第十八章 平行四边形
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分)
1.在 ABCD中,∠A+∠C=160°,则∠C的度数为(B)
A.100° B.80°
C.60° D.20°
2.平行四边形的对角线一定具有的性质是(B)
A.相等 B.互相平分
C.互相垂直 D.互相垂直且相等
3.如图所示, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列选项错误的是(D)
A.AC,BD互相平分
B.OA=OB时,平行四边形ABCD为矩形
C.AC⊥BD时,平行四边形ABCD为菱形
D.∠BAC=45°时,平行四边形ABCD为正方形
第3题图
4.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,已知∠AOD=120°,AB=2.5 cm,则对角线BD的长为(C)
第4题图
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
5.(2024昭通永善一模)如图所示,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为(A)
A.3 B.4
C.5 D.6
6.顺次连接矩形四边中点所得的四边形是(B)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四边形
7.下列说法中,正确的是(B)
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.菱形的对角线互相垂直且平分
C.菱形的对角线相等且互相平分
D.对角线互相平分的四边形是矩形
8.(2024玉溪期中)如图所示,在 ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是(C)
A.BE=DF B.∠DAF=∠BCE
C.AE=CF D.AF∥CE
第8题图
9.若菱形ABCD的周长为8,∠A∶∠B=1∶2,则菱形的面积为(D)
A. B.3
C.4 D.2
10.如图所示,一架梯子AB斜靠在竖直墙上,点M为梯子AB的中点,当梯子底端向左水平滑动到CD位置时,滑动过程中OM的变化规律是(B)
第10题图
A.变小 B.不变
C.变大 D.先变小再变大
11.如图所示,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形,则需添加的条件是(A)
A.AB=CD,AB⊥CD
B.AB=CD,AD=BC
C.AB=CD,AC⊥BD
D.AB=CD,AD∥BC
第11题图
12.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D,E分别是AB,BC的中点,点F在CA的延长线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为(B)
第12题图
A.14 B.16
C.18 D.20
13.如图所示,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为(C)
A.45° B.60°
C.67.5° D.77.5°
第13题图
14.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CB1的长为(B)
第14题图
A.3 cm B.2 cm
C.8 cm D.10 cm
15.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E,F分别是AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是(C)
第15题图
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)
16.在 ABCD中,AB∶BC=3∶5,它的周长是32,则BC的长为 10 .
17.平行四边形的对角线长分别是10,16,则它的边长x的取值范围是 318.如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 .
第18题图
19.如图所示,正方形ABCD的边长为2,G是对角线BD上一动点,GE⊥CD于点E,GF⊥BC于点F,连接EF,给出四种情况:①若G为BD上任意一点,则AG=EF;②若BG=AB,则∠DAG=22.5°;③若G为BD的中点,则四边形CEGF是正方形;④若DG∶BG=1∶3,则S△ADG=.则其中正确的是 ①②③④ (填序号).
第19题图
三、解答题(本大题共8小题,共62分)
20.(7分)如图所示,在 ABCD中,点F是AD的中点,连接CF并延长交BA的延长线于点E,求证:AB=AE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠E=∠DCF.
∵点F是AD的中点,∴AF=DF.
在△AFE和△DFC中,
∴△AFE≌△DFC(AAS).
∴CD=AE.
∴AB=AE.
21.(6分)如图所示,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作 FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH,求证:BE=CF.
证明:∵FH⊥EF,
∴∠HFE=90°.
∵GE=GH,
∴FG=EH=GE=GH.
∴∠E=∠GFE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
∴△ABF≌△DCE(AAS).
∴BF=CE.
∴BF-BC=CE-BC,
即BE=CF.
22.(7分)如图所示,在 ABCD中,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交BC于点M,N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P,连接AP并延长,交BC于点E;以点C为圆心,BE的长为半径作弧交BC的延长线于点F,连接AF,DE,DF.求证:四边形AEFD是
矩形.
证明:由作法,知AE⊥BC,CF=BE.
∴CF+EC=BE+EC,即EF=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴AD∥EF,AD=EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°.
∴四边形AEFD是矩形.
23.(6分)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F,求证:四边形ABFD是平行四边形.
证明:在Rt△ABC中,E是AC的中点,
∴BE=EA.
∵∠BAE=60°,∴△ABE是等边三角形.
∴∠CEF=∠AEB=60°.
∵△ACD是等边三角形,
∴∠CDA=∠DCA=60°.
∴△CEF是等边三角形.
∴∠CFE=60°.
∴∠CFE=∠CDA.∴BF∥AD.
∵∠DCA=∠BAC=60°,∴AB∥DC.
∴四边形ABFD是平行四边形.
24.(8分)(2024云南模拟)如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=AD,
∴ ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
(2)解:∵点E,F分别为AD,AO的中点,
∴EF是△AOD的中位线.
∴OD=2EF=3.
由(1)可知,四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BD=2OD=6.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得
AD===,
∴菱形ABCD的周长为4AD=4.
25.(8分)如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
证明:(1)∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°.
∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形.
∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
∴四边形MPND是正方形.
26.(8分)在四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,交BD于点O,连接DE.
(1)如图(1)所示,若DE∥BC.求证:四边形BCDE是菱形;
(2)如图(2)所示,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.求∠CED的大小.
(1)证明:∵CB=CD,CE⊥BD,
∴DO=BO.
∵DE∥BC,
∴∠DEO=∠BCO.
在△DOE和△BOC中,
∴△DOE≌△BOC(AAS).∴DE=BC.
