2024-2025学年广东省深圳市坪山区八年级（上）期末数学试卷(含详解)

2024-2025学年广东省深圳市坪山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）f（x）＝ex是一个数学函数，它表示自然数e的指数次幂．其中自然数e是一个无理数（e＝2.718281828459045 ）则在下列实数中，（　　）也是无理数
A． B． C．3.14 D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若a，b，c是三角形的三边长，则满足下列条件的a，b，c不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝b＝5，c＝5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝5，b＝13，c＝12
4．（3分）函数y＝﹣2x+1的图象一定经过下列四个点中的（　　）
A．（1，﹣3） B．（﹣2，4） C．（﹣1，1） D．（0，1）
5．（3分）科技是第一生产力，创新是第一动力，教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加坪山区中小学科技创新竞赛，如表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 93 97 97 95
方差 0.8 0.8 1.2 1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共18t，实际生产了20t，其中水稻超产15%，小麦超产10%，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，则下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝56°，∠C＝37°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，则∠DAE的度数为（　　）
A．7.5° B．8.5° C．9.5° D．10.5°
8．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线都经过，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B（0，4），直线l2交y轴于点C，交x轴于点D．直线l3∥直线l1且经过原点，且与直线l2交于点F，点P为x轴上任意一点，连接PC、PF．对于以下结论，错误的是（　　）
A．方程组的解为
B．S△OFD＝3
C．△AED为直角三角形
D．当PF+PC的值最小时，点P的坐标为
二、填空题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）8的立方根是 　 　．
10．（3分）在坪山区某校文学节演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如表所示：
项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果
成绩/分 80 90 80
若按照演讲内容占60%，演讲能力占20%，演讲效果占20%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 　 　分．
11．（3分）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE与CF相交于点O，∠A＝58°，则∠BOC为　 　°．
12．（3分）某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣2，7），则点B的坐标为　 　．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为边AC上一动点，DE⊥AB交AB于点E，将∠A沿直线DE折叠，点A的对应点为F，当△DFC是直角三角形时，AD的长为　 　．
三、解答题：（本大题共7题；其中14题6分，15题8分，16题8分，17题9分，18题10分，19题10分，20题10分，共61分）
14．（6分）化简：．
15．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中△ABC如图所示．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）①分别写出△A1B1C1各顶点坐标．
②求△A1B1C1的面积．
（3）若以B点为圆心，AB的长为半径作弧线，交射线BB1于点E，请在图中作出线段BE（留下作图痕迹），并求出E点的坐标．
17．（9分）近年来，新能源汽车扎根坪山、立足深圳、放眼全球，通过一路自主创新，发展加速狂飙．坪山区作为深圳打造“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，新能源汽车消费市场有巨大的发展潜力，因此坪山区居民对电车充电桩的需求也在不断增加，目前公共充电桩的收费方式有：按电量计费、按时间计费、按峰谷计费，为了解调整充电桩收费方式的社会反响，新能源汽车工厂相关负责人随机访问了坪山区的部分车主，就“每月每部车的用电量”和“认为公共充电桩该如何收费”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2．（其中图1每月每部车用电范围为150～450千瓦时）
收费方式 收费标准
按电量计费 1.2元/千瓦时
按时间计费 2元/小时
按峰谷计费 10：00﹣19：00（低峰期，0.9元/千瓦时） 19：00﹣次日10：00（高峰期，1.5元/千瓦时）
在所有受调查的车主中共有1050位车主认为充电桩应该“按电量计费”，根据负责人绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：
（1）n＝　 　，负责人共调查了　 　位车主，并补全图1；
（2）如果坪山区有96000位车主，请你估计坪山区内认为充电桩收费应该“按峰谷计费”的车主数有多少？
（3）据了解深深的爸爸居住在坪山区，每天需要开电车往返于公司上班，已知他每个月电车耗电量范围落在图1的中位数　 　千瓦时，且他一般是在每天的12：00﹣20：00充电，如果你是深深的爸爸，结合以上信息，请分别从两个角度考虑：该选哪种计费方式的充电桩给电车充电？并说明理由（理由充分即可）．
18．（10分）【教材呈现】
将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段AE、DE、EF、BF、CF把四个顶点连接起来）．已知如图1：∠DAE＝∠ADE＝30°，∠AEF＝∠BFE＝120°．
（1）由图1可知，线段AB和EF的位置关系为：　 　；
【问题探究】
（2）某数学兴趣小组发现，图1所示图形　 　（是/不是）轴对称图形，于是他们如图2构造了△AF′D≌△BFC，发现△AF′E是　 　三角形，请结合以上结论，猜想线段AE与OE的数量关系，并证明．
【问题解决】
（3）在第（2）问的基础上，若AB＝6，求最短连法的线段和，即AE+DE+EF+BF+CF的值．
19．（10分）请根据以下素材，完成探究任务．
关于出票问题的探究
素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于坪山文化聚落的坪山大剧院，每月都会在综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目．按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率（100%）原则上不得超过75%．
素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化生活，坪山街道新和社区通过民生微实事项目平台，联合坪山大剧院联手推出惠民观剧活动，辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得!
