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第二十六章 反比例函数 单元综合提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝－2x－1 D． ＝2
2．反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．10 B．-10 C．4 D．-4
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知关于x的函数y=k（x﹣1）和y= （k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知反比例函数的图象经过点 ，则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．直线y =ax+b经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．反比例函数 ，当x > 0时的函数值y随x增大而减小
C．一元二次方程 的两根之和大于零
D．抛物线 的对称轴过第一、四象限
7．若反比例函数y1＝ 和一次函数y2＝k2x+b的图象交于A(－1，－7)，B(2，3.5)两点，若 －k2x -b>0，则x的取值范围是（ ）
A．－1C．x<－1或02
8．如图，点B是反比例函数图象上的一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCFG和正方形OCDE的面积之和为32，则反比例函数的解析式为( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
9．如图，点是反比例函数（是常数，）上的一个动点，过点作轴、轴的平行线交反比例函数（为常数，）于点、．当点的横坐标逐渐增大时，三角形的面积( )
A．先变大再变小 B．先变小再变大
C．不变 D．无法判断
10．下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）在反比例函数 的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 .
12．如图，在平面直角坐标系中，将菱形向右平移一定距离后，顶点C，D恰好均落在反比例函数（，）的图象上，其中点，，且轴，则 ．
13．如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为 ．
14．函数与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则的值为 ．
15．若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ．
16．如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 （填序号）
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝ 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x＝16时，大棚内的温度约为多少？
18．如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于点，.
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当时x的取值范围；
（3）求的面积.
19．如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.
20．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，直接画出一次函数和反比例函数的图象；
（2）连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求△ABC的面积；
（3）直接写出当时，x的取值范围.
21．如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－1，4），点B的坐标为（4，n）.
（1）根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标.
22．如图，在平面直角坐标系 中的第一象限内，反比例函数图象过点 和另一动点 .
（1）求此函数表达式；
（2）如果 ，写出x的取值范围；
（3）直线 与坐标轴交于点P，如果 ，直接写出点P的坐标.
23．我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点，点.
（1）函数的双语点是 ；
（2）函数（k为常数，目）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）函数的图象上只有唯一一个双语点，且当时，m的最小值为k，求实数k的值.
24．某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第 天销售的相关信息如下表所示：
销售量 （件）
销售单价 （元/件） 当 时， 当 时，
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店 元奖励，通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间 （天）的增大而增大，求 的取值范围.
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第二十六章 反比例函数 单元综合提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝－2x－1 D． ＝2
【答案】C
【解析】【解答】解：反比例函数的定义是：“形如 的函数叫做反比例函数”，其表达形式一般有3种，分别为：① ；② ；③ ，上述四个选项中，只有C选项中的式子符合要求，故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的定义是：“形如 的函数叫做反比例函数”和其表达形式"① ；② ；③"并结合各选项可判断求解.
2．反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．10 B．-10 C．4 D．-4
【答案】C
【解析】【解答】∵反比例函数 的图象经过点（ 2，5），
∴2 3k＝ 2×5＝ 10，
∴ 3k＝ 12，
∴k＝4，
故答案为：C．
【分析】将点（ 2，5）代入 求出k的值即可。
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：当m＜0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限， 的图象在第二、四象限，故答案为：A错误、选项D正确；
当m＞0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限， 的图象在第一、三象限，故答案为：B错误；
当m＞0，n＜0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限， 的图象在第二、四象限，故答案为：C错误；
故答案为：D.
【分析】y=（k≠0），当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；
y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
4．如图，已知关于x的函数y=k（x﹣1）和y= （k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、反比例函数y= （k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项不符合题意；
B、反比例函数y= （k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项符合题意；
C、反比例函数y= （k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项不符合题意；
D、反比例函数y= （k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴．故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据 函数y=k（x﹣1）和y= （k≠0） 的性质对每个选项一一判断求解即可。
5．已知反比例函数的图象经过点 ，则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为 （k≠0）．
∵函数经过点（2， 1），
∴k＝2×（ 1）＝ 2，
∴反比例函数解析式为 ．
故答案为：D．
【分析】先求出k＝2×（ 1）＝ 2，再求反比例函数解析式即可。
6．直线y =ax+b经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．反比例函数 ，当x > 0时的函数值y随x增大而减小
C．一元二次方程 的两根之和大于零
D．抛物线 的对称轴过第一、四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线y =a x+b经过第二、三、四象限，
∴a<0，b<0，
A、 ,不符合题意；
B、∵k=ab>0，∴当x>0时，∴反比例函数 ， 数值y随x增大而减小，符合题意；
C、 ∵x1+x2=-<0，不符合题意；
D、对称轴x=-<0，∴对称轴经过一、三象限；
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的性质，先确定a、b的正负性，据此确定（a+b）的正负性判断A，确定-ab的正确性来判断B；确定-的正负性来判断C；再确定-的正负性来判断D.
