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《运算律》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《运算律》单元是数与代数领域第二学段“数与运算”中的重要内容。《课程标准》在“内容要求”提出了：“在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义，能进行整数四则混合运算。探索并理解运算律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律、乘法对加法的分配律），能用字母表示运算律。”在“学业要求”中指出：“能进行整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步），正确运用小括号和中括号。能说出运算律的含义，并能用字母表示；能运用运算律进行简便运算，解决相关的简单实际问题，形成运算能力。”
（二）单元教材内容分析
本单元主要内容包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及这些运算律在简便计算中的应用。教材先通过具体情境引出加法交换律和结合律，让学生经历从具体实例到抽象概括的过程，初步理解运算律的意义和价值。接着学习乘法交换律、结合律和分配律，在学习过程中注重引导学生类比加法运算律的探究方法，自主发现乘法运算律，培养学生的迁移类推能力和抽象概括能力。最后，将运算律应用于简便计算，让学生体会运算律在数学计算中的实用性，提高计算的灵活性和准确性。
（三）学生认知情况
在学习本单元之前，学生已经对四则运算有了一定的掌握，能够熟练地进行整数的加、减、乘、除运算。他们在之前的学习中，也积累了一些关于算式规律的感性认识，但这种认识还处于比较零散、模糊的状态，尚未上升到系统的、理性的运算律层面。四年级的学生已经具备了一定的观察能力，能够发现一些算式表面上的特征和变化。在老师的引导下，也能够进行简单的猜想和验证。然而，在验证过程中，他们可能会出现举例不全面、不能有条理地进行归纳总结等问题。在应用运算律进行简便计算时，部分学生可能会受到原有计算习惯的束缚，不能灵活地运用运算律对算式进行变形，或者在选择合适的运算律时出现错误。
二、单元目标拟定
1.引导学生理解并掌握加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能用字母表示这些运算律。使学生能够运用运算律进行一些简便运算，提高计算能力。
2.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，培养学生的抽象概括能力和推理能力，渗透符号化思想。
3.让学生在探索运算律的过程中，体会从特殊到一般的思维方法，积累数学活动经验
三、关键内容确定
（一）教学重点
探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便运算。
（二）教学难点
探索并理解加法和乘法的运算定律，会应用它们进行一些简便运算。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。小学阶段简便运算教学既是融会数学运算定律和性质，借助已有的数学模型，引导学生探索简便计算方法的过程，也是发展学生数学思考的过程。运算定律的教学不仅要考虑如何使学生会“算”，更要通过探究“算”的过程使学生学会辨析和思考，体会简算过程的合理性、简洁性和逻辑性，提升学生的简算意识和研究计算问题的兴趣。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.教材从学生熟悉的生活情境出发，引出运算律的教学内容。例如，通过李叔叔骑自行车旅行的情境，引出加法交换律和加法结合律的学习。这样的编排可以让学生感受到数学知识与日常生活息息相关，提高学生学习运算律的兴趣和积极性。
2.教材注重让学生经历运算律的发现过程，采用 “观察——猜想——验证——归纳” 的教学模式。
3.在学习乘法运算律时，教材引导学生类比加法运算律的学习方法。
4.教材渗透了多种数学思想。在运算律的学习过程中，渗透了归纳推理思想。同时，用字母表示运算律，渗透了符号化思想。
5.教材重点强调了运算律在简便计算中的应用。在学生掌握了运算律之后，专门安排了相关内容，让学生学会如何运用运算律对算式进行简便运算。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 运算律 加法交换律 1
加法结合律 1
加法运算定律的应用 1
减法的性质 1
乘法交换律和乘法结合律 1
乘法分配律 1
