霸
请在各题自的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色短形边框限定区域的答案无效！
高三数学·答题卡
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(15分)
15.(13分)
姓
名：
准考证号：
注意事项
1.答趣前，考生先将白己的姓名，准考证号填写清
贴条形码区
楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2.选择趣必须用2B铅笔填涂：非选择题必须川
0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答
题：字体工整、笔迹清晰。
3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出
区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题
缺考
无效。
此栏考生禁填
4。保持卡面清洁，不要折及、不要弄破
标记
5.正确填涂圆
一、选择题（每小题5分，共40分)
1 (A][BI [CI ID]
5 [A][B][C][D]
2 [A][B][C][D]
6 [A][B][C][D]
3 [A][B][C][D]
7 [A][B](C][D]
g
4 [A][BI [C][D]
8[A]B][C]D]
二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分，共18分)
9[A]B1C1D]
10 [A][B][C]ID]
11 IA][B][C]IDI
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.
13
14
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色炬形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区线的答案无效！
数学第1页（共6页）
数学第2页（共6页）
数学第3页（共6页）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效：
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各愿目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学第4页（共6页）
数学第5页（共6页）
数学第6页（共6页）2025年天水市第三中学、天水市第八中学、天水市第九中学、
A.3-45
C.-②
D.②
10
B
10
10
天水市新梦想高考复读学校高三大联考
6.在上学期期末考试中，A,B,C，,D,￡，F六名同学分别获得了语文、数学、英
数学
语、物理、化学、生物的单科第一名。在开学的表彩活动中，这6名同学排成一列依次
上台领奖，在“A同学不在开头且B同学不在末尾”的条件下，C同学在开头的概率
为
(试卷满分150分，考试用时120分钟)
注意事项：
B.
2
21
D
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
7.函数闭=(0r+pX0p水号，@>)，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求，
4后，0，号，0，则方程f=n2x-争，xe0,所有解的和为()
1.若全集U=R,集合A=x{y=√5一x,x∈N}B={xx≤3}，则图中阴影部分表示
A沿
B.Sr
6
D香
的集合为
8.已知定义在R上的函数fx)的导函数为f'(x),且∫(x)☆
A.4,53
B.{0,1,2}
9.,c四大小系
()
C.0,1,2,3}
D.3,4,53
e
2.复数z=1+2i的共轭复数为z,则z2+z=
A.b>c>a
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
A.22
B.2W5
C.6
D.8
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
燃油效率at
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升
汽油行驶的里程。如图描述了甲、乙、丙
9.为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击
甲车
三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下
比赛，得到8名同学的射击环数为：6,6,7,8,9,9,9,10单位：环，则这组样本数
列叙述中正确的是()
丙率
据的
()
A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
400速度om
A.极差为4
B.平均数是8
C.第75百分位数是9
D.方差为4
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
10.如图所示，△MBC中，AB=3,AC=2,BC=4,点M为线段AB中点，P为线段CM
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
的中点，延长MP交边BC于点N,则下列结论正确的有
D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
人丽-+衣
4.已知平面向量a=(L,0),b=(1,2),若（à+2五）1a,则实数元=
()
B.BN=3NC
器
A.-2
B.-1
D.1
C1N西
子ae0学，则coa+9-
3
D.正与Ac夹角的余弦值为
38
(高三数学，共2页，第1页)2025 届高三下学期开学考试数学试题参考答案
（试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A A D B C D B C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9．ABC 10．AC 11．BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．24 13．7 14．
解析
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求.
1．若全集 ，集合 ，则图中阴影部分表
示的集合为
A． ， B． ，1， C． ，1，2， D． ，4，
【答案】A
【解析】
【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为 ，再利用集合的基本运算
即可求解．
【详解】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为 ，
， ， ， ，1，2，3，4，
，
， ，
司
司
， ，
故选： ．
2．复数 的共轭复数为 ，则
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，先求出 ， ，再结合复数模公式，即可求解．
【详解】解： ，
， ，
．
故选： ．
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆
汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以 千米 小时的速度行驶 小时，消耗 升汽油
D．某城市机动车最高限速 千米 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】
【分析】理解横坐标表示的是速度，纵坐标表示的是燃油效率.
