浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上学期期末测试 数学（含解析）

浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上学期期末测试
数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点且倾斜角为的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
4.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知二面角的大小为，棱上有，两点，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段与都垂直于若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.已知，为圆上的两个动点，且，若直线上存在点，且为线段的中点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义若数列的前项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 椭圆的离心率为
C. 双曲线的实轴长为
D. 抛物线的焦点坐标为
10.等比数列的公比为，且满足，，记，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 使成立的最小自然数等于
11.四棱锥的底面为正方形，底面，，，，，其中，下列说法正确的是( )
A. 存在实数，使得异面直线与的所成角为
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 二面角的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为 ．
13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，当时，使得需要 步雹程．
14.已知抛物线，点在上，为常数，按照如下方式依次构造点和过点作斜率为的直线与的另一交点为，过点作斜率为的直线与的另一交点为，记的坐标为，的坐标为，直线的斜率为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点．
求直线的方程
求圆的标准方程．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点满足，其中．
若平面，求的值
当时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．
求的方程
过点的直线交双曲线的左支于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立若存在，求的值若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知为等差数列，，，记
求数列，的通项公式
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
(ⅰ)求数列的前项和
(ⅱ)在数列中是否存在项，，其中，，成等差数列成等比数列若存在，求出这样的项若不存在，请说明理由．
19.本小题分
造型可以看作图中曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为．
求的值
当点在上时，求证：
如图，过点作两条互相垂直的弦，分别交曲线于，，，，其中，求四边形面积的最小值．
答案
1.
解：根据题意，要求直线的倾斜角为，
则该直线与轴垂直，其斜率不存在，
又由直线过点，
则其方程为．
故选：．
2.
解：因为向量，，
则．
故选：．
3.
解：设等差数列的公差为，
由题意可得，
，，解得，
所以．
故选：．
4.
解：因为抛物线的标准方程为：，焦点在轴正半轴上，
所以，即，
所以，
所以准线方程．
故选：．
5.
解：设，，
因为椭圆：，
所以由椭圆的定义可知，
，
所以，
所以，
由勾股定理可知：，
求得．
故选：．
6.
解：，，
，
又直线、分别在这个二面角的两个半平面内，二面角的大小为，
，，
，

，
．
故选：．
7.
解：圆 的方程可化为 ，
圆心为 ，半径 ，
取的中点为 ，
连接 ，由于 ，
则 ，
因此点 在以 为圆心，为半径的圆上，即 ，
又点 在直线 上，
所以直线 与圆 有公共点，
则 ，解得 ．
故实数 的取值范围是 ．
故选：．
8.
解：因为，
当时，，
当时，，满足上式，
故，
因为，
所以，即，
所以，即，
因为，且恒成立，
所以，或者，
即或者，
解得或者，
所以
故选：．
9.
解：对于，圆的标准方程为：，半径为，故A正确
对于，，，，得，故B正确；
对于，双曲线的实轴长为，故C错误；
对于，由方程得，，焦点坐标为，故D正确．
故选：．
10.
解：对于选项A：因为 为等比数列，且 ，
又因为 ，，
所以，
所以 ，故A正确；
对于选项B：由等比中项知： ，
所以 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，故C错误；
对于选项D：由等比中项知：
，
，故D正确．
故选：．
11.
解：
如图，将四棱锥补形成正四棱柱，
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，
得，同理，
对于选项：，，
所以，即，故A错误；
对于选项：，故B正确；
对于选项：，，
设为平面的一个法向量，
则，即
令，得，，
故平面的一个法向量为，
，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，
要求的最大值，只需考虑，令，
则，故
，
当且仅当，即时取等号，
所以，故C正确；
对于选项：，，，
设为平面的一个法向量，
则，即
令，得，，
故平面的一个法向量为，
同理可求得面的一个法向量为，
所以，
所以当时，二面角的最大值为，故D正确．
故选：．
12.
解： ， ，
存在实数使得 ，
，解得．
故答案为：
13.
解：当时，，共步．
故答案为：．
14.
解：点在上，故，
抛物线，
因为，，直线的斜率为，
所以，
同理，
两式相加化简得，
所以，
因此，即．
故答案为：．
15.解：把圆化为标准方程为
，得圆心，，
则直线，即．
方法一：设圆的方程为，
则
两式相减得，则，又因为，
所以，故所求圆的方程为；
方法二：圆心线段的中垂线方程为，
则圆心在直线上，
也在直线上，
解得圆心，
圆的半径，
圆的标准方程．
16.解：因为，由已知得平面，
所以，，两两互相垂直；
如图，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，，
故平面的一个法向量为，
因为，
所以，，
因为平面，
所以，
则；
因为，所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则．
所以平面与平面所成角的余弦值为．
17.解：由已知得，解得，，
所以双曲线的方程为；
设，，由题意知直线的斜率不为，
设直线的方程为，
联立，消得，，
所以
解得，假设存在实数，使得恒成立，
当，有一个交点为，此时不满足，
故，因此，
，
，
故存在实数满足条件．
18.解：设等差数列的公差为，
根据题意得，解得，，
所以，
所以；
方法一：，
所以，，
设，
记的前项和，
得：
，
所以，
即；
方法二：，
所以
，
假设数列中存在项，，其中，，成等差数列成等比数列，则，
所以．，即，
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，
所以，又，所以与已知矛盾，
所以数列中不存在三项，，成等比数列．
19.解：因为在曲线上，
所以到的距离为，而，
所以有，即；
证明：方法一：
因为，所以曲线的方程为，
可化为，即，
因此，
所以，当且仅当且时取等号；
方法二：同上曲线的方程为，
因此，
所以，当且仅当且时取等号；
方法三：如图设点在轴，直线上的射影分别为，，
则根据定义，
因此，即，，
所以，当且仅当且时取等号．
由，得，
当其中一条直线的斜率为时，另一条直线的斜率不存在，
此时，
当两条直线斜率均存在且不为时，
设直线的斜率为，倾斜角为，由对称性不妨设，，
则直线的方程为，其中，直线的方程为，
联立
化简得到，
所以
则，
故，
，
同理，
所以，
令，
令，
因为，
所以，，即，
所以在上单调递增，
当，即时，，
此时，
综上所述四边形面积的最小值为．