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三角形的证明 单元同步培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
2．用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
4．的三条边外别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．如图，在Rt中，，平分，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，以为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边在外侧作等腰直角三角形，…，如此继续，得到个等腰直角三角形，若图中的面积是1，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，其逆命题不成立的是（ ）
A．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数
B．等腰三角形的两个底角相等
C．若，则与互为倒数
D．如果，那么
8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，LABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF =∠AFE；③∠EBC=∠C；
④AGLEF.正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝ ，则PE+PF的长是（ ）
A． B． C．6 D．
10．有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为3，4，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长两条直角边中的一条，下列数据中不可能成为扩充后等腰三角形绿地的面积是（ ）
A．8 B．14 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在等腰中，，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．若，则 ．
12．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为 ．
13． 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为 ．
14．如图所示，已知中，，，，点P是边上的一个动点，点P从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为（），若是以为腰的等腰三角形，则运动时间 ．
15．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个三角形的周长为 ．
16．在 中，D为BC中点，将 沿AD折叠，得到 ，连接EC，若已知 ，且 ，则点E到AD的距离为 .
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
18．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段 的长度．
（2）第二小组测得米，则 ．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
19．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
（1）判断：小璐的说法 （填“正确”或“错误”）
（2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为 ；
（3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．
20．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，说明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝ ．
21．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，
（1）求BC的长；
（2）求AE的长；
（3）求BD的长
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交点为．
（1）求a的值与一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）若在x轴上存在一点P使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
23．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画在如图4的网格中，并标出字母 所表示的线段．
24．如图，矩形纸片ABCD置于坐标系中，ABx轴，BCy轴，AB＝4，BC＝3，点A（-3，4），翻折矩形纸片使点D落在对角线AC上的H处，AG是折痕.
（1）求DG的长；
（2）在x轴上是否存在点N，使BN+DN的值最小，若存在，求出这个最小值及点N的坐标；若不存在.请说明理由；
（3）点P从点A出发，沿折线A-B-C运动，到达点C时停止运动，是否存在一点P，使△PBM是等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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三角形的证明 单元同步培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
【答案】D
【解析】【解答】解：①当这个100°的外角是顶角处的外角时，由邻补角定义可得该等腰三角形的顶角为80°，则两底角的度数为(180°-80°)=50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50° ；
②当这个100°的外角是底角处的外角时，由邻补角定义可得该等腰三角形的底为80°，则顶角的度数都为180°-80°-80°=20°，此时另两个内角的度数分别为80°，20°
综上该等腰三角形另外两个内角的度数为50°，50°或80°，20° .
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①当这个100°的外角是顶角处的外角时，②当这个100°的外角是底角处的外角时，分别根据邻补角定义求出其相邻内角的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出另外两个内角的度数.
2．用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时，
第一步应假设：，
故答案为：D．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．据此求解。
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，BD=2，
∴BD=AD=2，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
故答案为：B.
【分析】先根据垂直平分线的性质得到AD的长，再根据勾股定理即可求解.
4．的三条边外别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴是直角三角形；
B、∵，且，
∴，
∴是直角三角形；
C、∵，
∴，
同理，∠B=60°，∠C=75°，
∴不是直角三角形；
D、∵，
∴，
∴是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】A、D结合勾股定理及其逆定理进行判断；B、C选项利用内角和定理进行判断.
5．如图，在Rt中，，平分，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：过D点作，垂足为E，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴=1．
故答案为：D．
【分析】过D点作，垂足为E，根据三角形面积公式求出，根据角平分线性质得，即可得解．
6．如图，以为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边在外侧作等腰直角三角形，…，如此继续，得到个等腰直角三角形，若图中的面积是1，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴OA=AB1，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，
，，，
∴的面积为2n-1.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的面积公式得OB1的值，同理可得OB2，，OB3，，，最后根据以上推出的规律得的面积.
7．下列命题中，其逆命题不成立的是（ ）
A．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数
B．等腰三角形的两个底角相等
C．若，则与互为倒数
D．如果，那么
【答案】A
【解析】【解答】解：A、该选项的逆命题是“若两个数都为正数，则这两个数的差为正数”. 对此，很容易举出反例，比如，3和4，都为正数，但差是-1，不是正数，故A错误；
B、逆命题“若一个三角形的两个底角相等，则它为等腰三角形”，命题成立，B正确；
C、逆命题“如a与b互为倒数，则ab=1”，命题成立，C正确；
D、逆命题“若，则”，命题成立，D正确；
故答案为：A.