【详解】 对于 ，由图象可知当速度大于 时，乙车的燃油效率大于 ，
当速度大于 时，消耗 升汽油，乙车的行驶距离大于 ，故 错误；
对于 ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 升汽油，
甲车的行驶路程最远， 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 错
误；
司
司
对于 ，由图象可知当速度为 时，甲车的燃油效率为 ，即甲车行驶
时，耗油 升，故行驶 小时，路程为 ，燃油为 升，故 错误；
对于 ，由图象可知当速度小于 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， 用丙
车比用乙车更省油，故 正确；
故选： ．
4．已知平面向量 ， ，若 ，则实数
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量坐标运算法则和向量垂直的性质直接求解．
【详解】解： 平面向量 ， ， ，
，
，解得实数 ．
故选：B．
5．已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换和角的恒等变换的应用求出三角函
数的值．
【详解】解：由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ；
故
．
故选：C．
6．在上学期期末考试中， ， ， ， ， ， 六名同学分别获得了语文、数学、
英语、政治、历史、地理的单科第一名．在开学的表彰活动中，这 6 名同学排成一
列依次上台领奖，在“ 同学不在开头且 同学不在末尾”的条件下， 同学在开头
司
司
的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】求出“ 同学不在开头且 同学不在末尾”的基本事件个数，在事件“ 同学
不在开头且 同学不在末尾”的事件中，求出 同学在开关的基本事件个数，能求出
结果．
【 详 解 】 解 ：“ 同 学 不 在 开 头 且 同 学 不 在 末 尾 ”的 基 本 事 件 个 数
，
在事件“ 同学不在开头且 同学不在末尾”的事件中，
同学在开头的基本事件个数 ，
在“ 同学不在开头且 同学不在末尾”的条件下， 同学在开头的概率为“
．
故选： ．
7．函数 ， ，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点
， ， ， ，则方程 ， ， 所有解的和为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件求出 和 的值，可得 的解析式，再根据方程可得
，或 ，求得 的值，可得结论．
【详解】解： 相邻两支图象与坐标轴分别交于点 ， ， ， ，
函数的周期 ，则 ，此时 ．
又 ，得 ，即 ， ，
， 当 时， ，则 ，
司
司
故由方程 ， ， ， ， ，
可得 ，或 ．
或 ，或 ，
求得 ，或 ，故 ，
故选： ．
8．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， 为偶函数，
则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据结论特点，结合已知条件，构造函数 ，然后研究该函数在
上的单调性解决问题．
【详解】解：令 ，当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
又 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，
所以 （3）， （2）， （1），
所以 ．
故选： ．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校
内射击比赛，得到 8 名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10(单位：环),则
这组样本数据的
A.极差为 4 B.平均数是 8
司
司
C.第 75 百分位数是 9 D.方差为 4
【答案】ABC
10.如图所示， 中， ， ， ，点 为线段 中点， 为线段
的中点，延长 交边 于点 ，则下列结论正确的有
A．
B．
C．
D． 与 夹角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】 ，运算可判断 ； ， ， 共线，可得
，进而可求 ，从而可得 ，可判断 ，
计算可判断 ；求出 与 夹角的余弦值可判断 ．
【详解】解：由 ，
为线段 的中点， ，
，故 正确；
， ， 共线， ，又 ， ， 在同一直线上，
，解得 ， ，
， ，故 错误；
司
司
， ， ， ，
，故 正确；
，
与 夹角的余弦值为 ， ， ，故
错误．
故选： ．
11.设函数 ，则下列结论正确的是
A． 有三个零点
B． 是 的极小值点
C． 的图象关于点 中心对称
D．当 时，
【答案】BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12．在 的展开式中，所有二项式系数的和是 16，则展开式中的常数项
为 ．
【答案】24
【解析】
【分析】利用二项式系数和公式求出 的值，再求出展开式的通项公式，令 的指数
为 0，由此即可求解．
【详解】解：根据二项式系数和公式可得 ，解得 ，
又 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，所以展开式中的常数项为 ，
故答案为：24．
13．已知 的内角 的对边分别为 ，若 则 边上的中
线 的长为 .
【答案】7
司
司
【解析】在 中，由余弦定理得 ，
因为 为 边上的中线，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 的长为 7.
14．已知 分别为椭圆 的左 右焦点，过椭圆 C 在 轴上的
点 A 与 的直线与 交于点 ，且 不在线段 上， ， ，
则 的离心率为 .
【答案】
【分析】根据已知设 ， ，则 .根据椭圆的定义以及已知条
件推得 ，所以 .进而在 以及 中，根据余弦定理以及角之
间的关系，得出关系式，化简整理即可得出 之间的关系，代入离心率公式，即
可得出答案.
【详解】
由已知 ，不妨设 ， ，则 .
由椭圆的定义可知 .
因为点 A 在 轴上， 分别为 的左 右焦点，
所以 .
由 ，得 ，
即 ，
司
司
则 ，所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
整理可得， ，则 .
所以 .
故答案为： .
