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二次根式 单元复习培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．20cm B． C． D．
5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．对于二次根式，字母x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（ ）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
8．下列化简错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
10．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|+的结果为 ．
12．已知，化简 ．
13．当 时，二次根式有最小值．
14． 同一地点从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体的高度有关.若物体从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s），且t与h的关系可以表示为（k为常数），当时，.则从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为 s.
15．方程的解是 ．
16．已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
19．做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4 ：2：1的长方体．求：
（1）该长方体的长、宽、高．
（2）该长方体的表面积．
（3）该长方体的体积．
20．
（1） 成立的条件是
（2）已知 ，则a的取值范围是
（3）已知 ，则x的取值范围是
21．已知：a＝ ﹣1，b＝ +1.
求：
（1）a﹣b的值；
（2）ab的值；
（3） 的值.
22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
23．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
24．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
（1）请你用上面的方法验算
（2）已知a= ，b= ，较a与b的大小关系。
（3）从计算结果中找山规律，并利用这一规律计算；
的值。
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二次根式 单元复习培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件被开放式非负可得关于x的不等式，解这个不等式即可求解.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、则本项计算错误，不符合题意；
B、则本项计算正确，符合题意；
C、则本项计算错误，不符合题意；
D、则本项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质即可计算A项；根据二次根式的除法运算法则即可计算B项；根据二次根数的减法计算法则即可计算C项；根据二次根式的乘法计算法则即可计算D项.
3．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
B、和不是同类项，无法合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的性质和加减运算逐一计算即可.
4．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．20cm B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm，
根据题意得：，
∴，
则图②中两块阴影部分周长和是：
=20（cm），
∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm.
故答案为：A.
【分析】设小长方形卡片的长为xcm，根据大长方形的长表示出，列式表示出图②中两块阴影部分周长和，将代入计算即可求解.
5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、＝，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式的定义，二次根式的性质计算求解即可。
6．对于二次根式，字母x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可．
7． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（ ）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：
∵ 最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类根式，
∴2a-5=11-2a
解得，a=4
故答案为：D.
【分析】两根式可以合并，说明它们是同类根式，即被开方数相同，由此列方程进行求解即可。
8．下列化简错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
故答案为：C
【分析】根据题意对每个选项进行化简，进而对比即可求解。
9．已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【答案】B
【解析】解答：由题意是正整数所以 >0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B
分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程
10．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|+的结果为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由数轴得到：
∴
∴原式=
故答案为：1.
【分析】根据数轴得到即然后根据绝对值和二次根式的性质即可化简.
12．已知，化简 ．
【答案】a
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
又a2≥0
∴b≤0，
又∵ab<0，
∴a>0，b<0，
∴.
故答案为：a.
【分析】根据二次根式有意义及偶数次幂的非负性得到b≤0，再结合ab<0，得a>0，b<0，进而根据二次根式的性质即可得到答案.
13．当 时，二次根式有最小值．
【答案】3
【解析】【解答】解：根据题意得
3x-9≥0，
∴当3x-9=0时， 二次根式有最小值，
∴x=3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到当二次根式有最小值时，被开方数为0，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
14． 同一地点从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体的高度有关.若物体从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s），且t与h的关系可以表示为（k为常数），当时，.则从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为 s.
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
则，
当时，，
从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为，
故答案为：．
【分析】先根据题意代入数据求出，再求出时t的值即可．
15．方程的解是 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵方程，
∴x-1=0或x-2=0，且，
∴x=1或x=2且x≥2，
∴x=2，
故答案为：x=2.
【分析】根据题意先求出x-1=0或x-2=0，且，再计算求解即可。
16．已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
【答案】（1）解：把 x=0代入二次根式，得 = = 3
（2）解：把x= 代入二次根式，得 = =
（3）解：把x=-2代入二次根式，得 = =5
【解析】【分析】（1）把x=0代入二次根式，再开方即可得出答案；
（2）把x=
代入二次根式进行计算，即可得出答案；
（3）把x=-2代入二次根式，再开方即可得出答案.
