第4章 数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第4章 数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 20:17:01 | ||
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文档简介
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第4章 数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
2．若数列的前n项和，则数列的通项公式( )
A. B. C. D.
3．设等比数列的前n项和为，若，，则( )
A.24 B.12 C.24或 D.或12
4．已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则( )
A.2 B. C.4 D.或2
5．已知数列5，，7，，…，（n为奇数，），其中奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，则该数列偶数项的和为( )
A. B. C. D.
6．在各项均为正数的等比数列中，若，，则( )
A.50 B.60 C.70 D.80
7．已知一个项数为偶数的等比数列中，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( )
A.1 B.4 C.12 D.36
8．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间，每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为a，则该大殿9间的总宽度为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知等差数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
10．下列各选项中，使数列为递增数列的是( )
A. B.
C.， D.，
11．数列满足，则( )
A.数列的最大项为 B.数列的最大项为
C.数列的最小项为 D.数列的最小项为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列满足，，则数列的通项公式为__________.
13．数列满足，，则的通项公式为__________.
14．已知数列满足，，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设是等比数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）若，求数列的前n项和.
16．已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.
17．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数k的个数，数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解.
18．已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19．已知数列是首项为1的正项数列，且，数列满足，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求.
参考答案
1．答案：B
解析：由，得，所以，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以.
2．答案：B
解析：当时，，解得；当时，，即，所以数列是等比数列，首项与公比都为，所以.
3．答案：A
解析：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列.因为，，所以，解得或，因为，所以，则.
4．答案：B
解析：设数列的公比为q，则当时，，则，，，此时，，不是等差数列，不符合题意，舍去；当时，因为，，成等差数列，所以，即，即，解得或（舍去）或（舍去），所以.
5．答案：C
解析：由题意知奇数项的通项公式为，令，得，所以奇数项有个，所以偶数项有个，分别为，，…，，则该数列偶数项的和为.
6．答案：C
解析：设等比数列的公比为q，由题可知.
方法一：由已知条件可列出方程组两式作商得，所以，
所以.
方法二：由性质，得，即，所以，所以.
方法三：由已知条件，，得，所以，即，所以.由，解得.
方法四：因为，，成等比数列，而，，所以，即，所以.
7．答案：C
解析：由题意得，故.设等比数列的公比为q，该等比数列共有项，则，所以，由，得，故.
8．答案：D
解析：由题意，设明间的宽度a为等比数列的首项，从明间向右共5间，宽度成等比数列，公比为；同理从明间向左共5间，宽度成等比数列，公比为.由，得，所以总宽度为.
9．答案：CD
解析：根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以.又，所以公差，.故选CD.
10．答案：BD
解析：对于A，，数列是递减数列（【另解】因为函数在上单调递减，所以数列是递减数列），故A不符合题意；对于B，，数列是递增数列（【另解】因为函数在上单调递增，所以数列是递增数列），故B符合题意；对于C，，，则，，数列不是递增数列，故C不符合题意；对于D，，数列是递增数列，故D符合题意.
11．答案：BD
解析：令，，由反比例函数的性质得在上单调递减，在上单调递减，所以当时，是递减数列，当时，是递减数列.又当时，，当时，，所以数列的最大项为，最小项为.
12．答案：
解析：令，则，解得.将两边同时减2，得，整理得，所以.令，则，，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以.
13．答案：（或）
解析：方法一：因为，所以，则，所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为2.由，得，所以
方法二：设，则，则解得所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.
14．答案：
解析：第一步，求不动点，令，得，解得，；第二步，令两式相除并整理得，又，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以，所以.
15．答案：（1），
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q.
由题可得，又，所以.
又，所以，，
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
16．答案：（1）
（2）9089
解析：（1）依题意得.
当时，，所以.
当时，，，
两式作差得，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，，
又，同时，所以，
所以
.
所以的前100项和为9089.
17．答案：（1）
（2）8
解析：（1）由取倒数得，
所以，即，
所以为公差为的等差数列，
所以，所以.
（2）当时，，所以，
所以这样的k有个，即，所以，
则，
，
两式相减得，
所以，所以为递增数列，
又，，所以，
所以关于n的不等式的最大正整数解为8.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）方法一：因为是等差数列，公差为d，且，，
所以解得，，
所以.
所以数列的通项公式为.
方法二：因为是等差数列，所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，即，所以，
所以.
所以数列的通项公式为.
（2）令，则，得，又，
所以当时，；当时，.
因为，，
所以当时，
；
当时，
.
综上，
19．答案：（1）数列的通项公式为；数列的通项公式为
（2）
解析：（1）由，
可得，
又数列是首项为1的正项数列，
所以，即，
所以，
所以有，
也满足，
所以数列的通项公式为.
数列满足，即，
则有，
所以
，
也满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
设，
则，①
，②
可得
，
所以.