四．解答题：本小题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13 分）已知数列 满足 ，且 ．
（1）若 ，证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) 略 (2)
【解析】
【分析】（1） ，且 ．变形为 ，根据
，可得 ，进而证明结论．
（2）由（1）可得： ，可得 ，利用求和公式即可得出结论．
【详解】解：（1）证明： ，且 ．
，
，
， ，
数列 是等比数列，首项与公比为 2．
（2）由（1）可得： ， ，
，
司
司
数列 的前 项和 ．
16．（15 分）2024 年 7 月 26 日，第 33 届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.
人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年
龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取 200 人进行调查，得到如下列联表：
周平均锻炼时长
年龄 周平均锻炼时间少于 4 小 周平均锻炼时间不少于 4 小 时 时 合 计
50 岁以下 40 60 100
50 岁以上（含 50） 25 75 100
合计 65 135 200
(1)试根据 的 独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？ 精确
到 0.001 ；
(2)现从 50 岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于 4 小时，用分层随机抽样法
抽取 5 人做进一步访谈，再从这 5 人中随机抽取 3 人填写调查问卷.记抽取 3 人中周
平均锻炼时间不少于 4 小时的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据： ，其中 .
【答案】(1)有关联(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答，
（2）根据抽样比可得抽取的 5 人中，周平均锻炼时长少于 4 小时的有 2 人，不少于
4 小时的有 3 人，即可利用超几何分布的概率公式求解.
【详解】（1）零假设 ：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由 列联表中的数据，可得 ，
.
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
司
司
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 .
所以 50 岁以下和 50 岁以上（含 50）周平均锻炼时长有差异.
（2）抽取的 5 人中，周平均锻炼时长少于 4 小时的有 人，不少于 4 小时
的有 人，
所以 所有可能的取值为 ，
所以 ， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
1 2 3
随机变量 的数学期望
17．（15 分）如图，已知 垂直于梯形 所在的平面，矩形 的对角线交于
点 ， 为 的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存
在，求出 的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)略 (2) (3) 存在满足题意的点 ，此时 GH= ．
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线证明 ，即可根据线面平行的判定定理证明
结论；
司
司
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面 的一个法向量，即可
根据向量的夹角公式求得答案；
（3）假设存在点 ，设 ，表示出 的坐标，根据 与
平面 所成角的大小为 ，利用向量的夹角公式计算，可得答案．
【详解】解：（1）证明：连接 ，在 中， ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，2， ， ，0， ， ，2，
，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
司
司
由图形可知，二面角 的余弦值为 ．
（3）假设存在点 ，设 ，
则 ．
由（2）知，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
即 ，所以 ，
故存在满足题意的点 ，此时 ．
18．（17 分）已知函数 ．
（1）若 时，恒有 ，求 a 的取值范围；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由若 时，恒有 ，
所以当 时， 恒成立，
设 ，
则令 ，
则 ，显然 在 单调递增，
故当 时， ，
当 时， ，则 对 恒成立，
则 在 单调递增，
从而当 时， ，即 在 单调递增，
所以当 时， ，符合题意；
当 时， ，又因为 ，
所以存在 ，使得 ，
司
司
所以当 时， ， 单调递减， ，
则 单调递减，此时 ，不符合题意.
综上所述，a 的取值范围为
（2）要证当 时， ，即证 ，
设 ，
则 ，
令 ，
则 单调递增，
所以当 时， ，则 单调递增，
所以当 时， ，
则当 时， ，即 单调递增，
所以当 时， ，原式得证
19．（17 分）已知拋物线 的焦点为 上任意一点 到 的距离与
到点 的距离之和的最小值为 3．
(1)求拋物线 的标准方程；
(2)已知过点 的直线 与 分别交于点 与点 ，延长 交于点 ，线段
与 的中点分别为 ．
①证明：点 在定直线上；
②若直线 ，直线 的斜率分别为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；② .
【分析】（1）根据抛物线的定义，把 到 的距离与到点 的距离之和的最小值转
化为 到准线的距离为 和到点 的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出
答案；
（2）①设 ，计算出直线 的方程和直线 的
司
司
方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出 ，再根据基
本不等式求解.
【详解】（1）抛物线 的准线方程为 ，设点 到准线的距离为 ．
由抛物线的定义，得 ，解得 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立，所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）①设 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 消去 整理得 ，
所以 ，同理可得 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，同理直线 的方程为
．
联立 ，得 ，即
，
即 ，即
，
所以 ，即点 在直线 上．
司
司
②由题意可知， 的斜率存在且均不为 0，
因为 ，所以设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
由①知， ．所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，又易知 ，
所以 的取值范围为
司
司
