中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版七年级下册 1.3 乘法公式 同步提升训练
一．选择题
1．下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ）
A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a+2 b）（2 b﹣a）
C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（﹣a﹣b）（a+b）
2．利用公式计算（﹣x﹣2y）2的结果为（ ）
A．﹣x2﹣2xy﹣4y2 B．﹣x2﹣4xy﹣4y2
C．x2﹣4xy+4y2 D．x2+4xy+4y2
3．计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（ ）
A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2
4．如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（ ）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
5．已知x2+y2＝4，xy＝2，那么（x+y）2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．若a﹣b＝8，a2+b2＝82，则2ab的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．18 D．﹣18
7．若a﹣b＝6，ab＝16，则a2+b2的值为（ ）
A．68 B．52 C．20 D．4
8．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（ ）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
10．已知x1，则x2（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 B．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
C．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
12．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
二．填空题
13．计算： ．
14．计算：（3y﹣2x）（3y+2x）＝ ．
15．如果9x2﹣12x+k是一个完全平方式，那么k＝ ．
16．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则a2+b2＝ ．
17．若x＝3+2y，则x2﹣4xy+4y2＝ ．
18．已知（x+y）2﹣2（x+y）+1＝0，则x+y＝ ．
19．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，则x﹣2022的值是 ．
20．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是 ．
21．已知a2﹣b2＝12，a+b＝2，则a﹣b＝ ．
22．若，则 ．
三．解答题
23．计算：（a+2）（a﹣2）+（a﹣2）2．
24．计算题：
（1）（x﹣3y﹣1）（x﹣3y+1）；
（2）﹣101×190+1012+952.（用简便方法计算）
25．已知：（x+y）2＝9，xy＝﹣2，求下列代数式的值：
（1）x2+y2；
（2）x﹣y．
26．．
27．已知m﹣n＝10，mn＝24．
（1）求（3+m）（3﹣n）的值；
（2）求m2﹣3mn+n2的值．
28．阅读理解：
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．
①x2+y2＝ ；
②求（x+y）2的值；
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．
29．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号）；
（2）【应用】利用“平方差公式”计算：20242﹣2023×2025；
（3）【拓展】计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （264+1）．
30．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1： ；
方法2： ．
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ．
（3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知a+b＝5，ab＝5，求（a﹣b）2+（a+2）（b+2）的值；
②已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版七年级下册 1.3 乘法公式 同步提升训练
一．选择题
1．下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ）
A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a+2 b）（2 b﹣a）
C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（﹣a﹣b）（a+b）
【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【解答】解：A．（2a+b）（a﹣2b），只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．（a+2b）（2b﹣a）＝（2b+a）（2b﹣a）＝4b2﹣a2，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．（﹣a+b）（b﹣a）＝（b﹣a）（b﹣a）＝b2﹣2ab+a2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2．利用公式计算（﹣x﹣2y）2的结果为（ ）
A．﹣x2﹣2xy﹣4y2 B．﹣x2﹣4xy﹣4y2
C．x2﹣4xy+4y2 D．x2+4xy+4y2
【分析】因为本题是“括号的平方”这种形式，因此我们可以从括号里面提出一个﹣1，平方后变为1，剩下的就是（x+2y）2，展开后就能得出答案．
【解答】解：（﹣x﹣2y）2＝（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．
故选：D．
3．计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（ ）
A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故选：B．
4．如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（ ）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
【分析】根据完全平方公式可得出答案．
【解答】解：∵（x+3）2＝x2+6x+9，
∴a＝6．
故选：C．
5．已知x2+y2＝4，xy＝2，那么（x+y）2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】因为（x+y）2＝x2+2xy+y2，再把已知条件x2+y2＝4，xy＝2，代入即可得出答案．
