(共20张PPT)
章末复习与提升
【重难点突破】
重难点一：相交线所成的角
1.如图，下列说法中错误的是( )
A.∠1 与∠A 是同旁内角
B.∠3与∠A 是同位角
C.∠2与∠3 是同位角
D.∠3 与∠B是内错角
B
2.如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为( )
A.∠1＋∠2＋∠3＝90°
B.∠1＋∠2－∠3＝90°
C.∠2＋∠3－∠1＝90°
D.∠1－∠2＋∠3＝90°
D
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分。
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为 ；
(2)若∠AOC＝70°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数。
∠BOD
解：(2)因为∠AOC＝70°，
所以∠BOD＝70°，
因为∠BOE∶∠EOD＝2∶3，
所以∠BOE＝∠BOD＝28°，
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝152°。
重难点二：垂直
4.(淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
D
5.如图，直线AB，CD交于点O，EO⊥AB于点O。若∠EOD＝155°，则
∠AOC的度数为( )
A.35°
B.65°
C.55°
D.25°
B
6.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF是∠AOE内的一条射线，OC平分∠AOF，OG平分∠DOF。
(1)试说明：OE平分∠BOF；
(2)若∠EOG＝20°，求∠BOD的度数。
解：(1)因为OC平分∠AOF，
所以∠COF＝∠AOC＝∠BOD，
因为OE⊥CD，
所以∠COE＝∠DOE＝90°，
所以∠COF＋∠EOF＝90°，∠AOC＋∠BOE＝90°，
所以∠EOF＝∠BOE，所以OE平分∠BOF。
(2)因为∠EOG＝20°，
所以∠DOG＝70°，
因为OG平分∠DOF，
所以∠DOF＝2∠DOG＝140°，
所以∠COF＝180°－∠DOF＝40°，
因为∠BOD＝∠AOC＝∠COF，
所以∠BOD＝40°。
重难点三：平行线的判定与性质
7.如图，下列说法中错误的是( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若∠1＝∠2，则 a∥c
C.若∠3＝∠2，则 b∥c
D.若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
C
8.如图，已知∠M＝∠3，∠D＝∠4，若∠2＋∠1＝180°，且∠BEC＝
2∠B＋30°，则∠C的度数为( )
A.50°
B.40°
C.45°
D.60°
A
9.如图，一条公路修到湖边需转弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是 120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，∠C的度数是 。
150°
10.如图，AD∥EF，∠1＋∠2＝180°。
(1)试说明：DG∥AB；
(2)若DG是∠ADC的平分线，
∠ADB＝126°，求∠B的度数。
解：(1)因为AD∥EF，
所以∠2＋∠BAD＝180°，
因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠1＝∠BAD，
所以DG∥AB。
(2)因为∠ADB＝126°，
所以∠ADC＝180°－∠ADB＝54°，
因为DG平分∠ADC，
所以∠CDG＝∠ADC＝27°，
因为DG∥AB，所以∠B＝∠CDG＝27°。
【综合提升】
11.(荆门期末)如图①，A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD，GE之间的一点，∠HAB＋∠BCG＝∠ABC。
(1)试说明：AD∥CE；
(2)如图②，作∠BCF＝∠BCG，
CF与∠BAH的平分线交于点F。
若∠α＋∠β＝40°，求∠B＋∠F的度数；
(3)如图③，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝
50°，则∠NBM＝ (直接写出结果)。
25°
解：(1)过点B作BP∥AD，
所以∠ABP＝∠HAB，
因为∠ABC＝∠ABP＋∠CBP，
∠ABC＝∠HAB＋∠BCG，
所以∠CBP＝∠BCG，
所以BP∥CE，所以AD∥CE。
(2)因为AF平分∠HAB，
所以∠HAF＝∠FAB＝∠β，
所以∠HAB＝2∠FAB＝2∠β，
因为∠BCF＝∠BCG＝∠α，所以∠FCG＝2∠FCB＝2∠α，
由(1)可知∠B＝∠HAB＋∠BCG，
所以∠F＝∠HAF＋∠FCG，
因为∠α＋∠β＝40°，
所以∠B＋∠F＝2∠β＋∠α＋∠β＋2∠α＝3(∠α＋∠β)＝120°。(共19张PPT)
2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
知识点一：两直线平行，同位角相等
1.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝147°，则∠2的度数为( )
A.147° B.57° C.33° D.123°
A
