山东省淄博实验2024--2025学年高三下学期开学质量检测数学试题（含答案）

山东省淄博实验2024--2025学年高三下学期开学质量检测
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题仅有一个选项正确.
1.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或三个以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
5.的内角的对边分别为，且，则为（ ）
A. B. C. D.
6.已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.在正四棱锥中，，过侧棱的延长线上一点作与平面平行的平面，分别与侧棱的延长线交于点.设几何体和几何体的外接球半径分别为和，当最小时，（ ）
A. B. C. D.
8.设函数，，若图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ）
A.当时，，
B.当时，，
C.当时，，
D.当时，，
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A.若回归方程为，则变量与负相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C.若决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好
D.若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
10.已知实数满足，则下列关系式恒成立的有（ ）
A. B.
C. D.
11.设函数（为常数，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中正确的是（ ）
A.点是函数图象的一个对称中心
B.函数的最小正周期为
C.直线是函数的一条对称轴
D.函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式有
种.
13.一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为 .
14.若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知圆的方程为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值.
16.已知在中，.
（1）求；
（2）证明：.
17.如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
18.已知函数，.
（1）对任意实数，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求不等式的解集；
（3）当时，求的最大值.
19.动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设，的面积分别为，求的最大值.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B B A C B
二、选择题
题号 9 10 11
答案 AB AC ACD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.解：（1）方程可化为，
∵此方程表示圆，∴，即，故实数的取值范围是.
（2）由（1）可得圆心，半径，
如图，过点作于点，则，
圆心到直线的距离为：
，
由图可得：，即，解得：，
16.解：（1）由题意，，
即，
化简得，
即，故或,
又，解得或（舍去），故.
（2）要证，即证，即证，
由（1），，∴，即证.
不妨设，（其中），
则
，显然成立.
故，命题得证.
17.解：（1）∵，为中点，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，
又平面，，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）在平面内过点作，由（1）知，平面，
故以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图：
则,,,,
，则.
∴,,,
，
由（1）知，为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，令，则，∴，
∴,
∵二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
18.解：（1）∵，，
∴.
即对任意实数，是定值，定值为1.
（2）∵，∴为奇函数，
∴不等式为，
由∵是单调递增函数，∴，∴，
∴不等式的解集为.
（3）令在上单调递增，∴，
又∵，则，，开口向下，对称轴为，
当时，是单调增区间，
∴时取最大值；
当时，是单调减区间，∴时取最大值；
当时，是单调增区间，是单调减区间，
∴时取最大值，
综上，.
19.解：（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
∵动圆与圆，圆都内切，∴，，
∴，
又，，故，∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，∴，故的方程为：.
（2）（ⅰ）证明：设，，
由题意中的性质可得，切线方程为，切线方程为，
∵两条切线都经过点，∴，，
故直线的方程为：，显然当时，.
故直线经过定点.
（ⅱ）设直线的方程为：，
联立，整理得，
则，，
又，∴直线的方程为，
令得
，
∴直线经过定点，又，
∴
，
∴，当且仅当时，即时取等号.