素材3 2024年11月的一场话剧推出A、B两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动．已知A种票10张、B种票5张、惠民票5张，共需3900元；购买2张B种票比购买1张A种票多出的费用，可购得惠民票2张．
问题解决
任务1 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则观剧人数有 　 　人．
任务2 设该话剧A种票价a元，B种票价b元，求出该话剧的A种、B种票价．
任务3 若A种票的持票人数y与B种票的持票人数x满足如图所示函数图象（其中x取正整数）．请写出该场话剧票务收入W与x的函数表达式，求出该场话剧的最大票务收入．
20．（10分）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．
某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题．
如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记为Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．点P在线段AC上，将△ABP沿着直线BP翻折，点A落在点D处，BD交AC于点E．
【操作一】
如图1，小组成员甲将纸片折叠，使AP⊥DP，观察发现△BCP的形状是　 　，此时AP为　 　；
【操作二】
如图2，小组成员乙将纸片折叠，使AB与CB重叠，观察图形，请帮他求出△ADP的面积；
【操作三】
如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段BC和AB上添加两个动点M、N，连接PM、MN，你能判断在M、N的运动过程中PM+MN是否存在最小值吗？如存在请求出PM+MN的最小值．
2024-2025学年广东省深圳市坪山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D B A C B
一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）f（x）＝ex是一个数学函数，它表示自然数e的指数次幂．其中自然数e是一个无理数（e＝2.718281828459045 ）则在下列实数中，（　　）也是无理数
A． B． C．3.14 D．
【解答】解：根据无理数的定义可得，是无理数．
故选：D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：与不是同类项，不能进一步计算，
故A选项不正确，不符合题意；
4与不是同类项，不能进一步计算，
故B选项不正确，不符合题意；
，
故C选项正确，符合题意；
与3不是同类项，不能进一步计算，
故D选项不正确，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）若a，b，c是三角形的三边长，则满足下列条件的a，b，c不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝b＝5，c＝5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝5，b＝13，c＝12
【解答】解：A、1+1＝2，12+12≠22，不能构成直角三角形，符合题意；
B、52+52＝（5）2，能构成直角三角形，不符合题意；
C、设a＝3x，则b＝4x，c＝5x，
（3x）2+（4x）2＝（5x）2，即a2+b2＝c2，能构成直角三角形，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意，
故选：A．
4．（3分）函数y＝﹣2x+1的图象一定经过下列四个点中的（　　）
A．（1，﹣3） B．（﹣2，4） C．（﹣1，1） D．（0，1）
【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣1，故函数y＝﹣2x+1的图象不经过（1，﹣3），不符合题意；
B、当x＝﹣2时，y＝5，故函数y＝﹣2x+1的图象不经过（﹣2，4），不符合题意；
C、当x＝﹣1时，y＝3，故函数y＝﹣2x+1的图象不经过（﹣1，1），不符合题意；
D、当x＝0时，y＝1，故函数y＝﹣2x+1的图象经过（0，1），符合题意；
故选：D．
5．（3分）科技是第一生产力，创新是第一动力，教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加坪山区中小学科技创新竞赛，如表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 93 97 97 95
方差 0.8 0.8 1.2 1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵乙的平均数最大，方差最小，
∴乙成绩好且状态稳定，
故选：B．
6．（3分）某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共18t，实际生产了20t，其中水稻超产15%，小麦超产10%，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，则下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得，．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝56°，∠C＝37°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，则∠DAE的度数为（　　）
A．7.5° B．8.5° C．9.5° D．10.5°