2.如图，若AB∥CD，EF⊥CD，∠2＝36°，则∠1＝ 。
54°
3.如图，已知B，C，D三点在同一直线上，CE∥BA，∠B＝60°，∠ACB＝70°，求∠ACE的度数。
解：因为CE∥BA，
所以∠ECD＝∠B＝60°，
因为∠ACB＝70°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝110°，
所以∠ACE＝∠ACD－∠ECD＝50°。
知识点二：两直线平行，内错角相等
4.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为
。
78°
5.(岳阳中考)如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是 。
25°
6.如图，AB∥CD，∠CAD＝∠D。试说明AD平分∠BAC。
解：因为AB∥CD，
所以∠D＝∠BAD，
因为∠CAD＝∠D，
所以∠CAD＝∠BAD，
所以AD平分∠BAC。
知识点三：两直线平行，同旁内角互补
7.一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC。∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
B
8.舞台上的灯光由灯带上位于点A和点B的两盏激光灯控制。如图，光线AC与灯带AB的夹角∠A＝55°，若光线BD与光线AC平行，则光线BD与灯带AB的夹角∠B＝ 。
125°
9.如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝72°，求∠D的度数。
解：因为AB∥CD，
∠B＝72°，
所以∠C＝∠B＝72°。
因为CB∥DE，
所以∠D＝180°－∠C＝108°。
10.光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化。如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是( )
A.58° B.48° C.26° D.32°
A
11.如图，AB∥CD∥EF，则下列式子中正确的是( )
A.∠1＋∠2＋∠3＝180°
B.∠1＋∠2－∠3＝180°
C.∠2＋∠3－∠1＝180°
D.∠1－∠2＋∠3＝180°
B
12.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE∥AC，DF∥AB。试说明∠A＋∠B＋∠C＝180°。
解：因为DE∥AC(已知)，
所以∠BED＝ ，
∠BDE＝ (两直线平行，同位角相等)，
因为DF∥AB( )，
∠A
∠C
已知
所以∠BED＝∠EDF( )，
∠FDC＝∠B( )，
所以∠EDF＝∠A(等量代换)，
因为∠BDE＋∠EDF＋ ＝180°(平角的定义)，
所以∠C＋∠A＋∠B＝180°(等量代换)，
即∠A＋∠B＋∠C＝180°。
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
∠FDC
13.如图，AD是∠CAB的平分线，点E在线段BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G。试说明∠AGF＝∠F。
解：因为 EF∥AD，
所以∠AGF＝∠BAD，
∠CAD＝∠F。
因为 AD 平分∠CAB，
所以∠CAD＝∠BAD，
所以∠AGF＝∠F。
14.如图①，直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，∠ABC＝x°，∠CDE＝35°。
(1)求∠BED的度数(用含x的式子表示)；
小明的解决办法如下，你能帮他完成吗？
解：过点E作EM∥a，
因为a∥b，所以a∥b∥EM，
所以∠DEM＝( )＝35°，
∠MEB＝( )。
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝x°，
∠CDE
∠ABE
所以∠BED＝( )
＝( )。
∠ABE＋∠CDE
x°＋35°
(2)按照上面方法，解决下面问题：
如图②，AB∥CD，延长BO交CD于点E，若∠CEO＝5∠OED，∠BOD＝75°，则∠D的度数为 。
45°(共12张PPT)
小专题(三) 平行线基本模型(一)“M”型图和“铅笔”型图
模型一：“M”型
条件：AB∥CD。
方法：过点P向左作PQ∥AB。
结论：∠APC＝∠BAP＋∠PCD。
模型二：“铅笔”型
条件：AB∥CD。
方法：过点P向左作PQ∥AB。
结论：∠ABP＋∠BPD＋∠PDC＝360°。
类型1：用基本图
1.(济宁中考)如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E。若∠BGE＝60°，则 ∠EFD的度数是 。
30°
2.山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行(AM∥BD∥CN)，且每两个支撑架之间的索道均是直的.若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，则∠ABC的度数为 。
100°
3.如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺ABC按如图所示的位置放置，顶点A在直线a上，∠BAC＝90°，∠B＝60°，若∠1＝24°，求∠2的度数。
解：过点B作直线c∥a。
因为a∥b，
所以a∥b∥c.