【分析】先写出每个选项的逆命题，再分析.
8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，LABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF =∠AFE；③∠EBC=∠C；
④AGLEF.正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∴，①正确；
②∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，②正确；
③假设，
∵，
∴，
∴，
∴只有时，③错误；
④∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：．
【分析】①根据同角的余角相等可证出①；先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等证明可证出② ；根据角的大小可证出③；根据等腰三角形的性质可证出④ ．
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝ ，则PE+PF的长是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：作PM⊥AC于点M，连接PD，则四边形AEPM为矩形，PE=AM.
∵DB=DC，
∴∠B=∠DCB.
∵PM⊥AC，AB⊥AC，
∴PM∥AB，
∴∠B=∠MPC，
∴∠DCB=∠MPC..
∵PC=PC，∠PFC=∠PMC=90°，∠DCB=∠MPC，
∴△PFC≌△CMP（AAS），
∴PF=CM，
∴PE+PF=AM+CM=AC.
∵AD：DB=1：3， 设AD=x，DB=3x，则CD=3x，AC=x，BC=x.
∵BC= ，
∴x=2，
∴PE+PF=AC=×2=.
故答案为：B.
【分析】作PM⊥AC于点M，连接PD，可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，然后设AD=x，表示出DB、CD、AC、BC，由BC= 可得x的值，进而可求出PE+PF的值.
10．有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为3，4，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长两条直角边中的一条，下列数据中不可能成为扩充后等腰三角形绿地的面积是（ ）
A．8 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ①如图1，
当BC=CD=3时；
由于AC⊥BD，则AB=AD=5；
此时等腰三角形绿地的面积：×6×4=12；
②如图2，
当AC=CD=4时；
∵AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：×4×4=8；
③如图3，
当AD=BD时，设AD=BD=x；
Rt△ACD中，BD=x，CD=x-3；
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即（x-3）2+42=x2，
解得x=，
此时等腰三角形绿地的面积：
×BD×AC=
××4= ；
④如图4，
延长BC到D使BD等于5，
此时AB=BD=5，
故CD=2，
BD AC=×5×4=10；
⑤如图5，
延长AC到D使AD等于5，
此时AB=AD=5，
故BC=3，
BC AD=×5×3=．
综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积是8或10或12或或，不可能为14．
故答案为：B.
【分析】 由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①BC=CD，②AC=CD，③AD=BD，④AB=BD，⑤AD=AB，5种情况进行讨论．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在等腰中，，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，连接CD，如图，
∴
∴
为等腰直角三角形，
，，
∴，
∴D为AB中点
．
故答案为：．
【分析】
由作法得垂直平分，连接CD，再利用等腰直角三角形的性质得出D为AB的中点，根据勾股定理求出AB，即可得出答案．
12．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：如图，AB=AC=10，BC=12，AD为高，
则BD=CD=6，
故答案为：8
【分析】根据等腰三角形的性质可得BD=CD=6，再利用勾股定理求出AD的长即可。
13． 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为 ．
【答案】2.5
【解析】【解答】解：设CE=x
∵EO垂直平分AC
∴AE=EC=x
∴DE=4-x
在长方形ABCD中， CD=AB=2，BC=AD=4
在Rt△CDE中，CE2-DE2=CD2 ∴x2-(4-x)2=4
解得x=2.5
故答案为：2.5.
【分析】根据矩形的性质得出 CD=AB=2，BC=AD=4，由EO垂直平分AC，得出AE=EC=x，最后在在Rt△CDE中，根据勾股定理，列出方程即可.
14．如图所示，已知中，，，，点P是边上的一个动点，点P从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为（），若是以为腰的等腰三角形，则运动时间 ．
【答案】6s或12s或10.8s
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
如图1，，
∴；
如图2，，
∴，
∴；
如图3，，
过点B作于D，则，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
综上所述，t的值是6s或12s或10.8s．
故答案为：6s或12s或10.8s．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出，分为、、三种情况进行求解。
15．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个三角形的周长为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：∵，
∴
①当等腰三角形的三边为：5，5，2，
此时，这个三角形的周长为：
②当等腰三角形的三边为：2，2，5时，
此时无法构成三角形，
故答案为：12.
【分析】根据算出平方根的双重非负性求出然后分两种情况讨论，①当等腰三角形的三边为：5，5，2，②当等腰三角形的三边为：2，2，5时，进而分别计算即可.
