数学：1.1《关于“球”的常见问题》教案（新人教a版必修2）
文档属性
| 名称 | 数学：1.1《关于“球”的常见问题》教案（新人教a版必修2） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 53.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-12-03 14:11:00 | ||
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文档简介
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【关于“球”的常见问题】
常见问题1: 问题：怎样把圆和球的主要性质进行对照？
解答:
答：
圆的主要性质 球的主要性质
1 平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）
2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍
3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2
4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆
5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面[注]
6 圆周长＝2π×圆半径圆面积=＝π×圆半径2 大圆周长＝2π×球半径球面积＝4π×球半径2球体积=
[注] 与球面只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点。
类似的，与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点也叫做切点。球的切线有以下主要性质：
1. 过切点的球半径垂直于球的切线；
2. 过球面上一点的切线有无限多条，这些切线都在这一点的球的切面内。
常见问题2: 球
问题：
地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为 ，求A、B两地经度的差.
解答:
分析：如图，O为球心，O1为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B两地的经度差.
解 设O1是北纬45°圈的中心，
∵A、B都在此圈上，
∴O1A＝O1B＝ R.
∵A、B的球面距离为 ，
∴∠AOB＝ ＝ ＝ ,ΔAOB为等边三角形.
AB＝R，在ΔAO1B中，
∵O1A2+O1B2＝ R2+ R2＝R2＝AB2，
∴∠AO1B＝90°.
∴A、B两地的经度差是90°.
评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.
常见问题3: 球
问题：
已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.
解答:
解 设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝ ，R＝OD＝AD·tan ,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan ,又设正方体棱长为x，则3x2＝EG2＝4R2,x＝ R.∴V正方体＝ (lcosθtan )3.
常见问题4: 球
问题：
如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.
解答:
分析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.
解 (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，
∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.
设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1，
∵PC⊥⊙O1平面，
∴OO1∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.
∴CD是球的直径.
故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.
(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝ xyz，
V2＝ x2y2z2≤ ( )3＝ · ＝ R6.
∴V≤ R3.
即 V最大＝ R3.
评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.
球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.
常见问题5: 球
问题：
求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.
解答:
解 如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝ a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4· ·Sr＝ S·AH，∴r＝ AH＝ a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔCD于H，则H为圆BCD的圆心，求得BH＝ a,AH＝ a,由相交弦定理得 a×(2R- a)＝( a)2.
解得R＝ a.
常见问题6: 球
问题：
球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )
A.4 B.2 C.2 D.
解答:
解 设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝ ，又∵OA＝OB
∴ΔAOB是等边三角形
同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.
边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径.
r＝ AB＝ R
R＝ r＝2
∴应选B.
常见问题7: 球
问题：
已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是( )
A. π B. π C.4π D. π
解答:
解 如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥ AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形.
∴AO′＝ ×2＝
设球半径为R，则OA＝R，OO′＝
在RtΔOAO′中，OA2＝O′O2+O′A2，即R2＝ +( )2
∴R＝
∴球面面积为4πR2＝ π
∴应选A.
说明 因为R＝OA＞O′A＞ AB＝1，所以球面积S＝4πR2＞4π.从而选A.
常见问题8: 球
问题：
长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )
A.20 π B.25 π C.50π D.200π
解答:
解 正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R.
得：l2＝4R2＝32+42+52＝50
从而 S球＝4πR2＝50π
∴应选C.
常见问题9: 球
问题：
在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是 .
解答:
解 由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝ a.
∴S球表面积＝4π·( a)2＝3πa2.
常见问题10: 球
问题：
圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.
解答:
分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.
解 设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V球＝2× π×52×h,V1＝ V球
即 25πh＝ π ∴h＝ cm.
∴应填 .
常见问题11: 球
问题：
湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.
解答:
解 设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.
得R＝13 ∴该球半径为13cm.
常见问题12: 球
问题：
在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为 米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
解答:
解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6 π(米2)
常见问题13: 球
问题：
设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解答:
解 ∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
记E是AD的中点，
从而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC ME⊥EF
设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.
不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.
设球O的半径为r，则r＝
设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.
∴ME＝ .MF＝ ,
r＝ ≤ ＝ -1
当且仅当a＝ ，即a＝ 时，等号成立.