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第4章 数列--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
2．若数列的前n项和，则数列的通项公式( )
A. B. C. D.
3．设等比数列的前n项和为，若，，则( )
A.24 B.12 C.24或 D.或12
4．已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则( )
A.2 B. C.4 D.或2
5．已知数列5，，7，，…，（n为奇数，），其中奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，则该数列偶数项的和为( )
A. B. C. D.
6．在各项均为正数的等比数列中，若，，则( )
A.50 B.60 C.70 D.80
7．已知一个项数为偶数的等比数列中，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( )
A.1 B.4 C.12 D.36
8．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间，每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为a，则该大殿9间的总宽度为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知等差数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
10．下列各选项中，使数列为递增数列的是( )
A. B.
C.， D.，
11．数列满足，则( )
A.数列的最大项为 B.数列的最大项为
C.数列的最小项为 D.数列的最小项为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列满足，，则数列的通项公式为__________.
13．数列满足，，则的通项公式为__________.
14．已知数列满足，，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设是等比数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）若，求数列的前n项和.
16．已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.
17．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数k的个数，数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解.
18．已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19．已知数列是首项为1的正项数列，且，数列满足，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求.
参考答案
1．答案：B
解析：由，得，所以，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以.
2．答案：B
解析：当时，，解得；当时，，即，所以数列是等比数列，首项与公比都为，所以.
3．答案：A
解析：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列.因为，，所以，解得或，因为，所以，则.
4．答案：B
解析：设数列的公比为q，则当时，，则，，，此时，，不是等差数列，不符合题意，舍去；当时，因为，，成等差数列，所以，即，即，解得或（舍去）或（舍去），所以.
5．答案：C
解析：由题意知奇数项的通项公式为，令，得，所以奇数项有个，所以偶数项有个，分别为，，…，，则该数列偶数项的和为.
6．答案：C
解析：设等比数列的公比为q，由题可知.
方法一：由已知条件可列出方程组两式作商得，所以，
所以.
方法二：由性质，得，即，所以，所以.
方法三：由已知条件，，得，所以，即，所以.由，解得.
方法四：因为，，成等比数列，而，，所以，即，所以.
7．答案：C
解析：由题意得，故.设等比数列的公比为q，该等比数列共有项，则，所以，由，得，故.
8．答案：D
解析：由题意，设明间的宽度a为等比数列的首项，从明间向右共5间，宽度成等比数列，公比为；同理从明间向左共5间，宽度成等比数列，公比为.由，得，所以总宽度为.
9．答案：CD
解析：根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以.又，所以公差，.故选CD.
10．答案：BD
解析：对于A，，数列是递减数列（【另解】因为函数在上单调递减，所以数列是递减数列），故A不符合题意；对于B，，数列是递增数列（【另解】因为函数在上单调递增，所以数列是递增数列），故B符合题意；对于C，，，则，，数列不是递增数列，故C不符合题意；对于D，，数列是递增数列，故D符合题意.
11．答案：BD
解析：令，，由反比例函数的性质得在上单调递减，在上单调递减，所以当时，是递减数列，当时，是递减数列.又当时，，当时，，所以数列的最大项为，最小项为.
12．答案：
解析：令，则，解得.将两边同时减2，得，整理得，所以.令，则，，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以.
13．答案：（或）
解析：方法一：因为，所以，则，所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为2.由，得，所以
方法二：设，则，则解得所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.
14．答案：
解析：第一步，求不动点，令，得，解得，；第二步，令两式相除并整理得，又，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以，所以.
15．答案：（1），
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q.
由题可得，又，所以.
又，所以，，
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
16．答案：（1）
（2）9089
解析：（1）依题意得.
当时，，所以.
当时，，，
两式作差得，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，，
又，同时，所以，
所以
.
所以的前100项和为9089.
17．答案：（1）
（2）8
解析：（1）由取倒数得，
所以，即，
所以为公差为的等差数列，
所以，所以.
（2）当时，，所以，
所以这样的k有个，即，所以，
则，
，
两式相减得，
所以，所以为递增数列，
又，，所以，
所以关于n的不等式的最大正整数解为8.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）方法一：因为是等差数列，公差为d，且，，
所以解得，，
所以.
所以数列的通项公式为.
方法二：因为是等差数列，所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，即，所以，
所以.
所以数列的通项公式为.
（2）令，则，得，又，
所以当时，；当时，.
因为，，
所以当时，
；
当时，
.
综上，
19．答案：（1）数列的通项公式为；数列的通项公式为
（2）
解析：（1）由，
可得，
又数列是首项为1的正项数列，
所以，即，
所以，
所以有，
也满足，
所以数列的通项公式为.
数列满足，即，
则有，
所以
，
也满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
设，
则，①
，②
可得
，
所以.
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