所以∠1＝∠4＝24°，
∠2＋∠3＝180°。
因为∠ABC＝60°，
所以∠3＋∠4＝60°，
所以∠3＝60°－∠4＝36°，
所以∠2＝180°－∠3＝144°。
类型2：构基本图
4.如图，AB∥CD，此时∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间有什么关系？请说明理由。
解：∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D，
理由：过点F作FH∥AB，
因为AB∥CD，
所以FH∥AB∥CD，
所以∠E＝∠B＋∠EFH，∠G＝∠GFH＋∠D，
所以∠E＋∠G＝∠B＋∠EFH＋∠GFH＋∠D
＝∠B＋∠EFG＋∠D。
5.如图，AB∥CD.求∠EAB＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数。
解：分别过点E，F向右作EM∥AB，FN∥AB。
因为AB∥CD，
所以AB∥EM∥FN∥CD。
所以∠EAB＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD＝
180°×3＝540°。(共24张PPT)
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角和补角
知识点一：同一平面内两条直线的位置关系
1.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.平行或垂直
C
2.同一平面内，不重合的两条直线其交点个数可能为 。
0或1
知识点二：对顶角的定义与性质
3.下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是( )
D
4.若∠1＋∠2＝168°，且∠1，∠2为对顶角，则∠1的度数为( )
A.134°
B.12°
C.84°
D.78°
C
5.如图，直线AB，CD相交于点O。若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为( )
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
B
6.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOD的对顶角为 ，∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的对顶角为 。
∠BOC
∠BOD
∠AOF
7.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD＝110°，求∠BOD的度数。
解：因为∠EOD＝110°，
所以∠EOC＝70°，
因为OA平分∠EOC，
所以∠AOC＝∠EOA＝∠EOC＝35°，
所以∠BOD＝∠AOC＝35°。
知识点三：余角与补角
8.若∠α＝90°－m，∠β＝90°＋m，则∠α，∠β的关系是( )
A.互补
B.互余
C.和为钝角
D.和为周角
A
9.一个角的度数比它的余角的度数大30°，则这个角的度数是( )
A.35°
B.45°
C.60°
D.65°
C
知识点四：余角与补角的性质
10.如图，若∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，则 ＝ ；根据：
。
∠1
∠3
同角或等角的补角相等
11.如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠AOE的度数。
解：因为∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOD＝∠BOC＝20°，
因为OA平分∠DOE，
所以∠AOE＝∠DOA＝20°。
12.若∠AOB是大于20°的锐角，当它减小20°时，它的余角的补角将( )
A.不变
B.增大20°
C.减小20°
D.无法判定它的变化
C
13.如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，若∠BOE＝4∠BOD，∠AOE＝100°，则∠AOC的度数为( )
A.30°
B.20°
C.15°
D.10°
B
14.(大庆中考)将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 ∠AOD＝108°，则∠COB＝ 。
72°
15.如图，A，O，B在同一条直线上，∠AOD＝∠DOB＝∠COE ＝90°。
(1)图中∠2的余角为 ，∠1的余角为 ；
(2)请写出图中相等的锐角，并说明理由；
(3)∠1的补角是什么？ ∠2有补角吗？若有，请写出。
∠1和∠3
∠2和∠4
解：(2)∠1＝∠3，∠2＝∠4。
理由：∠1和∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等得∠1＝∠3；
∠2和∠4都是∠3的余角，根据同角的余角相等得∠2＝∠4。
(3)∠1的补角是∠BOC，∠2有补角，∠2的补角是∠AOE。
16.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD。
(1)若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，则∠EOF＝ ；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，设∠AOE＝x。
①试说明∠COE＝∠AOE；