∴四边形BCDE是平行四边形.
∵CD=CB,∴四边形BCDE是菱形.
(2)解:∵DE垂直平分AC,∴AE=EC.
∴∠AED=∠CED.
又∵CD=CB,CE⊥BD,∴CE垂直平分DB.∴DE=BE.
∴∠DEC=∠BEC.
∴∠AED=∠CED=∠BEC.
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,
∴∠CED=×180°=60°.
27.(12分)如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,点P是对角线AC上的一个动点(点P与点A,C不重合),过点P作PE⊥PB交DC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.
(1)求证:PB=PE.
(2)在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化 若不变,求出这个不变的值;若变化,试说明理由.
(1)证明:如图①所示,过点P作PG⊥BC于点G,过点P作PH⊥DC于
点H.
图①
∵四边形ABCD是正方形,
PG⊥BC,PH⊥DC,
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.
∴PG=PH,
∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.
∵PE⊥PB,即∠BPE=90°,
∴∠BPG=90°-∠GPE=∠EPH.
在△PGB和△PHE中,
∴△PGB≌△PHE(ASA).
∴PB=PE.
图②
(2)解:PF的长度不变.
如图②所示,连接BD,与AC交于点O.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOP=90°.
∵PE⊥PB,即∠BPE=90°,
∴∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF.
∵EF⊥PC,即∠PFE=90°,
∴∠BOP=∠PFE.
在△BOP和△PFE中,
∴△BOP≌△PFE(AAS).
∴BO=PF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=2,OB=OC,∠BOC=90°.
∵OB2+OC2=BC2,
∴2OB2=4,解得OB=.
∴PF=OB=.
∴点P在运动过程中,PF的长度不变,值为.
第十八章 平行四边形
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分)
1.在 ABCD中,∠A+∠C=160°,则∠C的度数为( )
A.100° B.80°
C.60° D.20°
2.平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A.相等 B.互相平分
C.互相垂直 D.互相垂直且相等
3.如图所示, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列选项错误的是( )
A.AC,BD互相平分
B.OA=OB时,平行四边形ABCD为矩形
C.AC⊥BD时,平行四边形ABCD为菱形
D.∠BAC=45°时,平行四边形ABCD为正方形
第3题图
4.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,已知∠AOD=120°,AB=2.5 cm,则对角线BD的长为( )
第4题图
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
5.(2024昭通永善一模)如图所示,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.顺次连接矩形四边中点所得的四边形是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四边形
7.下列说法中,正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.菱形的对角线互相垂直且平分
C.菱形的对角线相等且互相平分
D.对角线互相平分的四边形是矩形
8.(2024玉溪期中)如图所示,在 ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A.BE=DF B.∠DAF=∠BCE
C.AE=CF D.AF∥CE
第8题图
9.若菱形ABCD的周长为8,∠A∶∠B=1∶2,则菱形的面积为( )
A. B.3
C.4 D.2
10.如图所示,一架梯子AB斜靠在竖直墙上,点M为梯子AB的中点,当梯子底端向左水平滑动到CD位置时,滑动过程中OM的变化规律是( )
第10题图
A.变小 B.不变
C.变大 D.先变小再变大
11.如图所示,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形,则需添加的条件是( )
A.AB=CD,AB⊥CD
B.AB=CD,AD=BC
C.AB=CD,AC⊥BD
D.AB=CD,AD∥BC
第11题图
12.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D,E分别是AB,BC的中点,点F在CA的延长线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为( )
第12题图
A.14 B.16
C.18 D.20
13.如图所示,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A.45° B.60°
C.67.5° D.77.5°
第13题图
14.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CB1的长为( )
第14题图
A.3 cm B.2 cm
C.8 cm D.10 cm
15.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E,F分别是AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是( )
第15题图
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)
16.在 ABCD中,AB∶BC=3∶5,它的周长是32,则BC的长为 .
17.平行四边形的对角线长分别是10,16,则它的边长x的取值范围是 .
18.如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 .
第18题图
19.如图所示,正方形ABCD的边长为2,G是对角线BD上一动点,GE⊥CD于点E,GF⊥BC于点F,连接EF,给出四种情况:①若G为BD上任意一点,则AG=EF;②若BG=AB,则∠DAG=22.5°;③若G为BD的中点,则四边形CEGF是正方形;④若DG∶BG=1∶3,则S△ADG=.则其中正确
的是 (填序号).
第19题图
三、解答题(本大题共8小题,共62分)
20.(7分)如图所示,在 ABCD中,点F是AD的中点,连接CF并延长交BA的延长线于点E,求证:AB=AE.
21.(6分)如图所示,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作 FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH,求证:BE=CF.
22.(7分)如图所示,在 ABCD中,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交BC于点M,N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P,连接AP并延长,交BC于点E;以点C为圆心,BE的长为半径作弧交BC的延长线于点F,连接AF,DE,DF.求证:四边形AEFD是
矩形.
23.(6分)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F,求证:四边形ABFD是平行四边形.
24.(8分)(2024云南模拟)如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
25.(8分)如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
26.(8分)在四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,交BD于点O,连接DE.
(1)如图(1)所示,若DE∥BC.求证:四边形BCDE是菱形;
(2)如图(2)所示,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.求∠CED的大小.
27.(12分)如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,点P是对角线AC上的一个动点(点P与点A,C不重合),过点P作PE⊥PB交DC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.
(1)求证:PB=PE.
(2)在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化 若不变,求出这个不变的值;若变化,试说明理由.
