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6.3二项式定理---自检定时练--详解版
单选题
1．若，则（ ）
A．56 B．28 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，根据二项展开式的通项可知，进而求出的值.
【详解】因为，所以，
所以，即.
故选：D.
2.的展开式中常数项为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】先求出二项展开式的通项公式，然后求解常数项即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
所以令，解得，所以常数项为，
故选：C
3.若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项式系数的单调性可得出展开式的项数，即可求得的值.
【详解】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项，
所以，，解得.
故选：D.
4.展开式中的系数为（ ）
A． B． C．35 D．55
【答案】A
【分析】先求得展开式的通项公式，分别令，结合题意，即可求得答案
【详解】因为展开式通项，，
所以展开式为
故选：A.
5.的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二项式的通项分三种情况逐个求解，然后将系数加起来即可.
【详解】由题知，的展开式的通项为，
又的展开式的通项为，，
所以的展开式的通项为，
令，则，
所以含的项的系数为，
令，则，
所以含的项的系数为，
令，则，
所以含的项的系数为，
综上，的展开式中所有二次项的系数和为.
故选：A.
6.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则（ ）
A．12210 B．6105 C．6205 D．12220
【答案】B
【分析】归纳可得，利用累加法结合等差数列的求和公式可得答案.
【详解】因为
归纳可得，又，
所以，
所以，
故.
故选：B.
多选题
7.关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．系数最大的项为第3项
【答案】ABC
【分析】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.
【详解】，得二项式的系数和为，故A正确；
令得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项，故C正确；
由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.
故选：ABC
8.设，则（ ）
A． B．
C． D．当时，除以8的余数是7
【答案】AC
【分析】利用赋值法判断AC；利用二项展开式通项求出的值可判断B；利用二项式定理展开即可判断D.
【详解】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，通项公式为，令可得，
令可得，故，故B错误；
对于C，令可得，令，可得，
，故C正确；
对于D，当时，
所以除以8的余数是1，故D错误．
故选：AC
填空题
9.设，若，则 ．
【答案】
【分析】令，即可得到，再利用赋值法计算可得.
【详解】令，则，
令，可得，
令，可得，
所以.
故答案为：
10.在的展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项式展开式通项公式写出含的项，即可得答案.
【详解】的展开式中，
含的项的系数是.
故答案为：
解答题
11.已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求展开式中系数的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解，
（2）利用赋值法即可求解，
（3）根据通项特征，即可列不等式求解.
【详解】（1）；
（2）令得
令得
则；
（3）的通项为，
令，①
②
代入得：，解得
解得，
解得，所以，
所以展开式中系数的最大值.
12.若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.
(1)求的系数；
(2)求的值.
【答案】(1)180
(2)
【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出.
（2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.
【详解】（1）第3项与第9项的二项式系数相等，
则，解得，所以.
所以的展开式中项为：，所以.
（2）由（1）知，的展开式中，当时，，
由二项展开式可得：
所以都是正数，都是负数，
所以
当时，，
所以.
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6.3二项式定理---自检定时练--学生版
【1】知识清单
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式；
(2)各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数；
(3)展开式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1，它表示展开式的第k＋1项；
(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
3．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
4．二项式系数的性质
(1)对称性：
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：
当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值．
5．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1．若，则（ ）
A．56 B．28 C． D．
2.的展开式中常数项为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3.若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A． B． C． D．
4.展开式中的系数为（ ）
A． B． C．35 D．55
5.的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ）
A． B． C． D．
6.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则（ ）
A．12210 B．6105 C．6205 D．12220
多选题
7.关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．系数最大的项为第3项
8.设，则（ ）
A． B．
C． D．当时，除以8的余数是7
填空题
9.设，若，则 ．
10.在的展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答）
解答题
11.已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求展开式中系数的最大值.
12.若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.
(1)求的系数；
(2)求的值.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A A B ABC AC
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1) (2) (3)
12.【答案】(1)180 (2)
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