(共30张PPT)
章末复习与提升
【重难点突破】
重难点一：三角形的边、角的性质
1.用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A.9 cm B.7 cm C.2 cm D.1 cm
B
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，则∠APB的度数为（ ）
A.135° B.125° C.130° D.120°
A
3.如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（ ）
A.1.5
B.3
C.4
D.6
B
4.如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B＝54°，∠C＝90°，则∠ENC的度数为（ ）
A.54°
B.62°
C.72°
D.76°
C
5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点A作AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝46°，则∠BAD的度数为（ ）
A.56°
B.61°
C.66°
D.71°
C
6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AB于点E，若 ∠B＝50°，∠ACE＝20°，则∠ADC的度数是 。
85°
重难点二：三角形中的重要线段
7.(鼓楼区期末)如图，在△ABC中，AD是中线，已知△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB＝3 cm，则AC＝ cm。
8
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E。若∠DBE＝25°，则∠CAB＝ 。
50°
9.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝80°，AD⊥BC于点D，AE平分
∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F。
(1)求∠BAE的度数；
(2)求∠ADF的度数。
解：(1)因为∠B＝46°，∠C＝80°，
所以∠BAC＝54°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝27°。
(2)因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°，
因为∠C＝80°，所以∠DAC＝10°，
因为∠EAC＝27°，
所以∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝17°，
因为DF⊥AE，所以∠AFD＝90°，
所以∠ADF＝90°－∠DAE＝73°。
重难点三：全等三角形
10.如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝24°，∠F＝26°，则∠DEC的度数为（ ）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
A
11.(隆昌市期末)如图，在△ABC和△DEF中，如果AC＝DF，BC＝EF，在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A.∠ACB＝∠F
B.AB＝DE
C.∠A＝∠D
D.AC∥DF
C
12.(辉县市期末)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）
A.75°
B.80°
C.65°
D.95°
C
13.(川汇区期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，BE∥AC，DE交AB于点M。若M是AB边的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形BCDE的面积为（ ）
A.12
B.14
C.24
D.48
C
14.(鹤壁月考)如图，在△ABC中，AB＝BE，AD＝DE，∠A＝80°，则∠CED＝ 。
100°
15.(郾城区期中)如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 。
2
16.(隆昌期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，分别交AB，AD于点E，F，若∠ACB＝80°，∠BCE＝30°，则∠ABC的度数为 。
20°
17.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一直线上，连接BD。
(1)试说明△BAD≌△CAE；
(2)请判断BD，CE有何大小、位置关系，并说明理由。
解：(1)因为∠BAC＝∠DAE＝90°，
所以∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，
所以∠BAD＝∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
所以△BAD≌△CAE(SAS)。
(2)BD＝CE，BD⊥CE。
理由：由(1)知△BAD≌△CAE，所以BD＝CE，
所以∠ABD＝∠ACE，
因为∠ABD＋∠DBC＝45°，
所以∠ACE＋∠DBC＝45°，
所以∠DBC＋∠DCB＝∠DBC＋∠ACE＋∠ACB＝90°，
所以∠BDC＝90°。则BD⊥CE。
重难点四：利用尺规作三角形
18.如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a。
解：如图，△ABC 即为所求(作法不唯一)。