【解答】解：（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∵x2+y2＝4，xy＝2，
∴（x+y）2＝4+2×2＝4+4＝8．
故选：B．
6．若a﹣b＝8，a2+b2＝82，则2ab的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．18 D．﹣18
【分析】根据完全平方公式进行变形即可求解．
【解答】解：∵a﹣b＝8，a2+b2＝82，
∴（a﹣b）2＝64，
∴a2+b2﹣2ab＝64，
∴82﹣2ab＝64，
∴2ab＝82﹣64＝18．
故选：C．
7．若a﹣b＝6，ab＝16，则a2+b2的值为（ ）
A．68 B．52 C．20 D．4
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：∵a﹣b＝6，ab＝16，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×16＝68，
故选：A．
8．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×2＝6，
故选：D．
9．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（ ）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
【分析】根据平方差公式即可求解．
【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，
∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35，
（a2+b2）2﹣1＝35，
（a2+b2）2＝36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝6，
故选：B．
10．已知x1，则x2（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【解答】解：∵x1，
∴（x）2＝1，
即x2﹣21，
∴x23．
故选：D．
11．如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 B．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
C．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】图②的面积可以整体表示为（a+b）2，也可将各部分求和表示为（a﹣b）2+4ab由此可得此题结果．
【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：B．
12．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
【分析】根据左侧图形2个梯形的面积和等于右图梯形面积即可验证平方差公式．
【解答】解：根据两个图形面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故验证的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
二．填空题
13．计算： ．
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：；
故答案为：．
14．计算：（3y﹣2x）（3y+2x）＝ 9y2﹣4x2 ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（3y﹣2x）（3y+2x）
＝（3y）2﹣（2x）2
＝9y2﹣4x2，
故答案为：9y2﹣4x2．
15．如果9x2﹣12x+k是一个完全平方式，那么k＝ 4 ．
【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式求解即可．
【解答】解：∵9x2﹣12x+k＝（3x）2﹣2 3x 2+k，
∴k＝22＝4．
故答案为：4．
16．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则a2+b2＝ 10 ．
【分析】将要求的式子变为（a+b）2﹣2ab，然后代入求值即可．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣3，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝22﹣2×（﹣3）
＝4﹣（﹣6）
＝4+6
＝10，
故答案为：10．
17．若x＝3+2y，则x2﹣4xy+4y2＝ 9 ．
【分析】由题意可得x﹣2y＝3，将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵x＝3+2y，
∴x﹣2y＝3，
∴x2﹣4xy+4y2
＝（x﹣2y）2
＝9，
故答案为：9．
18．已知（x+y）2﹣2（x+y）+1＝0，则x+y＝ 1 ．
【分析】根据完全平方公式得到（x+y﹣1）2＝0，则x+y﹣1＝0，即可得到x+y的值．
【解答】解：根据题意得（x+y﹣1）2＝0，
所以x+y﹣1＝0，
所以x+y＝1．
故答案为1．
19．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，则x﹣2022的值是 ±4 ．
【分析】设t＝x﹣2022，利用换元法求出t2，再求平方根即可．
【解答】解：设t＝x﹣2022，
∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，
∴（t+1）2+（t﹣1）2＝34，
∴t2+2t+1+t2﹣2t+1＝34，
∴2t2+2＝34，
∴t2＝16，
∴t＝±4，
∴x﹣2022＝±4，
故答案为：±4．
20．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是 13 ．
【分析】设t＝x﹣2023，换元后进行计算即可求解．
【解答】解：设t＝x﹣2023，
∵（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，
∴（t+2）2+（t﹣2）2＝34，
即2t2+8＝34，
解得t2＝13，
即（x﹣2023）2的值为13．
故答案为：13．
21．已知a2﹣b2＝12，a+b＝2，则a﹣b＝ 6 ．
【分析】依据平方差公式进行计算，即可得出结论．
【解答】解：∵a2﹣b2＝12，且a+b＝2，
∴（a+b）（a﹣b）＝12，
即2（a﹣b）＝12，
∴a﹣b＝6．
故答案为：6．
22．若，则 29 ．
【分析】根据完全平方公式对代数式进行变形，整体代入求值．
【解答】解：（x）2+4＝29，
故答案为：29．
三．解答题
23．计算：（a+2）（a﹣2）+（a﹣2）2．
【分析】先去括号，再合并即可得出答案．
【解答】解：原式＝a2﹣4+a2﹣4a+4
＝2a2﹣4a．
24．计算题：
（1）（x﹣3y﹣1）（x﹣3y+1）；
（2）﹣101×190+1012+952.（用简便方法计算）
【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行简便计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣3y）2﹣1＝x2﹣6xy+9y2﹣1；
（2）原式＝1012﹣2×101×95+952
＝（101﹣95）2
＝62
＝36．
25．已知：（x+y）2＝9，xy＝﹣2，求下列代数式的值：
（1）x2+y2；
（2）x﹣y．
【分析】（1）根据完全平方公式得出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，再代入求出答案即可；