②求∠AOC的度数。
55°
解：(2)①因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE，
因为∠BOE＋∠AOE＝180°，∠COE＋∠DOE＝180°，
所以∠COE＝∠AOE。
②因为∠BOE＝∠FOE－∠FOB，
所以∠BOE＝x－15°，
因为∠BOE＋∠AOE＝180°，
所以x－15°＋x＝180°，
解得x＝130°，所以∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝2∠BOE＝100°。
17.观察下列各图，寻找对顶角(不含平角)：
(1)如图①，图中共有 对对顶角；
(2)如图②，图中共有 对对顶角；
(3)如图③，图中共有 对对顶角；
(4)研究(1)—(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角。
2
6
12
n(n－1)(共21张PPT)
2.2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两直线平行
知识点一：同位角的识别
1.如图，∠1与∠2是同位角的是( )
A
2.如图，∠1和∠2是直线 ， 被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线 ， 被直线 所截形成的同位角。
EF
DC
AB
CD
EF
3.如图，已知C为∠AOB的边OA上一点，射线CE交OB于点D。则图中与∠AOB是同位角的是 。
∠ACD 或∠CDB
知识点二：利用同位角判定两条直线平行
4.如图，∠1＝∠2，则下列结论中正确的是( )
A.AD∥BC B.AB∥CD
C.AD∥EF D.EF∥BC
C
5.(台州中考)如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是( )
A.∠2＝90° B.∠3＝90°
C.∠4＝90° D.∠5＝90°
C
6.如图，根据已知条件找出图中的平行线：
若∠ADE＝∠ABC，则 ∥ ；
若∠ACD＝∠F，则 ∥ ；
若∠DEC＝∠BCF，则 ∥ 。
DE
BC
CD
BF
DE
BC
7.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＋∠3＝60°，∠2＝5∠1，试说明AB∥CD。
解：因为∠2＋∠1＝180°，
∠2＝5∠1，
所以5∠1＋∠1＝180°，
所以∠1＝30°，
又因为∠1＋∠3＝60°，
所以∠3＝60°－∠1＝30°，所以∠1＝∠3，
所以AB∥CD。
知识点三：平行公理及其推论
8.在同一平面内，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上。理由是 。
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
9.如图是一个“T”形图案，已知AB∥CD，CD∥EF，则AB与EF的位置关系是 ，理论依据是 。
AB∥EF
平行于同一条直线的两条直线平行
10.如图，直线a，b与木条c在同一平面上，将木条c绕点O旋转到与直线a平行时，其最小旋转角为( )
A.100° B.90° C.80° D.70°
B
11.如图，点C，D，E在同一直线上，∠1＝130°，∠2＝50°，∠3＝130°，则图中互相平行的直线是 。
AD∥FC，AB∥CE
12.如图，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE。
解：因为CD平分∠ECF，
所以∠ECD＝∠DCF，
因为∠ACB＝∠DCF，
∠B＝∠ACB，
所以∠B＝∠ECD，
所以AB∥CE。
13.如图，是一个由4条线段构成“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线段，并说明理由。
解：OA∥BC，AC∥OB，
理由：因为∠1＝50°，
∠2＝50°，
所以∠1＝∠2，
所以OA∥BC，
又因为∠4＝180°－∠3＝50°，
所以∠2＝∠4，所以AC∥OB。
14.如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，试说明EC∥DF。
解： 因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
所以∠DBF＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
因为∠ABC＝∠ACB，
所以∠DBF＝∠ECB，
因为∠DBF＝∠F，所以∠ECB＝∠F，所以EC∥DF。
15.(教材P48T9变式)【问题情境】学行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图中的①～④，虚线部分表示折痕)。
【操作发现】如图④，由图②中的折叠可知∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD。用数学语言写出这个推理过程。
解：因为∠1＝90°，∠2＝90°，
所以∠1＝∠2，
所以AB ∥CD(同位角相等，两直线平行)。(共20张PPT)
第2课时 平行线的性质与判定的综合
知识点一：平行线的性质与判定的综合运用
1.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是( )
A.65° B.60°
C.55° D.75°
C