重难点五：利用三角形全等测距离
19.如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是60 cm，当小明从水平位置CD上升 15 cm 时，这时小红离地面的高度是（ ）
A.35 cm
B.40 cm
C.45 cm
D.50 cm
C
20.(贵州期末)如图是一个三角形支架，要检查底角大小是否相等，由于不方便测量，小王想了一个办法，在AB，AC上量得BD＝CF，在BC上量得E，G为BC的三等分点，同时量得△BDE和△CFG的周长相等，然后小王得出底角相等的结论，他的说法正确吗？
解：他的说法正确，
理由：因为BD＝CF，
BE＝CG，BD＋BE＋DE＝CF＋CG＋FG，
所以DE＝FG，
易证△BDE≌△CFG(SSS)，
所以∠B＝∠C。
【综合提升】
21.如图，等边三角形ABC(三个角都为60°)中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点。连接BE，AF，G是线段BE的中点，BN∥AC，BN 与
AG的延长线交于点N。
(1)若∠BAN＝15°，求∠N的度数；
(2)若AE＝CF，试说明：2AG＝AF。
解：(1)因为△ABC 是等边三角形，所以∠BAC＝60°。
因为∠BAN＝15°，所以∠CAN＝60°－15°＝45°，
因为 AC∥BN，所以∠N＝∠CAN＝45°。
(2)因为AC∥BN，所以∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，
又因为G 是线段 BE 的中点，所以 BG＝EG，所以△NBG≌△AEG(AAS)，
所以AG＝NG，AE＝BN，
因为AE＝CF，所以 BN＝CF，
因为∠ACB＝∠BAC＝60°，所以∠ACF＝180°－∠ACB＝120°，
∠ABN＝180°－∠BAC＝120°，所以∠ABN＝∠ACF，
又因为 AB＝AC，所以△ABN≌△ACF(SAS)，
所以 AF＝AN。因为AG＝NG＝AN，所以 2AG＝AF。(共13张PPT)
小专题(七) 三角形的高与中线
一、利用三角形的高求值或证明
1.如图，在△ABC中，∠ABC为钝角。
(1)画出△ABC的高AD和BE；
(2)若AC＝10，BC＝6，BE＝3。求AD的长。
解：(1)如图所示。
(2)因为S△ABC＝AC·BE＝BC·AD，
AC＝10，BC＝6，BE＝3，
所以10×3＝6AD，所以AD＝5。
2.如图，BE是△ABC的高。
(1)如图①，AD⊥BC于点D。若AC＝6, BC＝3，试说明：AD＝2BE；
(2)如图②，D为BC边上一点， DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。若AB＝AC.试说明：DM＋DN＝BE。
解：(1)因为S△ABC＝BC·AD＝AC·BE，
AC＝6，BC＝3，所以×3AD＝×6BE，
所以AD＝2BE。
(2)连接AD。
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以AC·BE＝AB·DM＋AC·DN，
因为AB＝AC，
所以AC·BE＝AC·DM＋AC·DN，
所以DM＋DN＝BE。
二、利用三角形的中线求值
3.(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，中线AD将△ABC的周长分成的两个部分的差为2，求AB的长；
(2)如图②，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是BC的中点，点E在边AB上，△BDE与四边形ACDE的周长相等，求AE的长。
解：(1)依题意，得(AB＋BD)－(AC＋CD)＝2，
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD，
所以AB－AC＝2，因为AB＝AC，
所以AC＝2，AC＝4，所以AB＝×4＝6。
(2)因为△BDE与四边形ACDE的周长相等，
所以BD＋DE＋BE＝AC＋AE＋CD＋DE，
因为BD＝DC，所以BE＝AE＋AC，设AE＝x，
则BE＝10－x，所以10－x＝x＋6。
解得x＝2，所以AE＝2。
4.如图，BD是△ABC的中线，E是BC上一点，BE＝2CE，AE，BD交于 点F，连接DE，S△ABC＝12。
(1)求S△BDE的值；
(2)求S△ABF－S△DEF的值。
解：(1)因为BD是△ABC的中线，
所以S△ABD＝S△CBD＝S△ABC＝6。
因为BE＝2CE，所以S△BDE＝2S△CDE，
所以S△BDE＝S△CBD＝×6＝4。
(2)S△ABF－S△DEF
＝S△ABF＋S△BEF－(S△DEF＋S△BEF)
＝S△ABE－S△BDE
＝S△ABC－4
＝4。(共21张PPT)
4.2 全等三角形
知识点：全等三角形
1.下列说法中正确的是（ ）
A.全等三角形是指形状相同的三角形
B.全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.全等三角形的周长和面积相等
D.所有等边三角形都是全等三角形
C
2.如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D 是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC的值为（ ）
A.4
B.6
C.5
D.无法确定
A
3.已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝50°，则∠F的度数为（ ）
A.30°
B.50°
C.80°
D.100°
B
4.如图，△ABC≌△CDA，则下列结论中错误的是（ ）
A.∠1＝∠2
B.∠ACB＝∠DAC
C.AB＝AD
D.∠B＝∠D
C
