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直角三角形的边角关系 同步检测上分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）
A．7sin 35° B．7cos 35° C．7tan 35° D．
2．如图，在中，，设，，所对的边分别为4，3，5，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
6．已知一道斜坡的坡比为1： ，坡长为24米，那么坡高为（ ）米.
A． B．12 C． D．6
7．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在y轴上，点D（4，4），cos∠BCD＝ ，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过平行四边形对角线的交点E，则k的值为（ ）
A．14 B．7 C．8 D．
10．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5 ，AB＝10，则∠A＝ 度.
12． 在△ABC中，若|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，则∠C= .
13．如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
14．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
15．在中，，是边上的高，，，则的面积为 .
16．如图，已知直线 ， 与 之间的距离为2，在 中， ，点 是直线 上的一个动点， ， 中有一边是 的 倍，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 所在直线交 于点 ，则 的长度为 ．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接.
（1）求证：；
（2）若，则 ；
（3）设，，求m与k满足的关系式.
18．在平面直角坐标系中，一次函数 的图形与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作 轴，垂足为H， ， ，点B的坐标为 .
（1）求 的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）写出不等式 的解集.
19．图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE分别固定在平板电脑AD背面中点B处，桌面E处，EB可以绕点E转动，当点D在线段EF上滑动时，可调节平板电脑AD的倾斜角 ，经测量， ， ，支架 ．（参考数据： ， ， ， ，结果保留一位小数）
（1）连接AE，求证： ；
（2）当 时，求A，E两点间的距离；
（3）当点D滑到距离F点1cm处时，视觉效果最好，求此时倾斜角 的度数．
20．某中学为数学实验“先行示范校”，一数学活动小组带上高度为1.5m的测角仪BC，对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进40m至DE处，测得顶点A的仰角为75°.
（1）求∠CAE的度数；
（2）求AE的长（结果保留根号）；
（3）求建筑物AO的高度（精确到个位，参考数据： ， ）.
21．重庆八中将于2017年整体搬迁至渝北空港新城，新校园工程建设正在如火如荼的进行.经工程部管理人员同意，四位同学前往工地进行社会实践活动.如图，A、B、C是三个建筑原材料存放点，点B、C分别位于点A的正北和正东方向，AC＝400米.四人分别测得∠C的度数如表：
甲 乙 丙 丁
∠C（单位：度） 34 36 38 40
他们又调查了各点的建筑材料存放量，并绘制了下列尚不完整的统计如图、如图：
（1）求表中∠C度数的平均数 ；
（2）求A处的建筑原材料存放量，并将如图补充完整；
（3）用（1）中的 作为∠C的度数，要将A处的全部建筑原材料沿道路AB运到B处，已知运1方建筑原材料每米的费用为0.1元，求运完全部建筑原材料所需的费用.（注：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
22．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y= 交于一象限内的P（ ，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP= ．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞ 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
23．如图，和是等边三角形，连接BE，BD，CD，EC.
（1）如图1，若，若，，求EB的长度；
（2）如图2，点B在内，点F是AD的中点，连接BF、BE、BD，若且.求证：；
（3）如图3，的边且过D点，，N是直线AB上一动点，连接DN，将沿DN翻折得到，当AH最大时，过H作AH的垂线，M是垂线上一动点，连接MA，将线段MA绕点M逆时针旋转60°，得到线段MP，连接PH，直接写出PH的最小值.
24．点 ， 分别是 的边 、 延长线上的点， 的延长线交 于 .
（1）如图1， ， ，求证： ；
（2）如图2， ， ， ， ，求 ；
（3）如图3，若 ， ， ，求 的长.
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直角三角形的边角关系 同步检测上分卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）
A．7sin 35° B．7cos 35° C．7tan 35° D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，
∴，即，
∴BC=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】画出示意图，根据余弦函数的定义即可得出答案.
2．如图，在中，，设，，所对的边分别为4，3，5，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B，∠C所对的边分别为4，3，5，
所以sinB=，即3=5sinB，因此选项A不符合题意，选项B符合题意，
tanB=，即3=4tanB，因此选项C不符合题意，选项D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】A、根据锐角三角函数可得3=5sinB；
B、根据锐角三角函数可得3=5sinB；
C、根据锐角三角函数可得3=4tanB；
D、根据锐角三角函数可得3=4tanB.