18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）21；4；1；2
（3）解：
＝-
＝-
＝-
＝-
＝++-
＝
【解析】【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn.
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2.
【分析】（1）a+b＝(m+n)2=m2+2mn+3n2，据此可得a、b；
（2）设a+b＝(m+n)2=m2+2mn+5n2，则a＝m2+5n2，b＝2mn，令m＝1，n＝2，求出a、b的值即可；
（3）原式可变形为-，根据二次根式的性质可得原式=-，然后分母有理化并化简即可.
19．做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4 ：2：1的长方体．求：
（1）该长方体的长、宽、高．
（2）该长方体的表面积．
（3）该长方体的体积．
【答案】（1）解：设长方体的高为 x cm，则长为4x cm，宽为2x cm，由
题意得4x×2x=24，解得x1= ，x2=- (舍去)，
则4x=4 ，2x=2 ，
答：这个长方体的长宽、高分别是4 cm，2 cm， cm．
（2）解：(4 ×2 + ×4 +2 × )×2
=(24+12+6) ×2=42×2= 84(cm2 )．
答：长方体的表面积是84 cm2．
（3）解：4 ×2 × =24 (cm3 )．
答：长方体的体积是24 cm3．
【解析】【分析】（1）利用比例设未知数，列出方程4x×2x=24，得到结果。
（2）利用长方体的表面积公式，得到(4 ×2 + ×4 +2 × )×2 ，得到结果。
（3）利用长方体体积公式，得到4 ×2 × ，得到结果。
20．
（1） 成立的条件是
（2）已知 ，则a的取值范围是
（3）已知 ，则x的取值范围是
【答案】（1）x≥1
（2）0
（3）x≥3
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
∴ x≥1；
（2）根据题意得：，
∴ 0（3）根据题意得：，
∴ x≥3.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（1）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案.
21．已知：a＝ ﹣1，b＝ +1.
求：
（1）a﹣b的值；
（2）ab的值；
（3） 的值.
【答案】（1）解：当a＝ ﹣1，b＝ +1时，
a﹣b＝ ﹣1﹣（ +1）
＝ ﹣1﹣ ﹣1
＝﹣2；
（2）解：ab＝（ ﹣1）（ +1）
＝（ ）2﹣12
＝2﹣1
＝1；
（3）解：原式＝
＝
＝
＝4+2
＝6.
【解析】【分析】（1）将a、b的值代入即可求解；
（2）先将a、b的值代入，再运用平方差公式即可求解；
（3）先通分，再代入数值即可求解.
22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=50时，t1= = (秒)
当h=100时，t2= = =2 (秒)
（2）解： ∵ ，∴t2是t1的 倍
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，得h=11.25，∴下落的高度是11.25米
【解析】【分析】（1）将h=50代入公式进行计算可求出t1的值；将t=100代入公式计算可求出t2的值.
（2）利用（1）中计算的结果可求出t2与t1的比值，即可求解.
（3）将t=1.5代入公式计算求出h的值.
23．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
【答案】（1）|
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）
【解析】【解答】（1）
∴ a=，b=2mn
（3）根据（2）方法，则有，则 ，可得m=5，n=2，则
【分析】本题考查材料题新定义。
（1）根据题干可知解题方法，把完全平方展开，等号两边对应项相等可得答案。
（2） a＋6＝（m＋n）2， 将等号右边展开之后，得，a、m、n均为正整数， 可知道，m=3或1，n=1或3，则a=16或64.
（3）依照（2）中方法，可得化简结果。注意.
24．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
（1）请你用上面的方法验算
（2）已知a= ，b= ，较a与b的大小关系。
（3）从计算结果中找山规律，并利用这一规律计算；
的值。
【答案】（1）==2-；
（2）a==-2
∴a=b
（3）原式=（+++···+）（）
=（-1）（）
=2013-1
=2012.
【解析】【分析】（1）结合题意，由分式的性质，结合平方差公式，将其分母有理化即可；
（2）根据公式，对分母有理化，再进行比较即可。
（3）根据分母有理化，将式子化简，根据平方差公式即可得到答案。
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