5.如图，沿直线BD对折，△ABD和△CBD重合，则△ABD≌ ，AB的对应边是 ，BD的对应边是 ，∠ADB的对应角是 。
△CBD
CB
BD
∠CDB
6.如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，那么AC的长为 。
5
7.如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并说明理由。
解：AD∥BC，
理由：因为△ADF≌△CBE，
所以∠ADF＝∠CBE，
所以∠ADB＝∠CBD，
所以AD∥BC。
8.如图，已知△ABC≌△DEF，BC＝4 cm，△ABC的面积为20 cm2，求EF边上的高。
解：过点D作DN⊥EF于点N，
因为△ABC≌△DEF，BC＝4，
△ABC的面积为20，
所以EF＝BC＝4，△DEF的面积为20，
所以EF·DN＝20，即×4DN＝20，
所以DN＝10 cm，
所以EF边上的高为10 cm。
9.如图，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为MN。若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为（ ）
A.12
B.13
C.14
D.15
A
10.如图，已知△ABC≌△ADC，延长DA交BC于点E，若∠BAE＝70°，则∠DAC的度数为 。
125°
11.已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个三角形三边的长分别为3，3a－2b，a＋2b，则a＋b＝ 。
4或5
12.如图，AD与BC相交于点O，已知△AOB≌△COD，BC＋CD＝4，求△AOB的周长。
解：因为△AOB≌△COD，
所以OA＝OC，
AB＝CD(全等三角形的对应边相等)。
又因为BC＋CD＝4，
所以OC＋BO＋CD＝OA＋BO＋AB＝4，
即△AOB的周长为4。
13.如图，已知△ACD≌△BCE，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在AC上，连接BE并延长交AD于点F。
(1)试说明BF⊥AD；
(2)若点F为线段AD的中点，△ABF的面积为10，
△ACD的面积为6，则四边形CEFD的面积为 。
4
解：(1)因为△ACD≌△BCE，
所以∠CAD＝∠CBE，
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＝90°，
因为∠CAD＋∠ADC＝90°，
所以∠CBE＋∠ADC＝90°，
所以∠BFD＝90°，即BF⊥AD。
14.如图，已知Rt△ABC≌Rt△EDA，∠ACB＝∠EAD＝90°，点C在AD上，DE与BC交于点F。
【探究】
(1)已知∠BAC＝54°，求∠D和∠BFD的度数；
(2)线段AE，CD与BC之间有什么数量关系？请说明理由；
【运用】
(3)若BC＝6，AE＝4，则CD＝ 。
2
解：(1)在Rt△ABC中，
∠BAC＝54°，
所以∠ABC＝36°，
因为Rt△ABC≌Rt△EDA，
所以∠D＝∠ABC＝36°，
∠DFC＝180°－∠DCB－∠D＝54°，
所以∠BFD＝180°－∠DFC＝126°。
(2)BC＝AE＋CD，
理由：因为Rt△ABC≌Rt△EDA，
所以AC＝AE，BC＝AD。
因为AD＝AC＋CD，
所以BC＝AE＋CD。(共24张PPT)
小专题(十二) 全等三角形的基本模型
模型一：平移模型
【模型展示】
沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE＝CF)。
1.(常州中考)如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD。
(1)试说明∠E＝∠F；
(2)若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数。
解：(1)因为EA∥FB，
所以∠A＝∠FBD，
因为AB＝CD，
所以AB＋BC＝CD＋BC，
即AC＝BD，因为EA＝FB，
所以△EAC≌△FBD(SAS)，所以∠E＝∠F。
(2)因为△EAC≌△FBD，
所以∠ECA＝∠D＝80°，
因为∠A＝40°，所以∠E＝60°。
模型二：对称模型
【模型展示】
有公共边：
有公共顶点：
所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合。
2.(卢龙县期末)如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠C＝∠E＝90°，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G。
(1)试说明△ABC≌△ADE；
(2)若AB＝11，AG＝6，求DG的长。
解：(1)因为∠CAD＝∠EAB，
所以∠CAD＋∠BAD＝∠EAB＋∠DAB，
即∠CAB＝∠EAD。
又因为AC＝AE，
∠C＝∠E＝90°，
所以△ABC≌△ADE(ASA)。
(2)因为△ABC≌△ADE，所以AB＝AD＝11，
因为AG＝6，所以DG＝AD－AG＝5。
模型三：旋转模型
【模型展示】
绕公共顶点旋转可得两个三角形重合。
3. 如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N。试说明AE＝CD。
解：因为∠ABC＝∠DBE，
所以∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
所以△ABE≌△CBD(SAS)，
所以AE＝CD。
模型四：一线三垂直模型
【模型展示】
已知A，B，C三点共线，且∠1＝∠2＝∠3＝90°。
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作AE的垂线CF，垂足为F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D。