3．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的概念可得AD的值，利用勾股定理求出DE，根据菱形的性质可得AD=AB=5，然后求出BE的值，再根据正切函数的概念进行计算.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OP，过点P作PA⊥x轴，如图，
则，
∵点P（1，2），
∴，．
．
故答案为：A．
【分析】连接OP，过点P作PA⊥x轴，先求出，，再利用正切的定义可得。
5．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
【答案】A
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°.
故答案为：A．
【分析】利用解直角三角形的方法可得AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°。
6．已知一道斜坡的坡比为1： ，坡长为24米，那么坡高为（ ）米.
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：设坡度为
∴
∴
∴坡高=
坡长=12.
故答案为：B
【分析】 由斜坡的坡比为1： ，可得坡度为30°，再利用30°角的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
7．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则
，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A=
＝
故答案为：C
【分析】连接格点CD，设1个网格的边长为x，可得
，
，根据勾股定理的逆定理可得∠BDC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据sin∠A=
即可求解.
8．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴设BC= 、AC= ，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据正切三角函数的概念可设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理可得AB=5x，然后根据正弦函数的概念进行计算.
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在y轴上，点D（4，4），cos∠BCD＝ ，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过平行四边形对角线的交点E，则k的值为（ ）
A．14 B．7 C．8 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵D（4，4），
∴DC＝OC＝BG＝4，
∵cos∠BCD＝ ＝ ，
∴设CG＝3x，则BC＝5x，BG＝4，
根据勾股定理，得x＝1，
∴CG＝OB＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∴OA＝OB+AB＝7，
过点E作EF⊥x轴于点F，
∴EF∥AO，
∵平行四边形对角线的交点E，
∴AE＝CE，EF∥AO，
∴OF＝CF，
∴EF是三角形AOC的中位线，
∴EF＝ OA＝ ，
OF＝ OC＝2，
∴k＝EF OF＝7，
故答案为：B.
【分析】过点B作BG⊥CD于点G，根据D（4，4）和勾股定理可得，CG=OB=3，OA=OB+AB=7，过点E作EF⊥x轴于点F，可得EF∥AO，则EF是△AOC的中位线，进而可求EF和OF的长，即可求得k值.
10．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，
在Rt△DHE中，EH2=52-x2，
在Rt△CHE中，EH2=62-（4-x）2，
∴52-x2=62-（4-x）2，解得x= ，
∴EH= ，
在Rt△EDH中，tan∠HDE= ，
即∠CDE的正切值为3 ．
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得出△ADE为等边三角形，从而得DE=AD=5.过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，在Rt△DHE和Rt△CHE中，利用勾股定理课求出x的值，从而求出EH的值，在Rt△EDH中，利用三角函数可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5 ，AB＝10，则∠A＝ 度.
【答案】30
【解析】【解答】∵∠C=90°，AC=5 ，AB=10，
∴cosA= = = ，
∴∠A=30°，
故答案为30.
【分析】根据条件求出 ，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数.
12． 在△ABC中，若|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，则∠C= .
【答案】105°
【解析】【解答】|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，
|2sin A-|+(-2cos B)2=0，
2sin A-=0，-2cos B=0，
∠A=45°，∠B=30°，
∠C=180°-45°-30°=105°，
故答案为：105°.
【分析】根据 |2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，得到|2sin A-|+(-2cos B)2=0，利用绝对值、偶次方的非负性求得进而求的∠A=45°，∠B=30°，利用三角形内角和定理即可求解.
13．如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
由题意得：∠DCB=ABE=30°，∠CAF=75°.
在△ABC中，∠ACB=∠CAF - ∠ABE=45°.
∴在Rt△ACE中，∠EAC=∠ACE=45°，AC=30×20=600（米），
∴AE=AC·sin45°=600×=300米.
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=米.
故答案为：
【分析】观察到30°和75°的角，且75°角是三角形的外角，可得△ABC的另外一个锐角是45°. 作AE⊥BC，将△ABC分成两个特殊三角形. 先根据速度和时间求出AC长，再在Rt△ACE中利用45°角求出AE长，在Rt△ABE中利用30°角求出AB长.
14．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知，AB=2，AO= =2 ，BO= =2 ，
∵S△ABO= AB h= AO BO sin∠AOB，
∴ ×2×2= ×2 ×2 ×sin∠AOB，
∴sin∠AOB= ，
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO= AB h= AO BO sin∠AOB可得答案．
15．在中，，是边上的高，，，则的面积为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，，
∴，即：，
∴，
当D在之间时，，
∴的面积为；
当D在延长线上时，
∴的面积为
故答案为：或.