（2）根据完全平方公式得出（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝17，再求出x﹣y即可．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝9，xy＝﹣2，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝9﹣2×（﹣2）
＝9+4
＝13；
（2）∵（x+y）2＝9，xy＝﹣2，
∴（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝9﹣4×（﹣2）
＝9+8
＝17，
所以x﹣y＝±．
26．．
【分析】根据平方差公式将原式化为（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1），即进行计算即可．
【解答】解：原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
27．已知m﹣n＝10，mn＝24．
（1）求（3+m）（3﹣n）的值；
（2）求m2﹣3mn+n2的值．
【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则，将原式变形为：9+3（m﹣n）﹣mn，然后再把m﹣n＝10，mn＝24整体代入计算即可；
（2）先把原式变形为：m2﹣2mn+n2﹣mn，然后再根据完全平方公式进行变形为：（m﹣n）2﹣mn，最后把m﹣n＝10，mn＝24整体代入计算即可．
【解答】解：（1）∵m﹣n＝10，mn＝24，
∴（3+m）（3﹣n）
＝9﹣3n+3m﹣mn
＝9+3（m﹣n）﹣mn
＝9+3×10﹣24
＝9+30﹣24
＝39﹣24
＝15；
（2）m2﹣3mn+n2
＝m2﹣2mn+n2﹣mn
＝（m﹣n）2﹣mn
＝102﹣24
＝100﹣24
＝76．
28．阅读理解：
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．
①x2+y2＝ 5 ；
②求（x+y）2的值；
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）①将x﹣y＝﹣3两边平方，利用完全平方差公式展开求解即可；
②利用完全平方和公式将（x+y）2展开求解即可；
（2）将x+y＝7两边平方，利用完全平方和公式展开，求出xy的值，再将（x﹣y）2利用完全平方差公式展开求解即可．
【解答】解：（1）①∵x﹣y＝﹣3，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，
∵xy＝﹣2，
∴x2+y2＝5；
故答案为：5．
②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1．
（2）∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49，
∵x2+y2＝25，
∴xy＝12，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1．
29．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 ①②③ （填序号）；
（2）【应用】利用“平方差公式”计算：20242﹣2023×2025；
（3）【拓展】计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （264+1）．
【分析】（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）将原式化为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （264+1），再连续利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b），
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，面积为（a+b）（a﹣b），
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b），
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼成的右图是长为2a，宽为2b的长方形，面积为4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③；
（2）20242﹣2023×2025
＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣（20242﹣1）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（3）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （264+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （264+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） （264+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1） （264+1）
＝（28﹣1）（28+1） （264+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）（264+1）
＝（232﹣1）（232+1）（264+1）
＝（264﹣1）（264+1）
＝2128﹣1．
30．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1： （a﹣b）2 ；
方法2： （a+b）2﹣4ab ．
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ．
（3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知a+b＝5，ab＝5，求（a﹣b）2+（a+2）（b+2）的值；
②已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值．
【分析】（1）一方面阴影部分是边长为a﹣b的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去4个长为a，宽为b的长方形面积即可；
（2）由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（3）①由（2）的结论代入计算即可；
②设2024﹣a＝x，a﹣2023＝y，得x+y＝2024﹣a+a﹣2023＝1，x2+y2＝7，利用完全平方公式变形得（x+y）2﹣2xy＝7，代值计算即可得答案．
【解答】解：（1）方法一：阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（2）由（1）得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）①∵a+b＝5，ab＝5，
∴（a﹣b）2+（a+2）（b+2）
＝（a+b）2﹣4ab+ab+2（a+b）+4
＝（a+b）2﹣3ab+2（a+b）+4
＝52﹣3×5+2×5+4
＝24；
②设2024﹣a＝x，a﹣2023＝y，
∴x+y＝2024﹣a+a﹣2023＝1，
∵（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，
∴x2+y2＝7，
∴（x+y）2﹣2xy＝7，
∴12﹣2xy＝7，
∴xy＝﹣3，
∴（2024﹣a）（a﹣2023）＝﹣3．
