14.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在曲线E上任取一点，则在圆上，
所以，即，
所以曲线E的方程为.
（2）设，则
，，
所以当时，，
所以，即的最大值为.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可设，
将点的坐标代入，得，所以，
故C的标准方程为.
（2）设线段AB的中点为，
则，，即.
不妨设，当时，直线，此时，，不合题意.
当时，，此时，
所以直线，即，①
由得，
由，得，
则，，
故
，即，
解得（舍去）或，
所以，满足，
故直线l的方程为或.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为双曲线C的左焦点为，所以.
由离心率，得，所以，
所以C的方程为.
（2）证明：设（，），，显然直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为.
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立消去y得.
联立消去x整理得，
则，，则，，
所以，
所以，
所以，解得，
所以点P在定直线上.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由
得.
因为直线l与抛物线C相切，
所以，解得（舍去）.
所以抛物线C的标准方程为.
（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m的方程为.
由得，.
设点，，则，
所以，
所以线段AB的中点.
设A，B，M到直线l的距离分别为，，，
则.
因为，所以当时，.
所以A，B两点到直线l的距离之和的最小值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以.
又，所以，.
故椭圆C的方程为.
（2）由（1）得，，.
设直线BM的方程为，，
代入椭圆C的方程，得.
设，则，
解得，，所以，
用替换k，可得，
所以直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，
所以直线AM的方程为，①
直线BN的方程为.②
联立①②，得直线AM，BN的交点P的横坐标，
所以点P在定直线上.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第3章 圆锥曲线与方程--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知椭圆的离心率为,,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为( )
A. B. C. D.
2．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则( )
A. B. C. D.
3．如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A. B.1 C.2 D.
4．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C.2 D.4
5．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A. B. C. D.
6．设双曲线的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.
7．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，且双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的实轴长为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8．双曲线的一条渐近线的方程为，，分别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的一点，则的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.12
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于x轴的两侧，若，则( )
A.
B.直线AB过点
C.面积的最小值是
D.与面积之和的最小值是3
10．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则( )
A.椭圆的离心率是
B.线段AB长度的取值范围是
C.面积的最大值是
D.的周长存在最大值
11．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A. B.
C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知,为椭圆的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为___________.
13．一动圆与圆外切,同时与圆内切,则动圆圆心的轨迹方程为___________.
14．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设点，点P为曲线E上任一点，求的最大值.
16．已知抛物线C的顶点为坐标原点，C关于x轴对称且过点.
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与C交于，两点，且，，求直线l的方程.
17．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
18．已知直线与焦点为F的抛物线相切.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.
19．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，，点E在C上，E在x轴上的射影为C的右焦点F，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是C上异于A，B的不同两点，且满足，直线AM，BN交于点P，求证：点P在定直线上.
参考答案
1．答案：B
解析：因为离心率,解得,,
,分别为C的左右顶点,则,,
为上顶点,所以.
所以,,因为
所以,将代入,解得,,
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．答案：B
解析：为等边三角形，，
，，，
中，由余弦定理有，
，，.
故选:B.
3．答案：B
解析：如图，设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径.抛物线上点到圆心距离的平方为.若小球触及凹槽的最底部，则的最小值在处取到，又，所以，即，所以，所以清洁钢球的最大半径为1.
4．答案：C
解析：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
5．答案：D
解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零.设，，的中点为，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得，即，化简得，即，因此.由双曲线方程可得渐近线方程为.对于A，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C，，此时直线AB的斜率与渐近线的斜率相同，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D，因为，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.
6．答案：D
解析：由题意可知，设，，可得①，
因为，所以②，且③，由①②③可得，所以双曲线的离心率.故选D.
7．答案：C
解析：由题意可设双曲线方程为，即，则，，，即双曲线的焦点为，.又直线与x的交点为，所以，所以，所以双曲线的实轴长.
8．答案：B
解析：双曲线的一条渐近线方程为，所以，.当M在双曲线的左支上时，，，所以，当且仅当，即，时等号成立；当M在双曲线的右支上时，，，所以（其中），对于函数，可知在上单调递增，所以，所以的最小值为.综上所述，的最小值为4.故选B.
9．答案：BCD
解析：设直线，由得，所以，，又，所以，解得或，因为，所以，所以，，故A错误.直线过点，故B正确.设定点，，当且仅当时，等号成立，故C正确.，不妨设，则，，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.
10．答案：ABC
解析：由题意可知，半圆的半径，则半圆方程为.设椭圆方程为，则，，则，所以半椭圆的方程为，离心率为，故A正确.当时，，时，，又，所以线段AB长度的取值范围是，故B正确.，设点，，则，，即，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确.的周长为，时，最大，但，所以的周长不存在最大值，故D错误.
11．答案：AC
解析：直线过点.对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以焦点坐标为，所以，即，所以A正确.
对于B，方法一：不妨设，，，联立方程得消去y并整理得，解得，.所以，，所以（也可由抛物线的定义得，，还可由弦长公式得），故B错误.
方法二：直线的倾斜角为，所以，故B错误.
对于C，方法一：由以上解题思路知，l的方程为，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确.
方法二：由二级结论：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，知C正确.
对于D，，由两点间距离公式可得，，故D错误.
12．答案：
解析：因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,
且,所以四边形为矩形,
设,,则,,
所以,
,即四边形面积等于8.
故答案为：8.
13．答案：
解析：圆的圆心为,,
圆的圆心为,,
设动圆的圆心为P,半径为r,
由题意得,,则,,,
由椭圆定义得P的轨迹方程为,
故答案为：
14．答案：14
解析：由，则，由P在椭圆上，故有，又.所以.
故答案为：14.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在曲线E上任取一点，则在圆上，
所以，即，
所以曲线E的方程为.
（2）设，则
，，
所以当时，，
所以，即的最大值为.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可设，
将点的坐标代入，得，所以，
故C的标准方程为.
（2）设线段AB的中点为，
则，，即.
不妨设，当时，直线，此时，，不合题意.
当时，，此时，
所以直线，即，①
由得，
由，得，
则，，
故
，即，
解得（舍去）或，
所以，满足，
故直线l的方程为或.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为双曲线C的左焦点为，所以.
由离心率，得，所以，
所以C的方程为.
（2）证明：设（，），，显然直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为.
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立消去y得.
联立消去x整理得，
则，，则，，
所以，
所以，
所以，解得，
所以点P在定直线上.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由
得.
因为直线l与抛物线C相切，
所以，解得（舍去）.
所以抛物线C的标准方程为.
（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m的方程为.
由得，.
设点，，则，
所以，
所以线段AB的中点.
设A，B，M到直线l的距离分别为，，，
则.
因为，所以当时，.
所以A，B两点到直线l的距离之和的最小值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以.
又，所以，.
故椭圆C的方程为.
（2）由（1）得，，.
设直线BM的方程为，，
代入椭圆C的方程，得.
设，则，
解得，，所以，
用替换k，可得，
所以直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，
所以直线AM的方程为，①
直线BN的方程为.②
联立①②，得直线AM，BN的交点P的横坐标，
所以点P在定直线上.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)