【分析】利用解直角三角形求出BD的长，当点D在BC之间时，根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；当点D在BC的延长线上时，根据BC=BD-CD，代入计算求出BC的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
16．如图，已知直线 ， 与 之间的距离为2，在 中， ，点 是直线 上的一个动点， ， 中有一边是 的 倍，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 所在直线交 于点 ，则 的长度为 ．
【答案】 或 或2
【解析】【解答】解：①当 时，
Ⅰ．如图1，当∠ABC为钝角时，作 于 ， 于 ，
与 之间的距离为2，即 ，
，
∴ ，
，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
，
∴ 为等腰直角三角形，
设 ，
，
，
∴
，即 ，
，
， ．
Ⅱ．如图2，当∠ABC为锐角时，作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵BC=2，
∴点E与点C重合， ，
∴ 等腰直角三角形，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
∴ ，
是等腰直角三角形，
．
②当 时，
Ⅰ．如图3，当∠ACB为锐角时，同①Ⅱ可得，此时 是等腰直角三角形，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
∴ ，
，
；
Ⅱ．如图4，当∠ACB为钝角时，作 于 ，则 ，
，
∴ ，
，
绕点 按顺时针方向旋转 ，得到△ 时，点 在直线 上，
，即直线 与 无交点，
综上所述， 的值为 ， ，2．
故答案为： 或 或2．
【分析】先根据 和 时两种情况，再分别由 的 倍的边与BC所成角为钝角和锐角两种情况画出图形分别求解．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接.
（1）求证：；
（2）若，则 ；
（3）设，，求m与k满足的关系式.
【答案】（1）证明：由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
在中，，即，
得.
【解析】【解答】解：（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理可得： ，
∴；
【分析】（1）由折叠循性质得∠BEA=∠BEF，由二直线平行，内错角相等得∠BEA=∠EBC，则∠BEF=∠EBC，由等角对等边得BC=CE；
（2）用AE表示出CE、DE，进而用勾股定理表示出DC，然后根据余弦函数的定义可求出答案；
（3）由已知易得AE=kAD，AB=mAD，则DE=AD-AE=（1-k）AD，在Rt△CED中，根据勾股定理建立方程进而化简即可得出答案.
18．在平面直角坐标系中，一次函数 的图形与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作 轴，垂足为H， ， ，点B的坐标为 .
（1）求 的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）写出不等式 的解集.
【答案】（1）解：由OH＝3， ，得AH＝4.即A（ 4，3）.
由勾股定理，得AO＝ ＝5，
∴△AHO的周长＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12；
（2）解：将A点坐标代入y＝ （k≠0），得k＝ 4×3＝ 12，
反比例函数的解析式为y＝ ；
当y＝ 2时， 2＝ ，解得x＝6，即B（6， 2）.
将A、B点坐标代入y＝ax＋b，得 ，
解得 ，
一次函数的解析式为y＝ x＋1
（3）解：观察图象可知：一次函数的值大于或等于反比例函数的值时：x≤ 4或0＜x≤6.
【解析】【分析】（1）根据三角函数的概念可得AH，进而得到点A的坐标，利用勾股定理求出AO，据此可得△AHO的周长；
（2）将点A的坐标代入y=中可得k的值，据此可得反比例函数的解析式，令y=-2，求出x的值，可得点B的坐标；将A、B的坐标代入y=ax+b中求出a、b，进而可得一次函数的解析式；
（3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
19．图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE分别固定在平板电脑AD背面中点B处，桌面E处，EB可以绕点E转动，当点D在线段EF上滑动时，可调节平板电脑AD的倾斜角 ，经测量， ， ，支架 ．（参考数据： ， ， ， ，结果保留一位小数）
（1）连接AE，求证： ；
（2）当 时，求A，E两点间的距离；
（3）当点D滑到距离F点1cm处时，视觉效果最好，求此时倾斜角 的度数．
【答案】（1）解：如图：连接AE，
∵ ，B是AD的中点，
∴ ．
∴ ， ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．即 ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
在 中， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ．
在 中， ．
∴ ．
【解析】【分析】（1）连接AE，根据中点的定义及已知条件得出AB=BE=BD，利用等边对等角得出∠A=∠AEB，∠ADE=∠DEB，再△ADE中根据三角形的内角和定理证明∠AED=90°，即可证明AE⊥CE；
（2）由∠ADC=120°，得出∠ADE=60°，由得出AD=21cm，再Rt△ADE中，利用正弦函数的定义即可求出AE；
（3）先求出DE=CE-CF-DF=14，然后再Rt△ADE中，由cos∠ADE=，得出∠ADE，那么∠ADC=180°-∠ADE≈131.8°。
20．某中学为数学实验“先行示范校”，一数学活动小组带上高度为1.5m的测角仪BC，对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进40m至DE处，测得顶点A的仰角为75°.
