2024-2025学年广西崇左市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西崇左市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点是点在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线经过点，，则的斜率为( )
A. B. C. D.
3.已知数列为递增的等差数列，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.记等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.设数列的前项和为，若，且，的等差中项为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是( )
A. 若是椭圆，则 B. 若是双曲线，则
C. 若，则的周长为 D. 若，则的离心率为
10.已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则( )
A. 圆上有两个点到直线的距离为
B. 圆上只有一个点到直线的距离为
C.
D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
11.在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内含表面，且满足，记动点的轨迹为，则( )
A. 的面积为
B. 平面与所在平面平行
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：被圆：截得的弦长为______．
13.若数列满足，则 ______．
14.在正四面体中，，，，，，则 ______用，，表示若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，．
证明：平面平面．
若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．
求椭圆的标准方程及离心率；
与直线平行的直线交于，两点均不与的顶点重合，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
19.本小题分
对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列满足，，，数列满足，．
求数列，的通项公式．
若数列的前项和为，证明：．
若对恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
，
则数列的前项和
．
16.解：根据题意可得动点到点的距离与它到直线的距相等，
动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
，，
的方程为；
设，，又的中点坐标为，
则，，，
，
，
直线的方程为，即为．
17.证明：取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，，解得负值已舍，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
故点到平面的距离为．
18.解：因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点，
所以，，
则椭圆的标准方程为，
因为，
所以椭圆的离心率为；
证明：由知直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，，
所以，
因为，
又，
所以，
所以．
故为定值．
19.解：已知数列满足，，，
可得，即有，
即有，可得对也成立，
所以，；
数列满足，，
可得，化为，
即为，
可得数列是首项和公差均为的等差数列，
则，即有；
证明：，
则，
，
两式相减可得
，
化为，
由，可得；
对恒成立，即为恒成立．
设，即有，
当时，；当时，，即，
则数列的最大项为，即有，
即的取值范围是．
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