乘除法的简便运算 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《加法交换律》 目标： 通过解决实际问题，经历加法运算定律的探索过程，理解并掌握加法交换律。 任务一：探究加法交换律 → 任务二：用字母表示发现的规律→ 1.能通过解决问题列出等式并进行观察，提出猜想，进行验证、得出结论。 2.能用自己喜欢的方式表示加法交换律。
3.2《加法结合律》 目标： 理解并掌握加法结合律，并能够用字母表示，初步感受应用加法结合律可以使一些计算简便，培养应用意识。 任务一：探究加法结合律 → 任务二：用字母表示发现的规律→ 1.能通过解决问题列出等式并进行观察，提出猜想，进行验证、得出结论。 2.能用符号或字母表示加法结合律。
3.3《加法运算定律的应用》 目标： 经历计算过程，能够将所学的两条加法运算定律综合运用于解决实际问题的计算中，使计算过程比较简便。 任务一：阅读与理解 → 任务二：加法运算定律的应用 → 1.能够结合统计表和行车路线图获取相关的数学信息，并提出用加法解决的问题。 2.能够根据问题列出算式，并运用加法运算律计算，感受计算的简便性。
3.4《减法的性质》 目标： 通过观察、猜想、验证等数学活动，让学生探究、发现、归纳减法的运算性质，提高学生理性思考、推理和抽象概括的能力。 任务一：阅读与理解 → 任务二：探究减法的性质 → 1.能从题中获取相关的数学信息，知道要解决的问题。 2.能用多种方法计算，并归纳出减法的运算性质。
3.5《乘法交换律和乘法结合律》 目标： 让学生在观察、猜测、验证、比较等活动中，能自主概括出乘法交换律和乘法结合律，会用字母表示规律。 任务一：探究乘法交换律 → 任务二：探究乘法结合律 → 1.能用自己的语言描述乘法交换律，并会用字母表示。 2.能用自己的语言描述乘法结合律，并会用字母表示。
3.6《乘法分配律》 目标： 通过观察、分析和比较，引导学生概括出乘法分配律，理解、掌握并学会应用乘法分配律。 任务一：交流算法，初步感知 → 任务二：探究乘法分配律 → 1.能用两种不同的方法解决实际问题，在两个不同的算式之间建立起联系。 2.能用自己的语言描述乘法分配律，并会用字母表示。
3.7《除法的简便运算》 目标： 理解并掌握乘法交换律、结合律和分配律以及除法的运算性质，并能运用这些运算定律和性质进行简便运算。 任务一：应用乘法运算进行简便运算 → 务二：探究除法的性质 → 1.学会用乘法运算律进行简便运算。 2.能用多种方法计算，并归纳出除法的运算性质。
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《3.5 乘法交换律和乘法结合律》教学设计
课题 乘法交换律和乘法结合律 单元 第三单元 学科 数学 年级 四年级
教材分析 主题图呈现了一个“同学们植树”的生活化情境，其中蕴含的信息极为丰富。这样，一方面为学习运算定律做素材上的准备，另一方面也为解释算式的意义提供了现实依据。例5先根据要解决的问题，得到等式4×5=25×4，然后提出“再写出几个这样的等式”，让学生从更多的“交换两个因数，积不变的算式中发现规律，并为归纳乘法交换律提供素材。通过呈现乘法交换律的内容，并提出“用自己喜欢的方式表示”，体现符号化思想，并在此基础上提出用字母表示定律，形成定律模型。例6教学乘法结合律，学生通过解决“一共要浇多少桶水”的问题，呈现了一个乘法结合律的实例。接着，提出“再举出几个这样的例子”，让学生找到具有同样特点的一些等式，在此基础上引导学生总结规律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。最后要求学生用字母来表示这条规律，由提出问题，让学生思考并归纳交换律、结合律的基本特点。
学习目标 1.学习目标描述：让学生在观察、猜测、验证、比较等活动中，能自主概括出乘法交换律和乘法结合律，会用字母表示规律。在计算中，体验应用乘法交换律和乘法结合律，从而学会应用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。2.学习内容分析：学生对乘法交换律在以前的学习中已有初步认识，在作业或者练习中已经接触过当一个乘法算式里的因数交换位置后，通过计算会发现它们的积并不变。这节课我们正式概括出任意的例子让学生观察、发现对任意两个整数相乘有同样的性质，从而总结出“乘法交换律”这个术语。对于乘法结合律这部分内容，教材是在学生已经掌握了乘法的意义，并且对乘法交换律有了初步认识的基础上进行教学的。本节课力求突出以学生发展为本的教育思想，整个教学过程要求以学生为主体尽量激励学生动口、动眼、动脑，积极探究问题，采用多种方法，通过学生的观察、比较、验证、归纳、运用等数学学习形式，让学生去感受数学问题的探索性和挑战性，促使学生积极主动地参与学习的全过程。3.学科核心素养分析：培养学生的逻辑推理能力和数学思维。通过学习乘法交换律和结合律，使学生能够理解并运用这些基本数学规律进行简便计算，提高其数学运算能力。同时，通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和沟通交流能力，使其能够更好。