7．若反比例函数y1＝ 和一次函数y2＝k2x+b的图象交于A(－1，－7)，B(2，3.5)两点，若 －k2x -b>0，则x的取值范围是（ ）
A．－1C．x<－1或02
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示：
∵ －k2x -b>0，
∴ ，
∵反比例函数y1＝ 和一次函数y2＝k2x+b的图象交于A(－1，－7)，B(2，3.5)两点，
∴由图象可得：x<－1或0故答案为：C.
【分析】由 －k2x -b>0，得出 ，观察图形知当x<－1或08．如图，点B是反比例函数图象上的一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCFG和正方形OCDE的面积之和为32，则反比例函数的解析式为( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】B
【解析】【解答】解：设B点坐标为（x，y），
根据题意得x2+y2=32，x+y=8，
∴（x+y）2=64，
∴x2+2xy+y2=64，即32+2xy=64，
∴xy=16，
∴反比例函数的解析式为y= ．
故答案为：B．
【分析】设B点坐标为（x，y），根据正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为32，矩形 OABC的周长是16得到x2+y2=32，x+y=8，再利用完全平方公式可得到xy=16，再根据反比例函数的比例系数K的几何意义可确定其解析式。
9．如图，点是反比例函数（是常数，）上的一个动点，过点作轴、轴的平行线交反比例函数（为常数，）于点、．当点的横坐标逐渐增大时，三角形的面积( )
A．先变大再变小 B．先变小再变大
C．不变 D．无法判断
【答案】C
【解析】【分析】设点的坐标为，则点坐标为，点坐标为，
的面积为S△ABC =12AB×AC =12x0-x1y0-y2=12x0y0-x0y2-x1y0+x1y1 =12k-m-m+x1y2，
因为且，，则，所以，
所以S△ABC，故点的横坐标逐渐增大，的面积的面积不变.
10．下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】A、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；
B、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；
C、如图所示，分别过点MN作MA⊥x轴，NB⊥x轴，则S阴影=S△OAM+S阴影梯形ABNM﹣S△OBN=×2+（2+1)×1﹣×2=；
D、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴×1×4=2．
∵＜2，
∴C中阴影部分的面积最小．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）在反比例函数 的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 .
【答案】y2【解析】【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由题意把点ABC的横坐标代入反比例函数的解析式计算可求得y1、y2、y3的值，再比较大小即可判断求解.
12．如图，在平面直角坐标系中，将菱形向右平移一定距离后，顶点C，D恰好均落在反比例函数（，）的图象上，其中点，，且轴，则 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，，，
∴，
∴，，
设菱形向右平移a个单位，得到，，
∵向右平移使顶点C，D两点都落在反比例函数（，）的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】根据菱形的性质得到，则，，根据平移-坐标的变化设菱形向右平移a个单位，得到，，进而根据反比例函数图象上的点的坐标结合题意即可求解。
13．如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，
，
，
反比例函数的解析式为，
由，解得或，
，
设一次函数图象与轴的交点为，
令，则，
，
，
，
，
点的坐标是或．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后联立解析式，求得点的坐标，然后根据一次函数解析式求得与轴的交点，利用，求出的长，即可得到点的坐标解题．
14．函数与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则的值为 ．
【答案】－2
【解析】【解答】解：根据题意，a，b 为方程的两个根
方程可化为：
∴，
∴
故答案为：-2.
【分析】将两个函数解析式联立，列出方程，再由一元二次方程根与系数的关系，求出，后代入求值即可.
15．若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵反比例函数(为常数)的图像位于第一、三象限，
∴，
∴；
故答案是：．
【分析】本题考查反比例函数的图象性质．根据反比例函数的图象性质可列出不等式，解不等式可求出实数k的取值范围；
16．如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 （填序号）
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；
设P（m，n），
∵BP∥y轴， PA∥x轴，
∴B（m， ），A（，n）
∴AP=|-m|
∴S△AOP=·|-m|n= |6-mn |
同理：S△BOP=·|-n|m= |6-mn |
∴S△AOP＝S△BOP；
故②正确；
如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，
∴S△BOP=OB·PE，S△AOP=OA·PF
∵S△BOP =S△AOP
∴OB·PE= OA·PF
∵OA=OB，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图，延长BP交x轴于N，延长AP交轴于M，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y=上，
∴S△AMO=S△ONB=3，
∵S△BOP=2，
∴S△PMO= S△PNO=1，
∴S矩形OMPN=2，
∴mn=2，
∴m=
∴，
∴故④正确；
故答案为：②③④.