（1）求∠CAE的度数；
（2）求AE的长（结果保留根号）；
（3）求建筑物AO的高度（精确到个位，参考数据： ， ）.
【答案】（1）解：由测得顶点A的仰角为75°，可知∠AEC=180°-75°=105°，又顶点A的仰角为30°即∠ACE=30°，所以∠CAE=180°-105°-30°=45°；
（2）解：延长CE交AO于点G，过点E作EF⊥AC垂足为F．
由题意可知：∠ACG=30°，∠AEG=75°，CE=40，
∴∠EAC=∠AEG-∠ACG=45°，
∵EF=CE×Sin∠FCE=20，
∴AE= ，
∴AE的长度为 m；
（3）解：∵CF=CE×cos∠FCE= ，AF=EF=20，
∴AC=CF+AF= +20，
∴AG=AC×Sin∠ACG= ，
∴AO=AG+GO= +1.5= ≈29，
∴高度AO约为29m．
【解析】【分析】（1）根据题干中的仰角及三角形的内角和进行计算即可；（2）利用解直角三角形进行计算即可；（3）利用解直角三角形进行计算。
21．重庆八中将于2017年整体搬迁至渝北空港新城，新校园工程建设正在如火如荼的进行.经工程部管理人员同意，四位同学前往工地进行社会实践活动.如图，A、B、C是三个建筑原材料存放点，点B、C分别位于点A的正北和正东方向，AC＝400米.四人分别测得∠C的度数如表：
甲 乙 丙 丁
∠C（单位：度） 34 36 38 40
他们又调查了各点的建筑材料存放量，并绘制了下列尚不完整的统计如图、如图：
（1）求表中∠C度数的平均数 ；
（2）求A处的建筑原材料存放量，并将如图补充完整；
（3）用（1）中的 作为∠C的度数，要将A处的全部建筑原材料沿道路AB运到B处，已知运1方建筑原材料每米的费用为0.1元，求运完全部建筑原材料所需的费用.（注：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
【答案】（1）解： ＝ （34+36+38+40）＝37（度）
（2）解：原材料的总存放量是：320÷50%＝640（方），
则在A处的存放量是：640（1﹣50%﹣37.5%）＝80（方）.
（3）解：∵在直角△ABC中，tanC＝ ，
∴AB＝AC tan37°＝400×0.75＝300（米），
则运完全部建筑原材料所需的费用是：80×300×0.1＝2400（元）.
【解析】【分析】（1）根据平均数即可求解；
（2）由扇形图和条形图可知C组的百分数和频数，根据样本容量=频数÷百分数可求得样本容量（ 原材料的总存放量 ）；则根据频数=样本容量×百分数可求得A处的存放量 ，由计算结果即可补充完整统计图；
（3）根据tanC=可得AB＝AC tan37°，AB的值可求解，则运完全部建筑原材料所需的费用=AB之间的距离×A处的存放量×运1方建筑原材料每米的费用。
22．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y= 交于一象限内的P（ ，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP= ．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞ 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：）过P作PC⊥y轴于C，
∵P（ ，n），
∴OC=n，PC= ，
∵tan∠BOP= ，
∴n=4，
∴P（ ，4），
设反比例函数的解析式为y= ，
∴a=4，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∴Q（4， ），
把P（ ，4），Q（4， ）代入y=kx+b中得，
，
∴ ，
∴直线的函数表达式为y=﹣x+
（2）解：过Q作QD⊥y轴于D，
则S△POQ=S四边形PCDQ= ×（ +4）×（4﹣ ）=
（3）解：由图象知，
当﹣x+ ＞ 时， 或x＜0
【解析】【分析】（1）过P作PC⊥y轴于C，由P（ ，n），得到OC=n，PC= ，根据三角函数的定义得到P（ ，4），于是得到反比例函数的解析式为y= ，Q（4， ），解方程组即可得到直线的函数表达式为y=﹣x+ ；（2）过Q作OD⊥y轴于D，于是得到S△POQ=S四边形PCDQ= ；（3）观察图象可得结果．
23．如图，和是等边三角形，连接BE，BD，CD，EC.