16．在 中，D为BC中点，将 沿AD折叠，得到 ，连接EC，若已知 ，且 ，则点E到AD的距离为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，连接BE，交 于
由对折可得：
是 的垂直平分线，即
是 的中点，
即
，
解得
即点E到AD的距离为
故答案为： .
【分析】过点E作EM⊥BC于M，连接BE，交AD于H，由折叠的性质可得AB=AE，DB=DE，根据中点的概念可得BD=DC=DE=3，则∠DEC=∠DCE，推出∠BEC=90°，根据三角形的面积公式可得EM，利用勾股定理求出DM、BE，进而得到EH，据此解答.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）.
答：台风影响该海港持续的时间为小时.
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，则AC2+BC2＝AB2，结合勾股定理逆定理解答即可；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据△ABC的面积公式可得CD的值，然后与260进行比较即可判断；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，根据等腰三角形的性质可得EF=2ED，由勾股定理求出ED，据此得到EF，然后除以速度可得时间.
18．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段 的长度．
（2）第二小组测得米，则 ．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】（1）
（2）30米
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°-∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ 第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段BC的长，
故答案为：BC.
（2）由题意得∠DBC=70°， ，
∴∠A=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC=30米，
故答案为：30.
【分析】（1）由题意知∠ABC=90°，∠ACB=45°，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=45°，即得∠BAC=∠ACB，利用等角对等边即得AB=BC，继而得解；
（2）利用三角形外角的性质可得∠A=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°，即得∠A=∠ACB，利用等角对等边即得AB=BC，继而得解；
（3）根据ASA证明△ABO≌△DCO，可得AB=CD，据即可判断.
19．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
（1）判断：小璐的说法 （填“正确”或“错误”）
（2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为 ；
（3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．
【答案】（1）正确
（2）2或
（3）解：∵是“类勾股三角形”， x，y为直角边长且，z为斜边长，
∴x2+z2=2y2，
∵x2+y2=z2，
2x2=y2，
解之：，
∴z2=3x2，
解之：，
此三角形的周长为：，面积为：.
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，它的三边长分别为a，b，c，
∴a=b=c，
∴a2+b2=c2+c2=2c2
∴等边三角形一定是“类勾股三角形”.
∴小璐的说法正确.
故答案为：正确
（2）设另一边长为x，
∵为“类勾股三角形”
当时，
解之：x=2（取正值）；
当12+x2=2时
解之：x=（取正值）
当+x2=2×12时此方程无解，
∴另一边长为2或
【分析】（1）△ABC是等边三角形，它的三边长分别为a，b，c，利用等边三角形的性质可证得a=b=c，由此可证得a2+b2=2c2，利用“类勾股三角形”的定义可作出判断.
（2）设另一边长为x，利用“类勾股三角形”的定义，分情况讨论：当时；当12+x2=2时；当+x2=2×12时此方程无解，分别求解，可得到另一边的长.
（3）利用“类勾股三角形”的定义可得到x2+z2=2y2，利用勾股定理可知x2+y2=z2，然后可分别用含x的代数式表示出y，z，即可表示出此三角形的周长和面积.
20．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，说明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝ ．
【答案】（1）证明：
即
（2）解：
设，则，
在中，由勾股定理得：
即
解得：
（3）6
【解析】【解答】解：（3）设正方形的面积为x，设其他八个全等的三角形每个的面积为y
，，
【分析】（1）结合图形，利用面积公式证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用勾股定理求出x=1，最后利用面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
21．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，
（1）求BC的长；
（2）求AE的长；
（3）求BD的长
【答案】（1）解： △ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴；
（2）解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=90°，
在Rt△BDC与Rt△BDE中，
∵CD=ED，BD=BD，
∴Rt△BDC≌Rt△BDE（HL），
∴BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=4；
（3）解：设CD=DE=x，则AD=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2+AE2=AD2，即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，即DE=3，
在Rt△BDE中，由勾股定理得.
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理算出BC的长；
（2）由角平分线上的点到角两边的距离相等得CD=DE，利用HL判断出Rt△BDC≌Rt△BDE，根据全等三角形的对应边相等得BE=BC=6，进而根据AE=AB-BE即可算出答案；
（3）设CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理建立方程求出DE，在Rt△BDE中，由勾股定理即可算出BD的长.