【解答】解：在△ABC中，∠B＝56°，∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣56°﹣37°＝87°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE43.5°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝56°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝43.5°﹣34°＝9.5°，
故选：C．
8．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线都经过，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B（0，4），直线l2交y轴于点C，交x轴于点D．直线l3∥直线l1且经过原点，且与直线l2交于点F，点P为x轴上任意一点，连接PC、PF．对于以下结论，错误的是（　　）
A．方程组的解为
B．S△OFD＝3
C．△AED为直角三角形
D．当PF+PC的值最小时，点P的坐标为
【解答】解：A、∵直线l1：y＝kx+b与直线都经过，
∴方程组的解为，故不符合题意；
B、把，点B（0，4）代入y＝kx+b得，
∴，
∴直线l1：y＝2x+4，
∵直线l3∥直线l1且经过原点，
∴直线l3的解析式为y＝2x，
把代入yx+m得，m，
∴m＝2，
∴直线l2：y，
解得，
∴F（，），
在y中，令y＝0，则x+2＝0，
解得x＝4，
∴D（4，0），
∴S△OFD，故符合题意；
C、在y＝2x+4中，令y＝0，则2x+4＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AE2＝（﹣2）2，DE2＝（4）2，AD2＝（﹣2﹣4）2＝36，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴△AED为直角三角形；不符合题意；
D、∵直线l2交y轴于点C，
∴C（0，2），
作点C故x轴的对称点C′，连接C′F交x轴于P，
此时，PF+PC的值最小，
设直线C′P的解析式为y＝mx+n，
∵C′（0，﹣2），
∴，
∴
∴直线C′P的解析式为yx﹣2，
当y＝0时，x，
∴P（，0），不符合题意；
故选：B．
二、填空题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）8的立方根是 　2　．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
10．（3分）在坪山区某校文学节演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如表所示：
项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果
成绩/分 80 90 80
若按照演讲内容占60%，演讲能力占20%，演讲效果占20%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 　82　分．
【解答】解：该选手的综合成绩为：80×60%+90×20%+80×20%＝82（分），
故答案为：82．
11．（3分）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE与CF相交于点O，∠A＝58°，则∠BOC为　119　°．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣58°＝122°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线BE与CF相交于点O，
∴∠OBC，∠OCBACB，
∴∠OBC+∠OCB122°＝61°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣61°＝119°，
故答案为：119．
12．（3分）某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣2，7），则点B的坐标为　（﹣5，5）　．
【解答】解：设长方形的长为x，宽为y，
根据题意得，，
解得，
∴点B的坐标为（﹣5，5），
故答案为：（﹣5，5）．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为边AC上一动点，DE⊥AB交AB于点E，将∠A沿直线DE折叠，点A的对应点为F，当△DFC是直角三角形时，AD的长为　或　．
【解答】解：当∠DFC＝90°时，
∵将∠A沿直线DE折叠，点A的对应点为F．
∴∠A＝∠AFD，AD＝DF，
∵∠ACB＝90°，∠DFC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠AFD+∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠B，
∴FC＝BC＝6，
在Rt△DFC中，CD2＝DF2+CF2．
∴（8﹣AD）2＝AD2+36，
∴AD，
当点F与点B重合时，AD＝DF，
∵DF2＝BC2+CD2，
∴AD2＝（8﹣AD）2+36，
∴AD，
故答案为：或．
三、解答题：（本大题共7题；其中14题6分，15题8分，16题8分，17题9分，18题10分，19题10分，20题10分，共61分）
14．（6分）化简：．
【解答】解：
＝1+2（﹣2）
．
15．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
②﹣①×2得：x＝2，
将x＝2代入①得：2﹣2y＝2，
解得：y＝0，
故原方程组的解为；
（2）原方程整理得，
①+②得：x﹣y＝2③，
①﹣②得：x+y＝10④，
③+④得：2x＝12，
解得：x＝6，
将x＝6代入②得：6﹣y＝2，
解得：y＝4，