【分析】由题意可得BP与AP不一定相等，据此可判断①；设P（m，n），则B（m，），A（，n），表示出AP，根据三角形的面积公式可得S△AOP，同理可得S△BOP，据此判断②；过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，根据三角形的面积公式可得OB·PE= OA·PF，结合OA=OB可得PE=PF，然后结合角平分线的判定定理可判断③；延长BP交x轴于N，延长AP交轴于M，则四边形OMPN是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得S△AMO=S△ONB=3，则S矩形OMPN=2，即mn=2，表示出BP、AB，然后根据三角形的面积公式可判断④.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝ 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x＝16时，大棚内的温度约为多少？
【答案】（1）解：恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时．
（2）解：∵点B（12，18）在双曲线y= 上，
∴18= ，
∴解得：k=216
（3）解：.当x=16时，y= =13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃
【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键.根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12-2=10（小时）；利用待定系数法求反比例函数解析式即可； 将x=16代入函数解析式求出y的值即可.
18．如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于点，.
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当时x的取值范围；
（3）求的面积.
【答案】（1）解：反比例函数图象经过点，
，
反比例函数的解析式是：，
把代入中，得：，
，
，
把、两点的坐标代入中得，
解得.
一次函数的解析式为：；
（2）解：或
（3）解：如图，设直线交轴于点，
当时，，
解得，
，
.
【解析】【解答】解：（2）由图象得：时的取值范围是：或；
【分析】（1）将A（2，3）代入y=中可求出k的值，据此可得反比例函数的解析式，将B（n，-6）代入求出n的值，得到点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=ax+b中求出a、b的值，进而可得一次函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分或重叠部分所对应的x的范围即可；
（3）设直线AB交x轴于点C，则C（1，0），然后根据S△ABO=S△AOC+S△BOC结合三角形的面积公式进行计算.
19．如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.
【答案】（1）解：∵A（1，3），
∴OB=1，AB=3， 又AB=3BD，
∴BD=1，
∴D（1，1），
∴k=1×1=1；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为，
解方程组，得或（舍去），
∴点C的坐标为（，）；
（3）解：作点D关于y轴对称点E，则E（-1，1），连接CE交y轴于点M，即为所求.
设直线CE的解析式为，则 ，解得，，
∴直线CE的解析式为， 当x=0时，y=，
∴点M的坐标为（0，）.
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标得OB=1，AB=3，结合AB=3BD，得BD=1，从而可得点D（1，1），将点D的坐标代入 可求出k的值；
（2）解联立两函数解析式组成的方程组，可求出点C的坐标；
（3） 作点D关于y轴对称点E，则E（-1，1），连接CE交y轴于点M，即为所求，用待定系数法求出直线CE的解析式，再令直线CE解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点M的坐标.
20．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，直接画出一次函数和反比例函数的图象；
（2）连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求△ABC的面积；
（3）直接写出当时，x的取值范围.
【答案】（1）解：把代入
得
∴反比例函数的解析式为.
当x=1时，；
∴
把，代入得
解得
∴一次函数的解析式为
图象如图所示，
（2）解：如图，设交轴于点，连接
关于原点对称，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
令，则
轴
（3）解：根据函数图象可知，当时，
【解析】【分析】（1）将A（2，-1）代入y2=中求出k2，进而可得反比例函数的解析式，将B（1，n）代入可得n的值，进而可得点B的坐标；将A、B的坐标代入y1=k1x+b中求出k1、b，得到一次函数的解析式，然后利用列表、描点、连线即可画出函数的图象；
（2）设BC交y轴于点D，连接AD，则点C与点A关于原点对称，C（-2，1），求出直线BC的解析式，令x=0，求出y，可得点D的坐标，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD进行计算；
（3）根据图像，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
21．如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－1，4），点B的坐标为（4，n）.
（1）根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标.
【答案】（1）x<-1或0（2）解：由（1）得，反比例函数的解析式为y=-
∵一次函数y=k1x+b的图象过点A、点B，
∴，
解得：k1=-1，b=3，
∴一次函数的解析式y=-x+3
故：一次函数的解析式y=-x+3，反比例函数的解析式为y=-；
（3）解：如图，
设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=；
∵S△AOP：S△BOP=1：2，
∴S△AOP=×=，
∵S△AOC=×3×1=，
∴S△AOC∴×3 xP=1，
∴xP=，
∵点P在线段AB上，
∴y=-+3=，
∴P（，）.