(1)试说明AE＝CD；
(2)AC＝14 cm，求BD的长。
解：(1)因为DB⊥BC，CF⊥AE，
所以∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°，
所以∠D＝∠AEC，
又因为∠DBC＝∠ECA＝90°，
且BC＝CA，
所以△DBC≌△ECA(AAS)，
所以AE＝CD。
(2)由(1)得AE＝CD，AC＝BC，BD＝EC，
因为AE是BC边上的中线，所以BE＝EC，
因为AC＝14 cm，
所以BD＝EC＝AC＝7 cm。
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，试说明DE＝AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试说明DE＝AD－BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明。
解：(1)易得△ACD≌△CBE，
所以DC＝BE，AD＝CE，
所以DE＝DC＋CE＝AD＋BE。
(2)解法同(1)。
(3)DE＝BE－AD。解法同(1)。
模型五：一线三等角模型
【模型展示】
(1)点P在线段AB上：
(2)点P在线段AB的延长线上：
已知A，P，B三点共线，且∠1＝∠2＝∠3。
6.如图，A，E，C在一条直线上，B，F是直线AC的同侧两点，且∠A＝∠BEF＝∠C，AB＝CE。试说明AE＝FC。
解：因为∠A＋∠B＝180°－∠AEB，
∠BEF＋∠CEF＝180°－∠AEB，
且∠A＝∠BEF，
所以∠B＝∠FEC，
因为∠A＝∠C，AB＝CE，
所以△ABE≌△CEF(ASA)，
所以AE＝FC。(共23张PPT)
第3课时 三角形的高、中线和角平分线
知识点一：三角形的高
1.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( )
D
2.如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
A
3.如图，作出△ABC边AB上的高，△DEF边DF上的高。
解：所画高如图所示。
4.如图，在△ABC中，CD是高，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10.求CD的长。
解：因为CD 是△ABC的高，
所以S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
因为AC＝8，BC＝6，AB＝10，
所以CD＝＝＝。
知识点二：三角形的中线
5.如图，AD是△ABC的中线，则点D是
线段 的中点，BD＝CD＝ ，
S△ABD＝ ＝ 。
BC
BC
S△ACD
S△ABC
6.已知三角形的三条中线交于一点，有下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心。其中正确的结论是 。(选填序号)
①③
知识点三：三角形的角平分线
7.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（ ）
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3＝∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
D
8.如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线。若∠BAC＝ 80°，则∠EAD的度数为（ ）
A.30°
B.45°
C.20°
D.60°
C
9.(教材P94T14变式)如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求∠BED的度数。
解：因为∠BDC＝95°，
所以∠BDA＝85°，
因为∠A＝60°，
所以∠ABD＝180°－(∠A＋∠BDA)＝35°，
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABC＝2∠ABD＝70°。
又因为DE∥BC，
所以∠BED＝180°－∠ABC＝110°。
10.(核心素养·推理能力)如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图(折叠后点C落到点C′处)。
(1)甲折出的AD是△ABC的 ；
(2)乙折出的AD是△ABC的 ；
(3)丙折出的AD是△ABC的 。
高
角平分线
中线
11.(核心素养·几何直观)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是点 。
D
12.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 cm2。
1
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD是△ABC的角平分线，CE⊥
AD于点E，若∠BAC＝60°。
(1)求∠ACB的度数；
解：因为∠BAC＝60°，
∠ACB＋∠B＋∠BAC＝180°，
所以∠ACB＋∠B＝120°，
因为∠ACB＝3∠B，
所以∠B＝30°，∠ACB＝90°。
(2)求∠DCE的度数。
解：因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠CAD＝∠BAC＝30°，因为CE⊥AD，
所以∠ACE＝90°－∠CAD＝60°，
所以∠DCE＝∠ACB－∠ACE＝30°。
14.如图，在△ABC中(AB＞AC)，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线.