故原方程组的解为．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中△ABC如图所示．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）①分别写出△A1B1C1各顶点坐标．
②求△A1B1C1的面积．
（3）若以B点为圆心，AB的长为半径作弧线，交射线BB1于点E，请在图中作出线段BE（留下作图痕迹），并求出E点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）①由图可得，A1（﹣5，﹣1），B1（﹣2，﹣5），C1（﹣6，﹣4）．
②△A1B1C1的面积为．
（3）如图，线段BE即为所求．
由勾股定理得，AB5，
∴BE＝AB＝5，
∵点E在射线BB1上，
∴点E的坐标为（﹣3，﹣5）．
17．（9分）近年来，新能源汽车扎根坪山、立足深圳、放眼全球，通过一路自主创新，发展加速狂飙．坪山区作为深圳打造“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，新能源汽车消费市场有巨大的发展潜力，因此坪山区居民对电车充电桩的需求也在不断增加，目前公共充电桩的收费方式有：按电量计费、按时间计费、按峰谷计费，为了解调整充电桩收费方式的社会反响，新能源汽车工厂相关负责人随机访问了坪山区的部分车主，就“每月每部车的用电量”和“认为公共充电桩该如何收费”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2．（其中图1每月每部车用电范围为150～450千瓦时）
收费方式 收费标准
按电量计费 1.2元/千瓦时
按时间计费 2元/小时
按峰谷计费 10：00﹣19：00（低峰期，0.9元/千瓦时） 19：00﹣次日10：00（高峰期，1.5元/千瓦时）
在所有受调查的车主中共有1050位车主认为充电桩应该“按电量计费”，根据负责人绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：
（1）n＝　210　，负责人共调查了　1800　位车主，并补全图1；
（2）如果坪山区有96000位车主，请你估计坪山区内认为充电桩收费应该“按峰谷计费”的车主数有多少？
（3）据了解深深的爸爸居住在坪山区，每天需要开电车往返于公司上班，已知他每个月电车耗电量范围落在图1的中位数　250～300　千瓦时，且他一般是在每天的12：00﹣20：00充电，如果你是深深的爸爸，结合以上信息，请分别从两个角度考虑：该选哪种计费方式的充电桩给电车充电？并说明理由（理由充分即可）．
【解答】解：（1）n＝360﹣120﹣30＝210，
（位），
1800﹣260﹣330﹣290﹣280﹣160＝480，
故答案为：210；1800；
（2）（位），
答：坪山区内认为充电桩收费应该“按峰谷计费”的车主数有8000位；
（3）∵260+330＝590（位），260+330+480＝1070（位），
∴中位数为250～300千瓦时，
故答案为：250～300；
应该选择“按峰谷计费”，理由如下：
①每月耗电量不大，选择“按时间计费”不划算；
②可在每天12：00﹣19：00低峰期充电，比“按电量计费”更划算．
18．（10分）【教材呈现】
将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段AE、DE、EF、BF、CF把四个顶点连接起来）．已知如图1：∠DAE＝∠ADE＝30°，∠AEF＝∠BFE＝120°．
（1）由图1可知，线段AB和EF的位置关系为：　AB∥EF　；
【问题探究】
（2）某数学兴趣小组发现，图1所示图形　是　（是/不是）轴对称图形，于是他们如图2构造了△AF′D≌△BFC，发现△AF′E是　等边　三角形，请结合以上结论，猜想线段AE与OE的数量关系，并证明．
【问题解决】
（3）在第（2）问的基础上，若AB＝6，求最短连法的线段和，即AE+DE+EF+BF+CF的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，
∴AB∥EF，
故答案为：AB∥EF；
（2）图1所示图形是轴对称图形，如图2构造了△AF′D≌△BFC，发现△AF′E是等边三角形，
猜想线段AE＝2OE，证明如下：
由（1）AB∥EF，
∵∠BFE＝120°，
∴∠ABF＝60°，
∴∠FBC＝30°，
同理∠FCB＝30°，
∴△AED≌△BFC（ASA），
∵△AF′D≌△BFC，
∴△AF′D≌△AED，
∴AF′＝AE，∠F′AE＝60°，
∴△AF′E是等边三角形，
∵∠F′AD＝∠EAD＝30°，
∴AO⊥EF′，OF′＝OE，
∴AE＝2OE，
故答案为：是，等边；
（3）∵△AF′E是等边三角形，
同（2）可知：△DF′E是等边三角形，
∴AE＝DE＝EF′，
由（1）知：AO⊥EF′，
∴AO＝DOADAB＝3，
∴OE＝3，
∴AE＝2OE＝2，
∴EF＝AB﹣2OE＝6﹣AE，
∴AE+DE+EF+BF+CF
＝4AE+6﹣AE，
＝3AE+6
＝66
∴AE+DE+EF+BF+CF的值为66．
19．（10分）请根据以下素材，完成探究任务．
关于出票问题的探究
素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于坪山文化聚落的坪山大剧院，每月都会在综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目．按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率（100%）原则上不得超过75%．
素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化生活，坪山街道新和社区通过民生微实事项目平台，联合坪山大剧院联手推出惠民观剧活动，辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得!