（1）如图1，若，若，，求EB的长度；
（2）如图2，点B在内，点F是AD的中点，连接BF、BE、BD，若且.求证：；
（3）如图3，的边且过D点，，N是直线AB上一动点，连接DN，将沿DN翻折得到，当AH最大时，过H作AH的垂线，M是垂线上一动点，连接MA，将线段MA绕点M逆时针旋转60°，得到线段MP，连接PH，直接写出PH的最小值.
【答案】（1）解：和是等边三角形，
，，
，，，
在中，，
即
（2）解：如图2，延长至，使得
点是的中点，
四边形是平行四边形
和是等边三角形，
在与中
四边形是平行四边形，
即
（3）解：和是等边三角形，
，，，
即
设，
如图，延长至，使得，连接，过点作于点，与交于点，
是等边三角形
，
四边形是菱形
，
在中，，，
即
解得（舍）
N是直线AB上一动点，连接DN，将沿DN翻折得到，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当三点共线，且在线段上时，最大，最大值为，如图，
过点作，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，
如图，连接，延长至，使得，连接，设直线与的垂线交于点，连接，
是等边三角形
，
，，
，
在与中，
是直线上的动点，
是直线上的动点
当时，取得最小值，设最小值为，
的最小值
PH的最小值
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=AB，AE=AD，∠ADE=60°，∠EAD=∠CAB=60°，则∠ADC=30°，AE=7，EC=9，DE=AE=7，利用勾股定理求出CD，根据角的和差关系可得∠CAD=∠BAE，证明△EAB≌△DAC，据此求解；
（2）延长BF至G，使得FG=BF，根据中点的概念可得FD=DA，根据平行四边形的性质可得DB=AG，根据等边三角形的性质可得CA=BA，EA=DA，∠CAB=∠EAD，推出∠CAE=∠BAD，证明△CAE≌△BAD，得到DB=AC，推出AC=AG，BE=BG，证明△EBC≌△GBA，得到∠AGB=∠BEC，根据平行四边形以及平行线的性质可得AG⊥BG，据此解答；
（3）根据等边三角形的性质可得AC=AB，AE=AD，∠ADE=60°，∠EAD=∠CAB=60°，∠ACB=60°，推出∠CAD=∠BAE，证明△EAB≌△DAC，得到EB=DC，∠ABE=∠ACD，设BD=2x，延长BE至K，使得EK=BD=2x，连接KA、CK，过点E作ES⊥KC于点S，AB与KC交于点O，则△ABK是等边三角形，AK=KB=AB=BC=AC，∠AKB=60°，推出四边形AKBC是菱形，得到∠SKE=30°，然后表示出SE、KS、KC、CS，根据勾股定理求出x，得到BD=2，根据折叠的性质可得DB=DH=2，易知当A、D、H三点共线，且D在线段AH上时，AH最大，最大值为AH，过点A作AJ⊥BC，易得BJ、AJ、JD、AD、AH的值，连接AP，延长AE至T，使得ET=DH=2，连接TP，设直线TP与AH的垂线HM交于点Q，连接AQ，则△AMP是等边三角形，AM=AP，∠PAM=60°，证明△ATP≌△AHM，得到HM=TP，当PH⊥TP时，PH取得最小值，设最小值为m，易证△ATQ≌△AHQ，得到∠HAQ=30°，根据三角函数的概念可得QH，根据四边形内角和为360°可得∠HQP=60°，然后借助三角函数的概念进行计算.
24．点 ， 分别是 的边 、 延长线上的点， 的延长线交 于 .
（1）如图1， ， ，求证： ；
（2）如图2， ， ， ， ，求 ；
（3）如图3，若 ， ， ，求 的长.
【答案】（1）解：如图1中，过C作 交 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：如图2中，作 交 于 ， 于 .设 .则 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）解：如图3中，过C作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【解析】【分析】（1）过C作 交 的延长线于 ，可以证得 ，进而证得 ，等角代换得到 即可得出结论；
（2）如图2中，作 交 于 ， 于 .设 ，利用 ， ，可知OF是中位线，通过勾股定理求出AE、AF，继而证明 ，得出 ，代入数据计算即可得；
（3）过C作 交 于 ，由 ，得到 ，计算可得CF=6，利用等角代换可证得CD=CF即可.
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