重点 能用自己的语言描述乘法交换律和乘法结合律，并会用字母表示。
难点 能灵活运用乘法交换律和乘法结合律解决简单的实际问题，提高计算能力。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：猜猜这是什么？课件出示：兄弟几个人，各进一道门，哪个进错了，看了笑死人。（打一物）师：你们怎么会想到是纽扣的？师：纽扣交换了位置，就会闹笑话，我们刚学的加法运算定律也和交换位置有关，谁能将加法交换律说给同学们听听？师：那么什么是加法结合律呢？师：用字母怎么表示？师：我们学习这些运算定律的目的是什么？师：那么乘法有没有类似的规律呢？今天我们就一起来探究一下与乘法有关的运算定律。 学生独自猜一猜：是纽扣。学生：把纽扣扣错了，衣服穿出去很难看，会让人笑话的。学生：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。这叫作加法交换律。学生： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。这叫作加法结合律。学生1：加法交换律是a+b=b+a。学生2：加法结合律是（a+b）+c=a+（b+c）。学生：为了使计算更加简便。 借助猜谜语引入新课，不仅活跃了课堂氛围，还帮助学生复习了旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。通过课前谈话引入新课，激发学生探究新知的欲望和积极性。
讲授新课 任务一：探究乘法交换律师：你们知道每年的3月12日是什么日子吗？师：植树造林不仅可以绿化和美化家园，还可以保护环境。光明小学开展了植树活动。课件出示：同学们参加植树活动，一共分成25个小组，每组中4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。师：认真读一读，你能知道哪些数学信息？师：根据这些数学信息你能提出哪些数学问题？师：大家提出了这么多的数学问题，我们先来解决前两个问题。课件出示：（1）负责挖坑、种树的一共有多少人？师：要想解决这个问题，需要哪些条件？师：谁能把这一数学问题完整地说一遍？师：你会解答这个问题吗？依据是什么？师：还可以怎么列式？师：请观察这两个算式，说说你们有什么发现？师：这组算式有什么规律？你能提出什么猜想？师：你们的猜测到底对不对呢？自己试着举例验证，填写在课本24页。课件出示：你能再写出几个这样的等式吗？你发现了什么？____×____=____×________×____=____×____师：通过大家共同举例验证，说明这个规律是成立的。在数学上，两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫作乘法交换律。通常我们会用字母表示。课件出示：用字母表示：a×b=b×a 学生：植树节。学生独自观察，然后自由说说。学生1：负责挖坑、种树的一共有多少人？学生2：一共要浇多少桶水？……学生：一共有25个小组，每组里4人负责挖坑、种树。学生：同学们参加植树活动，一共分成25个小组，每组中4人负责挖坑、种树。负责挖坑、种树的一共有多少人？学生独自思考，然后回答：本题实际是求4个25是多少，用乘法计算，所以算式是4×25=100（人）。学生：25×4=100（人）。学生独自观察，然后回答：它们的结果相等，所以4×25=25×4。学生提出猜想：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 学生举例验证。 引导学生了解题目中有哪些数学信息，有助于提高学生收集、处理、分析有效的数学信息的能力，继而提高学生分析问题和提出问题的能力。放手让学生大胆猜测，自主验证，在探索的过程中，让学生来总结归纳数学定律。随后，用字母来表示乘法交换律，使知识点由抽象向具体过渡，建构模型。