素材3 2024年11月的一场话剧推出A、B两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动．已知A种票10张、B种票5张、惠民票5张，共需3900元；购买2张B种票比购买1张A种票多出的费用，可购得惠民票2张．
问题解决
任务1 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则观剧人数有 　900　人．
任务2 设该话剧A种票价a元，B种票价b元，求出该话剧的A种、B种票价．
任务3 若A种票的持票人数y与B种票的持票人数x满足如图所示函数图象（其中x取正整数）．请写出该场话剧票务收入W与x的函数表达式，求出该场话剧的最大票务收入．
【解答】解：任务1：设观剧人数为x人，则100%≤75%，
解得：x≤900，
∴x的最大值为：900，
故答案为：900；
任务2：由题意得：，
解得：，
答：该话剧的A种票价为280元、B种票价为180元；
任务3：设y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y＝﹣2x+1000，
∴w＝280y+180x+40×（900﹣x﹣y）＝280（﹣2x+1000）+180x+40（900﹣x+2x﹣1000）＝﹣340x+276000，
∵﹣340＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵300≤x≤500，
∴当x＝300时，w取最大值，为﹣340×300+276000＝174000（元），
答：该场话剧的最大票务收入174000元．
20．（10分）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．
某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题．
如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记为Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．点P在线段AC上，将△ABP沿着直线BP翻折，点A落在点D处，BD交AC于点E．
【操作一】
如图1，小组成员甲将纸片折叠，使AP⊥DP，观察发现△BCP的形状是　等腰直角三角形　，此时AP为　1　；
【操作二】
如图2，小组成员乙将纸片折叠，使AB与CB重叠，观察图形，请帮他求出△ADP的面积；
【操作三】
如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段BC和AB上添加两个动点M、N，连接PM、MN，你能判断在M、N的运动过程中PM+MN是否存在最小值吗？如存在请求出PM+MN的最小值．
【解答】解：【操作一】
由折叠得，
∠APB＝∠BPD，
∵PD⊥DP，
∴∠CPD＝90°，
设∠CPB＝α，则∠BPD＝∠APB＝180°﹣α，
由∠BPD﹣∠CPB＝∠CPD得，
（180°﹣α）﹣α＝90°，
∴α＝45°，
∴∠CPB＝45°
∵∠C＝90°，
∴∠CBP＝∠CPB＝45°，
∴PC＝BC＝3，
∴△BCP是等腰直角三角形，AP＝AC﹣PC＝1，
故答案为：等腰直角三角形，1；
【操作二】
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
由折叠得，
BD＝AB＝5，DP＝AP，
∴CD＝BD﹣BC＝2，
设DP＝AP＝x，则CP＝4﹣x，
在Rt△DCP中，由勾股定理得，
CD2+CP2＝DP2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴x，
∴AP，
∴S△ADP；
【操作三】
如图，
PM+MN存在最小值，
作点P关于BC的对称点Q，作QN⊥AB于N，交BC于M，则PM+MN最小＝QN，
∴CQ＝CP，
由上知：CP＝4﹣x＝4，
∴CQ，
∴，
连接BQ，
由S△ABQ得，
5，
∴QN．
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