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交点为．
（1）求a的值与一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）若在x轴上存在一点P使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点C在正比例函数图象上，∴，解得：a＝3，
∵点C（3，4），A（﹣3，0）在一次函数图象上，∴，解这个方程组得，∴一次函数的解析式为；
（2）解：在中，令x＝0，解得y＝2，∴B（0，2）∴OB=2，
∵点C（3，4），∴xC=3，∴；
（3）解：∵，∴，设，，
当时，，即P的坐标为（5，0）或（-5，0），
当时，则，
解得或， P的坐标为（6，0），
当时，，
解得， P的坐标为（，0）．
综上所述，P的坐标为（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 OB=2， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，列方程计算求解即可。
23．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画在如图4的网格中，并标出字母 所表示的线段．
【答案】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，
即
（2）解：在 中，
在 中，
所以 ，
解得
（3）解：∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a +3ab+b
∴边长为：（a+b），（a+2b）
由此可画出的图形为：
【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设BD=x， 是 边上的高，利用勾股定理列出方程即可求出BD；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
24．如图，矩形纸片ABCD置于坐标系中，ABx轴，BCy轴，AB＝4，BC＝3，点A（-3，4），翻折矩形纸片使点D落在对角线AC上的H处，AG是折痕.
（1）求DG的长；
（2）在x轴上是否存在点N，使BN+DN的值最小，若存在，求出这个最小值及点N的坐标；若不存在.请说明理由；
（3）点P从点A出发，沿折线A-B-C运动，到达点C时停止运动，是否存在一点P，使△PBM是等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由折叠的性质可得，DG＝GH，AD＝AH＝3，GH⊥AC，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
设DG的长度为x，
∴CG＝4-x，HC＝AC-AH＝5-3＝2，
在Rt△CHG中，，
，
解得：x＝，
即DG的长为；
（2）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接B与x轴交于一点N，此时BN+DN的值最小，最小值为B的长，
∵ABx轴，BCy轴，AB＝4，BC＝3，点A（-3，4），
∴点B（1，4），D（-3，1），
∴（-3，-1），
∴A＝5，
∴BN+DN＝BN+N＝B＝＝＝，
即BN+DN的最小值为，
设直线B的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线B的解析式为y＝x+，
当y＝0时，x+＝0，解得x＝-，
∴N（-，0）；
∴存在，BN+DN的最小值为，点N的坐标为（-，0）；
（3）解：点P的坐标为（-，4）或（1-，4）或（-1，4）或（1，）或（1，4-）.
【解析】【解答】解：(3)由题意得A（-3，4），C（1，1），
设直线AC的解析式为y＝ax+c，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝-x+，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，），
∴QM＝4-＝，
∴BM＝＝.
分两种情况：
①当点P在线段AB上时，
设P（m，4），
∴，PB＝1-m，，
若，则＝，
解得m＝-，
∴（-，4）；
若，则＝1-m，
解得m＝1-，
∴（1-，4）；
若，
∵MQ⊥AB，
∴BQ＝Q＝1，
∴（-1，4）；
∴当点P在线段AB上时，点P的坐标为（-，4）或（1-，4）或（-1，4）；
②当点P在线段BC上时，
设P（1，n），
∴，PB＝4-n，，
若，则＝，
解得n＝，
∴（1，）；
若＝BM，则＝4-n，
解得n＝4-，
∴（1，4-）；
∴当点P在线段BC上时，点P的坐标为（1，）或（1，4-）；
综上所述，点P的坐标为（-，4）或（1-，4）或（-1，4）或（1，）或（1，4-）.
【分析】（1）由折叠的性质可得：DG＝GH，AD＝AH＝3，GH⊥AC，根据勾股定理可得AC=5，设DG=x，则CG＝4-x，HC＝AC-AH＝2，然后在Rt△CHG中，根据勾股定理计算即可；
（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接BD′与x轴交于一点N，此时BN+DN的值最小，最小值为BD′的长，易得B（1，4），D（-3，1），D′（-3，-1），则AD′＝5，BN+DN＝BN+D′N＝BD′＝，即BN+DN的最小值为，利用待定系数法求出直线BD′的解析式，令y=0，求出x的值，可得点N的坐标；
（3）由题意得A（-3，4），C（1，1），利用待定系数法求出直线AC的解析式，令x=0，求出y的值，可得点M的坐标，利用勾股定理可得BM，①当点P在线段AB上时，设P（m，4），表示出PM2、PB、PB2，然后分P1B=P1M、P2B=BM、P3M=BM，求出m的值，进而可得点P的坐标；②当点P在线段BC上时，同理求解即可.
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