任务二：探究乘法结合律师：刚才通过共同探讨，得出乘法算式中同样也有交换律，那么乘法中会不会也有结合律呢？课件出示：（2）一共要浇多少桶水？师：要想解决这个问题，需要哪些条件？师：谁能把这一数学问题完整地说一遍？师：要解决这个问题必须先求什么？怎样列算式？先在练习本上算算，然后与同伴说说自己的想法。师巡视指导，并了解情况，然后提问：谁来说说？展示：（25×5）×2=125×2=250（桶）答：一共需要浇250桶水。师：还有不同的方法吗？展示：25×（5×2） =25×10=250（桶）答：一共需要浇250桶水。师：观察这两个算式，说说它们有什么联系？根据学生的回答，课件出示：(25×5)×2=25×(5×2)师：通过这两个式子，你有什么猜想？师：像这样三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，它们的结果都相等吗？请你再举出几个这样的例子，填到课本25页。师：从上面的等式中，你发现了什么？师：在数学上，三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数积不变。这叫作乘法结合律。如果用字母a、b、c分别表示这三个因数，你能写出乘法结合律吗？根据学生的回答，课件出示：用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）师：比较加法交换律和乘法交换律、加法结合律和乘法结合律你发现了什么？分小组交流。根据学生的回答，师小结：交换律是两个数相加、相乘的规律，即换加（因）数的位置，和（积）不变；结合律是三个数相加、相乘的规律，既可以从左往右依次计算，也可以先把后两个数先相加（乘），和（积）不变。 学生：一共分成25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。学生：同学们植树，一共分成25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。一共需要浇多少桶水？学生按要求能完成。学生：我先计算一共种了多少棵树……学生：我先计算每组要浇多少桶水，这样计算简便些。学生独自观察，然后回答：同样的一个算式，我们用不同的运算顺序计算，但结果相等，可以用等号连接起来。学生：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。学生举例验证，并集体汇报。学生：通过举例验证，发现上面的猜测是正确的。学生独自思考，然后回答：（a×b）×c=a×（b×c）。学生分组交流，然后集体交流。 在学生出现两种不同的计算方法时，教师趁势引出乘法结合律的教学，然后通过对比、观察，总结出乘法结合律，并通过举例进行不完全归纳，提高学生解决问题的能力。让学生经历“提出猜想—验证猜想—总结规律—建立模型”这几个步骤，通过数学现象的引入、学生对现象的观察，提高学生自主探究和归纳总结的能力。
课堂练习 基础题：1.下面哪些算式运用了乘法运算定律？分别运用了哪些运算定律？23×11=11×23(2×5)×56=2×(5×56)125×13×8=13×(125×8)25×125×32=(25×4)×(125×8)2.能简算的要简算。125×(23×8) 30×67÷67×30 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
提高题：3.网络链接。
拓展题 4.在运动会开幕式上进行大型团体操表演。一共有4个方阵，每个方阵有15行，每行有25个人。一共有多少人参加表演？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 乘法交换律和乘法结合律两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫作乘法交换律。 用字母表示：a×b=b×a三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数积不变。这叫作乘法结合律。 用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c） 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.对号入座。（把正确的答案的序号填在括号里）（1）计算64×26后，可以交换两个乘数的位置进行验算，是运用了（ ）。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法交换律和结合律 （2）49×25×4＝49×(25×4）这是根据（ ）。 A.乘法交换律 B.乘法分配律 C.乘法结合律 2.学校新教学楼共有4层，有7间教室，每间教室要配25套双人课桌椅，一共要购进多少套双人课桌椅？选做题：1.填一填。78×56=______×______(35×25)×40=35×(______×______) 125×25×8×4=(______×______)×(______×______)(A×B)×C=______×(______×______)2.说出每组三个数的积是多少。
【综合实践类作业】用生活中的事例解释乘法交换律和乘法结合律。
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