2.如图，已知∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝140°，则∠4的度数为( )
A.36°
B.40°
C.44°
D.100°
B
3.如图，已知四条直线a，b，c，d，∠1＝81°，∠2＝79°，∠3＝101°，则∠α的度数为 。
81°
4.(武汉中考)如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN。试说明AB∥CD。
解：因为EM∥FN，
所以∠FEM＝∠EFN，
又因为EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
所以∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN，
所以∠BEF＝∠EFC，所以AB∥CD。
5.如图，∠BAE＋∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠M＝∠N。(下面是推理过程，请填空)
解：因为∠BAE＋∠AED＝180°(已知)，
所以AB∥ ( )，
所以∠BAE＝ (两直线平行，内错角相等)，
又因为∠1＝∠2，
所以∠BAE－∠1＝ －∠2，
即∠MAE＝ ，
所以 ∥NE( )，
所以∠M＝∠N( )。
DC
同旁内角互补，两直线平行
∠AEC
∠AEC
∠AEN
MA
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
知识点二：平行线的性质与判定的实际应用
6.如图为某次考古发掘出的一块梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得∠A＝115°，∠D＝100°，已知该梯形残缺玉片的上底和下底互相平行(即AD∥BC)，请帮助工作人员计算原来的完整玉片中另外两个内角(即∠B和∠C)的度数。
解：在梯形ABCD中，
因为AD∥BC，
所以∠A ＋∠B＝180°，
∠D＋∠C＝180°，
因为∠A＝115°，∠D＝100°。
所以∠B＝180°－115°＝65°，
∠C＝180°－100°＝80°。
7.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠FGB交直线CD于点M，则∠3的度数为( )
A.60° B.65° C.70° D.130°
B
8.如图，D，E，F分别是三角形ABC 的边AB，AC，BC上的点，ED平分∠AEF，∠AEF＝2∠EFC，∠C＝∠EDF。若∠AED＝35°，则∠DFB的度数为 。
35°
9.一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE。若∠BCD＝140°，则∠ABC＝ 。
130°
10.如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明∠DGA＝∠FHC。
解：因为∠A＝∠F，
所以DF∥AC，
所以∠D＝∠DBA，
因为∠C＝∠D，
所以∠DBA＝∠C，
所以BD∥CE，所以∠DGA＝∠EHA，
因为∠EHA＝∠FHC，所以∠DGA＝∠FHC。
11.如图，∠ENC＋∠CMG＝180°，AB∥CD。
(1)请判断∠2与∠3是否相等，并说明理由；
(2)若∠A＝∠1＋70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数。
解：(1)∠2＝∠3。
理由：因为∠ENC＋∠CMG＝180°，∠CMG＝∠FMN，
所以∠ENC＋∠FMN＝180°，
所以FG∥ED，所以∠2＝∠D，
因为AB∥CD，所以∠3＝∠D，
所以∠2＝∠3。
(2)因为AB∥CD，所以∠A＋∠ACD＝180°，
因为∠A＝∠1＋70°，∠ACB＝42°，
所以(∠1＋70°)＋(∠1＋42°)＝180°，
所以∠1＝34°，
因为AB∥CD，所以∠B＝∠1＝34°。
12.如图①，AB∥CD，E是射线FD上的一点，∠ABC＝140°，
∠CDF＝40°。
(1)试说明BC∥EF；
(2)连接BD，如图②，若∠BAE＝110°，
BD∥AE，则BD是否平分∠ABC？请说明理由。
解：(1)因为AB∥CD，
所以∠ABC＋∠BCD＝180°，
因为∠ABC＝140°，所以∠BCD＝40°，
因为∠CDF＝40°，
所以∠BCD＝∠CDF，所以BC∥EF。
(2)BD 平分∠ABC。
理由：因为AE∥BD，
所以∠BAE＋∠ABD＝180°，
因为∠BAE＝110°，所以∠ABD＝70°，
因为∠ABC＝140°，所以∠ABD＝∠ABC，
所以BD 平分∠ABC。(共21张PPT)
第2课时 垂 线
知识点一：垂线的概念
1.(1)如图①，∠1＋∠2的度数为 ；
(2)如图②，直线AB，CD相交于点O，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝ 125°，则OE与AB的位置关系是 ，记作 。
90°
垂直
OE⊥AB
2.如图，一棵小树生长时与地面所成的角为∠1＝80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2的度数为 。
10°
3.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O。若∠1＝145°，则∠3的度数为 。
55°
4.如图，O为直线AB上一点，∠AOD∶∠DOB＝3∶1，OD平分∠COB，试判断AB与OC的位置关系，并说明理由。
解：AB⊥OC。理由：