∴当AD＝ME＝ 时，满足条件的球最大半径为 -1.
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【关于“球”的常见问题】
常见问题1: 问题：怎样把圆和球的主要性质进行对照？
解答:
答：
圆的主要性质 球的主要性质
1 平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）
2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍
3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2
4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆
5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面[注]
6 圆周长＝2π×圆半径圆面积=＝π×圆半径2 大圆周长＝2π×球半径球面积＝4π×球半径2球体积=
[注] 与球面只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点。
类似的，与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点也叫做切点。球的切线有以下主要性质：
1. 过切点的球半径垂直于球的切线；
2. 过球面上一点的切线有无限多条，这些切线都在这一点的球的切面内。
常见问题2: 球
问题：
地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为 ，求A、B两地经度的差.
解答:
分析：如图，O为球心，O1为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B两地的经度差.
解 设O1是北纬45°圈的中心，
∵A、B都在此圈上，
∴O1A＝O1B＝ R.
∵A、B的球面距离为 ，
∴∠AOB＝ ＝ ＝ ,ΔAOB为等边三角形.
AB＝R，在ΔAO1B中，
∵O1A2+O1B2＝ R2+ R2＝R2＝AB2，
∴∠AO1B＝90°.
∴A、B两地的经度差是90°.
评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.
常见问题3: 球
问题：
已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.
解答:
解 设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝ ，R＝OD＝AD·tan ,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan ,又设正方体棱长为x，则3x2＝EG2＝4R2,x＝ R.∴V正方体＝ (lcosθtan )3.
常见问题4: 球
问题：
如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.
解答:
分析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.
解 (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，
∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.
设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1，
∵PC⊥⊙O1平面，
∴OO1∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.
∴CD是球的直径.
故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.
(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝ xyz，
V2＝ x2y2z2≤ ( )3＝ · ＝ R6.
∴V≤ R3.
即 V最大＝ R3.
评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.
球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.
常见问题5: 球
问题：
求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.
解答:
解 如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝ a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4· ·Sr＝ S·AH，∴r＝ AH＝ a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔCD于H，则H为圆BCD的圆心，求得BH＝ a,AH＝ a,由相交弦定理得 a×(2R- a)＝( a)2.
解得R＝ a.
常见问题6: 球
问题：
球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )
A.4 B.2 C.2 D.
解答:
解 设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝ ，又∵OA＝OB
∴ΔAOB是等边三角形
同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.
边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径.
r＝ AB＝ R
R＝ r＝2
∴应选B.
常见问题7: 球
问题：
已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是( )
A. π B. π C.4π D. π
解答:
解 如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥ AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形.
∴AO′＝ ×2＝
设球半径为R，则OA＝R，OO′＝
在RtΔOAO′中，OA2＝O′O2+O′A2，即R2＝ +( )2
∴R＝
∴球面面积为4πR2＝ π
∴应选A.
说明 因为R＝OA＞O′A＞ AB＝1，所以球面积S＝4πR2＞4π.从而选A.
常见问题8: 球
问题：
长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )
A.20 π B.25 π C.50π D.200π
解答:
解 正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R.
得：l2＝4R2＝32+42+52＝50
从而 S球＝4πR2＝50π
∴应选C.
常见问题9: 球
问题：
在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是 .
解答:
解 由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝ a.
∴S球表面积＝4π·( a)2＝3πa2.
常见问题10: 球
问题：
圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.
解答:
分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.
解 设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V球＝2× π×52×h,V1＝ V球
即 25πh＝ π ∴h＝ cm.
∴应填 .
常见问题11: 球
问题：
湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.
解答:
解 设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.
得R＝13 ∴该球半径为13cm.
常见问题12: 球
问题：
在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为 米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
解答:
解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6 π(米2)
常见问题13: 球
问题：
设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解答:
解 ∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
记E是AD的中点，
从而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC ME⊥EF
设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.
不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.
设球O的半径为r，则r＝
设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.
∴ME＝ .MF＝ ,
r＝ ≤ ＝ -1
当且仅当a＝ ，即a＝ 时，等号成立.
∴当AD＝ME＝ 时，满足条件的球最大半径为 -1.
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