(1)若DE＝4，BC的长为 ；
(2)若△ABC的周长为37，BC＝12，
且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长。
16
解：(2)因为AD是△ABC 的中线，所以BD＝DC，
因为△ABD与△ACD 的周长差为3，
所以(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝3，
所以AB－AC＝3，
因为△ABC 的周长为37，BC＝12，
所以AB＋AC＝37－12＝25，
所以AC＋3＋AC＝25，所以AC＝11。
微专题2：与三角形中线有关的面积问题
【方法指导】如图，在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积与△ACD的面积相等(等底同高)。
【针对训练】
1.如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是12，则△ABE的面积是 。
3
2.如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，EC＝3BE，D是边AC的中点.设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF－S△BEF＝ 。
6
【解析】S△AEC＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC，S△AEC－S△BCD＝（S△ADF+S四边形ECDF）－（S△BEF+S四边形ECDF）＝S△ADF－S△BEF。(共20张PPT)
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第1课时 三角形的内角和
知识点一：三角形的有关概念
1.如图是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )
C
2.如图，以CD为公共边的三角形有 ， ；∠EFB是 1的内角，在△BCE中，BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；以∠A为公共角的三角形有 。
△CDF
△CDB
△EFB
∠ECB
EC
△ADB，△AEC，△ABC
知识点二：三角形的内角和
3.一个缺角的△ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为( )
A.75° B.60°
C.45° D.40°
C
4.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠B的度数为( )
A.45°
B.60°
C.75°
D.80°
B
5. 已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A＋40°，则∠A的度数为 。
35°
知识点三：三角形按角的大小分类
6.已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝∠C，那么△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
A
7.观察如图所示的四个三角形。
锐角三角形是 ，直角三角形是 ，钝角三角形是 。(均选填序号)
③
①④
②
知识点四：直角三角形中的锐角关系
8.如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是( )
A.35° B.55°
C.60° D.70°
D
9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为( )
A.38°
B.39°
C.51°
D.52°
C
10.若△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C 满足关系式∠B＋∠C＝∠A，则此三角形( )
A.一定是直角三角形
B.一定是钝角三角形
C.一定有一个内角为45°
D.一定有一个内角为60°
A
11.在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A＝90°－∠C
B.∠A＝∠B－∠C
C.∠A＝2∠B＝3∠C
D.∠A＝∠B＝∠C
C
12.如图，在△ABC中，若∠A＝50°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为( )
A.130°
B.260°
C.180°
D.310°
B
13. 如图，在△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处.如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为( )
A.35°
B.40°
C.45°
D.50°
B
14.已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点。在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 。
60°或90°
15.如图，∠B＝42°，∠1＝∠2＋10°，∠ACD＝64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E。
(1)判断BF与CD的位置关系，并说明理由；
(2)求∠3的度数。
解：(1)BF∥CD。
理由：因为∠B＝42°，
∠1＝∠2＋10°，
所以42°＋∠2＋∠2＋10°＝180°，所以∠2＝64°。
又因为∠ACD＝64°，
所以∠2＝∠ACD，所以BF∥CD。
(2)因为∠ACD＝64°，CE平分∠ACD，
所以∠DCE＝32°，
由(1)知BF∥CD，
所以∠3＝180°－∠DCE＝148°。