因为O为直线AB上一点，
所以∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝180°。
因为∠AOD∶∠DOB＝3∶1，
所以∠AOD＝135°，∠DOB＝45°。
又因为OD平分∠COB，
所以∠COB＝2∠DOB＝90°，所以AB⊥OC。
知识点二：垂线的画法
5.过直线l外一点P画l的垂线CD，下列三角尺操作正确的是（ ）
D
6.作图：在图中，过点P作垂线PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D。
解：如图所示。
知识点三：垂线的性质和点到直线的距离
7.下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
C
8.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM在同一条直线上，理由是（ ）
A.两点确定一条直线
B.同一平面内，过一点有且只有一条
直线与已知直线垂直
C.过一点只能作一条直线
D.垂线段最短
B
9.如图，计划在河边建一水厂，可过点C作CD⊥AB于点D，在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是 。
垂线段最短
10.如图，河道l同侧有M，N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M，N两地，下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
D
11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，则线段CD长度的最小值为 。
4.8
12.(易错题)在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，若∠AOC＝25°，则∠BOD的度数为 。
65°或115°
13.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB。
(1)若∠1＝∠2，则∠NOD的度数为 ；
(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数。
90°
解：(2)因为OM⊥AB，所以∠BOM＝90°，
因为∠1＝∠BOC，所以∠BOC＝∠1＋∠BOM＝∠BOC＋90°，
所以∠BOC＝120°，
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝60°，
又因为∠BOD＝∠AOC＝60°，
所以∠MOD＝∠BOM＋∠BOD＝150°。
14.如图，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE。
(1)判断OF与OD的位置关系；
(2)若∠AOC ∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数。
解：(1)因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，
又因为∠DOE＝∠BOD＝∠BOE，
所以∠DOE＋∠EOF＝90°，
即∠FOD＝90°，所以OF⊥OD。
(2)设∠AOC＝x°，则∠AOD＝5x°，
因为∠AOC＋∠AOD＝180°，
所以x＋5x＝180，解得x＝30，
所以∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°，
又因为∠FOD＝90°，所以∠EOF＝60°。
15.(1)在图①中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直；
(2)量一量图①中∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是 ；
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图②和图③中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由)。
图②： ，
图③： ；
∠1＋∠P＝180°
∠1＝∠P
∠1＝∠APC或∠1＋∠BPC＝180°
(4)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角 。
相等或互补
解：(1)(3)画图如图所示。(共12张PPT)
小专题(四) 平行线基本模型(二)“钩”型图
模型一：“三角旗”型
条件：D，A，B三点共线。
方法：过点C向右作CP∥AB。
结论：∠ACB＝∠CAD－∠CBD。
模型二：“外钩”型
条件：AB∥CD。
方法：过点P向右作PQ∥AB。
结论：∠BPD＝∠PBA－∠PDC。
模型三：“内钩”型
条件：AB∥CD。
方法：过点P向右作PQ∥AB。
结论：∠BPD＝∠PDC－∠PBA。
1.如图，已知AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝35°，则∠C＝ 。
55°
2.如图，已知AE∥BD，AC，BD相交于点F，若∠1＝3∠2，∠2＝25°，则∠C＝ 。
50°
3.如图，AB∥CD，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC的度数
为 。
40°