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（-1，4），B（4，n），
∴k2=-1×4=-4，k2=4n，
∴n=-1，
∴B（4，-1），
∵点A的坐标为（-1，4），点B的坐标为（4，-1）.
由图象可得：k1x+b>的x的取值范围是x<-1或0【分析】（1）观察图象可知x<-1或0（2）将点A（-1，4）代入y＝中求出k2，即得反比例函数解析式，再将B（4，n）代入反比例函数解析式中求出n值，即得B坐标，再将A、B坐标代入y=k1x+b中，求出K1、b的值，即得一次函数解析式；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，易求C（0，3），可求出 S△AOB=S△AOC+S△BOC=， 由S△AOP：S△BOP=1：2可求S△AOP= ，从而求出S△COP=S△AOP- S△AOC =1= ×3 xP ，据此即得xP，将其代入直线AB中求出yp，即得点P坐标.
22．如图，在平面直角坐标系 中的第一象限内，反比例函数图象过点 和另一动点 .
（1）求此函数表达式；
（2）如果 ，写出x的取值范围；
（3）直线 与坐标轴交于点P，如果 ，直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：设反比例函数表达式为 ，
∵此函数过 ，∴ ，解得 ，
∴此函数表达式是 .
（2）解：∵点B在反比例函数 的第一象限的图象上，∴ ，且 ，
∵ ，∴ .
（3）点 的坐标为(0，3)或(6，0)
【解析】【解答】解：(3)
当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示.
∵ ， ，∴ 为 的中位线，
∴ ，∴点B的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴点 ；
当点B在点A的右边时，过点A作 轴于点E，过点B作 于点F，则 为 的中位线，如图2所示.
∴ ，∴点 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点 .
综上所述：点P的坐标为(0，3)或(6，0).
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）由（1）知，可得 ，根据y＞0且x＞0，列出不等式求出解集即可；
（3）分两种情况：①当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示，②当点B在点A的右边时，过点A作 轴于点E，过点B作 于点F，据此分别求解即可.
23．我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点，点.
（1）函数的双语点是 ；
（2）函数（k为常数，目）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）函数的图象上只有唯一一个双语点，且当时，m的最小值为k，求实数k的值.
【答案】（1）（-1，-2）
（2）解：不存在双语点，理由如下，
依题意，
即，
∴，
当时，解得：或
当时，无解
∴和；
∴当时，有两个双语点，分别为和；
当时，不存在双语点；
（3）解：依题意，
整理得，，
∵函数的图象上只有唯一一个双语点，
∴有相等的两个实数根，
∴
∴
∴
对称轴为直线，开口向上，
当，时，，
即时，解得：，
当时，则当时，取得最小值
∵m的最小值为k
∴
即，
∵
∴原方程无解，
当时，则当时，取得小值，
∴
即
解得：或（舍去）
综上所述：或.
【解析】【解答】解：（1）解：依题意，
解得：
∴函数的双语点是：（-1，-2）；
故答案为：（-1，-2）；
【分析】（1）根据题意可得方程组，解方程组，即可求出答案；
（2）根据题意可得方程组 ，由此得 ， 然后分当k＞0 与k＜0 两种情况解答即可；
（3）易得 ，整理得 ，根据函数图象上只有唯一一个双语点，可得该方程根的判别式的值为0，据此建立出m关于n函数解析式，根据函数最值情况即可解决问题.
24．某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第 天销售的相关信息如下表所示：
销售量 （件）
销售单价 （元/件） 当 时， 当 时，
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店 元奖励，通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间 （天）的增大而增大，求 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，解得
当 时， ，解得 ，
答：第10天或35天时，该商品销售单价为35元/件，
（2）解：当 时， ，
当 时， 有最大值为612.5
当 时， ，
当 时， 有最大值为725，
∵ ，
∴第21天时获得最大利润，最大利润为725元，
答：第21天时获得最大利润，最大利润为725元，
（3）解： ，
∵前10天每天获得奖励后的利润随时间 （天）的增大而增大，
∴对称轴为 ，解得：
∴ ，
答：m的取值范围为： ，
【解析】【分析】（1）分情况计算，当 时和当 时的函数值为35，然后求得对应的x的值即可；
（2）分为当 时和当 时两种情况，列出与天数的函数关系式，然后利用二次函数和反比例函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的对称轴方程，然后依据前10天的利润随x的增大而增大列出关于m的不等式求解即可.
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