2025年中考数学九年级一轮复习【图形的变动】专题（锐角三角形部分）过关题（含答案）

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2025年中考数学九年级
一轮复习【图形的变动】专题（锐角三角形）部分过关题
一、单选题
1．（2023·杭州模拟）如图，在中，，D是上一点，连结，若，则的长可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023九上·淮安月考）若，则锐角的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九下·三水开学考）下列三角函数中，值为的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022九下·南宁模拟）如图，在中，，则长为（　　）
A．4 B．8 C． D．12
5．（2024九上·兰溪期中）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2023·宝山模拟）在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（　　）
A．2 B． C． D．
7．如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（　　）
A．4m B． m
C．（5 + ）m D．（ + ）m
8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（　　）
A．2cm B．1.8cm C．1.5cm D．1.2cm
9．（2024·德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为.（、在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物的高为(　　)米
A．20 B．15 C．12 D．
10．（2022·宁海）若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九下·克什克腾旗模拟）如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东方向上．乙留在原地休息，甲继续向前走了40米到B处，此时测得乙在其北偏东方向上．求道路的宽　 　．
12．（2024九上·金堂月考）如图所示，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度i=1∶0.5，则山的高度为　 　米．
13．（2024九下·郑州模拟）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为，则这座金字塔原来的高为 （用含的式子表示）．
14．如图，在等腰三角形中，AB=AC，BC=4，D为BC的中点，点E、F在线段AD上，tan∠ABC=3，则阴影部分的面积是　 　
15．（2021·洪山模拟）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为　 　（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
16．（2023九上·鹿城月考）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，已知，当在同一水平高度上时，，则　 　；为方便存放，将车架前部分绕着点旋转至，如图3所示，则为　 　．
三、计算题
17．（2024九上·吉林月考）计算
（1）；
（2）．
18．（2024九上·婺城月考）计算：tan60°+sin30°﹣tan45° cos30°
19．（2023·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，出车库地面入口斜坡长．
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头可以调整可识别角度，可识别角度的最大范围是，在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．(参考数据：)
素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．
问题解决 任务一 确定斜坡坡比；如图1，求的值．
任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．
项目反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度，使汽车以最高限速行驶时，可以顺利通过闸口，请计算的取值范围．
四、解答题
20．（2023九下·枣阳模拟）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙面上，梯子与水平地面所成．现将梯子底端向墙面靠近移动到点处，顶端移动到墙面的点处，使梯子与地面所成，求梯子底端向墙面移动了多少米？（结果精确到；参考数据：）
21．（2023九下·巴东模拟）数学学习实践活动小组计划运用所学知识测量学校小山上古塔的高．他们选取适当的位置进行测量，在山下的点A处测得小山上的古塔底部点E的仰角为，向右前进到达点B处，测得古塔顶点的仰角为．已知小山高，A、B、C、E、F五点在同一个平面上．请你根据以上条件求小山上古塔的高（结果保留整数）．
参考数据：，，；，，；
22．（2020·昆明模拟）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
23．（2020九上·西安月考）在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 （如图），在烟囱正西方向的楼房 的顶端C处，测得烟囱的顶端A的仰角为 ，底端B的俯角为 已量得 .拆除时若让烟囱向正东方向倒下，试问：距离烟囱正东方向 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据： ）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形
2．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
3．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
4．【答案】B
【知识点】已知余弦值求边长
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—面积关系
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
14．【答案】6
【知识点】解直角三角形
15．【答案】45.8米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
16．【答案】25；
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形
17．【答案】（1）；
（2）．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
18．【答案】解：原式
.
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
19．【答案】任务一：；任务二：闸门没有打开；任务三：
【知识点】解直角三角形
20．【答案】米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
21．【答案】小山上古塔的高约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
22．【答案】解：延长CB交PQ于点D．
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ．
∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，
∴==．
设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．
∵AB=13米，
∴k=1，
∴BD=5米，AD=12米．
在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，
∴CD=AD tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，
∴BC≈5.8米．
答：二楼的层高BC约为5.8米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
23．【答案】解：距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着. 理由如下：
∵ m，∠GCB=30°，∠ACG=45°，
∴ m，
∴
m，
∴ m，
∵ ＞35，
∴距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
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