4.如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向，拐到点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设。若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数
为 。
80°
5.在如图所示的螳螂示意图中，AB∥DE，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，求∠BCD的度数。
解：延长ED交BC于点F，
因为AB∥DE，所以EF∥AB，
所以∠CFE＝∠CBG＝180°－∠ABC＝56°，
所以∠CDF＝180°－∠CDE＝108°，
又因为∠CDF＋∠CFD＋∠BCD＝180°，
所以∠BCD＝16°。
6.如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝36°，∠A＝72°，∠DEF＝∠CEF，判断AB与DE是否平行，并说明理由。
解：AB∥DE，
理由：因为BD∥EF，
所以∠CEF＝∠ACD＝180°－∠ACB，
又因为∠A＝72°，∠B＝36°，
所以∠ACB＝72°，所以∠CEF＝108°，
所以∠D＝∠DEF＝∠CEF＝36°＝∠B，
所以AB∥DE。(共9张PPT)
小专题(六) 补形构造基本图形
1.如图，AB∥CD，P是CD上一点，∠1＝∠2。试说明：∠AEF＝∠F。
解：延长AE交CD于点H。
因为AB∥CD，所以∠1＝∠AHC。
因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠AHC。
所以AH∥FP。所以∠AEF＝∠F。
2.如图，AB∥CD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且EH∥FG，试说明：∠AEH＝∠CGF。
解：延长EH，CD交于点M。
因为AB∥CD，所以∠AEM＝∠M，
因为EH∥FG，∠M＝∠CGF，所以∠AEH＝∠CGF。
3.如图，AE∥BC，∠EAB＋∠C＝180°，试说明：AB∥CD。
解：延长 EA交CD于点F。
因为AE∥BC，所以∠EFC＋∠C＝180°，
因为∠EAB＋∠C＝180°，所以∠EAB＝∠AFC，
所以 AB∥CD。
4.如图，AB∥DE，BC∥DF，∠ABC＝50°，求∠EDF的度数。
解：延长BC，ED交于点M。
因为AB∥DE.BC∥DF，
所以∠ABC＝∠M＝∠MDF＝50°，
所以∠EDF＝180°－∠MDF＝130°。
B
E
F
2
C
P
D
A
B
1
E
F
2
C
P
H
D
A
H
D
E
G
B
F
C
M
A
H」
D
E
G
B
F
C
E
A
B
D
C
E
A
B
D
F
C
B
E
C
D
A
F
B
E
C
D
A
1
F(共20张PPT)
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
知识点一：内错角、同旁内角的识别
1.如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是( )
A.同位角 B.内错角
C.对顶角 D.同旁内角
B
2.(贺州中考)如图，下列两个角是同旁内角的是( )
A.∠1与∠2
B.∠1与∠3
C.∠1与∠4
D.∠2与∠4
B
知识点二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
3.如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD。若要使AB∥CD，则需要添加的条件是( )
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠3＝∠4 D.∠4＝∠5
D
4.如图，小明利用两个相同的三角尺，分别在三角尺的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据“ ，两直线平行”。
内错角相等
5.如图：
(1)如果∠C＝ ，那么DE∥BC；
(2)如果∠B＋ ＝180°，那么DE∥BC。
∠EAC
∠EAB
6.如图，在A，B两地之间修建一条直线形的公路隧道，在山体一侧的A地测得公路的走向是北偏东80°，即∠α＝80°，点B是隧道的另一端。现要求在A，B两地同时施工，那么在B地公路走向应按∠β＝ 施工。
100°
7.在下面的括号内填上依据。
如图，直线NF与直线HB，CD分别交于点E，F，直线AM与直线HB交于点A，且∠1＝∠4＝105°，∠2＝75°。试说明AM∥NF，AB∥CD。
解：因为∠2＝∠3( )，
∠2＝75°(已知)，
所以∠3＝75°，
因为∠1＝105°(已知)，
对顶角相等
所以∠MAB＝180°－∠1＝75°，
所以∠MAB＝∠3，
所以AM∥NF( )。
因为∠3＝75°，∠4＝105°，
所以∠3＋∠4＝180°，
所以AB∥CD( )。
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
8.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，试问AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD，
理由：因为∠1＝∠ABD，∠2＝∠CDB，
所以∠1＋∠2＝(∠ABD＋∠CDB)＝ 90°，
所以∠ABD＋∠CDB ＝180°，
所以AB∥CD。
9.如图，下列说法中正确的是( )
A.∠5和∠6是同位角
B.∠1和∠6是同旁内角
C.图中没有内错角
D.∠1的同位角有∠2，∠HEF，∠KEF
D
10.如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加条件是
。
∠BAC＝90°(答案不唯一)
11.看图填空，并在括号内注明依据。
如图，AB⊥AC，EF⊥AC，∠DEF＋∠D＝180°，试说明AB∥CD。
解：因为AB⊥AC，EF⊥AC，
所以 ∥ ( )，
因为∠DEF＋∠D＝180°，
所以 ∥ ( )，
所以AB∥CD( )。
AB
EF
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行
EF
CD
同旁内角互补，两直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
12.如图，已知CB平分∠ACD，且∠1＝∠2，试说明 AB∥CD。
解：因为CB平分∠ACD，
所以∠1＝∠BCD，
因为∠1＝∠2，
所以∠2＝∠BCD，
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)。
13.如图，∠1 ∶∠2 ∶∠3＝2 ∶3 ∶4，∠AFE＝60°，∠BDE＝120°，写出图中平行的直线，并说明理由。
解：DE∥AB，EF∥BC。
理由：因为∠1 ∶∠2 ∶∠3＝2 ∶3 ∶4，∠1＋∠2＋∠3＝180°，
所以∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝80°，
因为∠AFE＝60°，∠BDE＝120°，
所以∠AFE＝∠2，
∠BDE＋∠2＝180°，
所以DE∥AB，EF∥BC。
14.如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C(提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF)。
(1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数；
(2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的
路线BC与PA一定平行吗？请说明理由。
解：(1)因为∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，
∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°，
所以∠PAB＝116°。
(2)BC∥PA。
理由：因为∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE，
所以∠PAB＝180°－2∠BAE，
同理可得∠ABC＝180°－2∠ABE，
因为∠BAE＋∠ABE＝90°，
所以∠PAB＋∠ABC＝180°，
所以BC∥PA。(共10张PPT)
小专题(五) 相交线与平行线中的思想方法
类型1：方程思想
1.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB， ∠AOD＝4∠EOD，则∠AOF的度数为 。
120°
2.如图，点O在直线AB上，点E，F，G在直线CD上，AB∥CD，连接OE，OF，OG，其中OE⊥OG，∠OEF＝∠FOG。
(1)试说明：OF⊥AB；
(2)当∠FHB∶∠OFH＝6∶2时，请求出∠DFH的度数。
解：(1)因为OE⊥OG，所以∠EOG＝90°，
所以∠FOG＋∠EOF＝90°，
因为AB∥CD，所以∠OEF＝∠AOE，
因为∠OEF＝∠FOG，
所以∠OEF＝∠FOG＝∠AOE，
所以∠AOF＝∠AOE＋∠EOF＝∠FOG＋∠EOF＝90°，
所以OF⊥AB。
(2)因为∠FHB∶∠OFH＝6∶2，
所以设∠FHB＝6x，∠OFH＝2x，
因为AB∥CD，所以∠CFH＝∠FHB＝6x，
∠CFO＋∠AOF＝180°，
因为∠AOF＝90°，所以∠CFO＝90°，
所以∠CFH＝∠CFO＋∠OFH＝90°＋2x，
所以90°＋2x＝6x，解得x＝22.5°，
所以∠DFH＝180°－∠CFH＝180°－6x＝45°。
类型2：分类讨论思想
3.已知∠ABC＝60°，D为射线BC上的一点，过点D作DE∥AB，M是同一平面内一点，若∠EDM＝30°，则∠BDM的度数是 。
90°或150°
4.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°.将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时， ∠AOM的度数是 。
135°或45°
5.如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD。
(1)若∠BOE∶∠EOC＝1∶4，求∠AOC的度数；
(2)在(1)的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数。
解：(1)因为OB平分∠EOD。
所以∠BOD＝∠BOE＝∠DOE。
因为∠BOE∶∠EOC＝1∶4，
所以∠EOC＝4∠BOE＝4∠BOD。
因为∠EOC＋∠DOE＝180°，
所以4∠BOD＋2∠BOD＝180°，解得∠BOD＝30°。
所以∠AOC＝∠BOD＝30°。
(2)作OF⊥CD，
①当OF在直线AB下方时，∠EOF＝30°；
②当OF′在直线AB上方时，∠EOF′＝150°。
综上所述，∠EOF的度数为30°或150°。