16.将三角尺(△MPN，∠MPN＝90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内)，如图①，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C，研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系。
(1)特例探究：若∠A＝50°，则∠PBC＋∠PCB＝ °，∠ABP＋∠ACP＝ °；
(2)类比探究：∠ABP，∠ACP，∠A的关系是
；
(3)变式探究：如图②，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，探究∠ABP，∠ACP，∠A的关系：
。
90
40
∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A
∠ACP－∠ABP＝90°－∠A(共21张PPT)
第2课时 三角形的三边关系
知识点一：三角形按边分类
1.三角形按边分类可以用集合来表示，如图，图中小圆里表示的是( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
D
2.(昭平县期中)以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是( )
A.2，2，3
B.3，3，3
C.3，4，5
D.3，4，4
B
3.△ABC的三边a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，
则△ABC的形状是 。
等边三角形
4.等腰三角形ABC的周长为20 cm，底边AC＝4 cm，求腰长。
解：由题意知
AB＝BC＝×(20－4)＝8(cm)，
即腰长为8 cm。
知识点二：三角形的三边关系
5.下列每组数据分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( )
A.3 cm，4 cm，8 cm
B.8 cm，7 cm，15 cm
C.5 cm，5 cm，11 cm
D.13 cm，12 cm，20 cm
D
6.已知从小杨家到书店的直线距离是5 km，从小李家到书店的直线距离是3 km，那么小杨、小李两家的直线距离不可能是( )
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
A
7.等腰三角形的两边长分别为3，7，则其腰长为( )
A.6 B.3或7 C.3 D.7
【变式】已知等腰三角形的一边长为6 cm，另一边长为7 cm，该等腰三角形的周长为 。
D
19 cm或20 cm
8.如图，在△ABC的边AB上截取AD＝AC，连接CD。
(1)试说明2AD>CD；
(2)试说明BD
解：(1)在△ACD中，
AD＋AC>CD，
因为AD＝AC，所以2AD>CD。
(2)因为BC＋AC>AB，所以BC＋AC>AD＋BD，
因为AC＝AD，所以BD＜BC。
9.已知一个三角形的一边长为 9 cm，另一边的长为3 cm，第三边的长为x cm。
(1)求x的取值范围；
(2)当第三边的长为偶数时，求该三角形的周长；
(3)若第三边是最长的边，则x的取值范围为 。
9≤x<12
解：(1)因为三角形的一边长为9 cm，另一边的长为3 cm，
所以9－3(2)因为第三边的长为偶数，且6所以x＝8或10，
所以三角形的周长为20 cm或22 cm。
10.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝的距离的最大值为 。
7
11.如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中共有 个等腰三角形，有 个等边三角形。
4
1
12.已知a，b，c为△ABC的三边长。
(1)b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|a－4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状；
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值。
解：(1)因为(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以b－2＝0，c－3＝0，解得b＝2，c＝3，
因为a为方程|a－4|＝2的解，
所以a－4＝±2，解得a＝6或2，
因为 b＋c<6，所以a＝2，
所以△ABC 的周长为2＋2＋3＝7，
△ABC是等腰三角形。
(2)因为a＝5，b＝2，c为整数，
所以5－2所以c 的最小值为4，c的最大值为6，
所以△ABC 的周长的最大值为5＋2＋6＝13，
最小值为5＋2＋4＝11。
13.已知等腰三角形ABC的周长是20 cm。
(1)如果腰长比底边长大1 cm，求各边的长；
(2)如果一边长为5 cm，求另两边的长。
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为(x＋1)cm，
由题意得2(x＋1)＋x＝20，解得x＝6，
则△ABC的三边长分别为7 cm，7 cm，6 cm。
(2)若底边长为5 cm，设腰长为x cm，根据题意，得5＋2x＝20，
解得x＝7.5；
若腰长为5 cm，设底边长为y cm，根据题意，得
5×2＋y＝20，解得y＝10，
由于5＋5＝10，所以腰长不可能为5 cm。
综上所述，△ABC另两边的长都是7.5 cm。
14.(1)如图①，由三角形两边的和大于第三边，得AB＋AD> ，PD＋CD> .将不等式左边、右边分别相加，得AB＋AD＋PD＋CD>
，即AB＋AC> ；
(2)请利用图②，过点P作直线交AB，
AC于点M，N，试说明AB＋AC>PB＋PC。
BD
PC
BD＋PC
BP＋PC
解：(2)在△AMN中，AM＋AN>MN，
在△MPB中，MP＋MB>PB，
在△NPC中，NP＋NC>PC，
将三个不等式左边、右边分别相加，
得AM＋AN＋MP＋MB＋NP＋NC>MP＋NP＋PB＋PC，
即AB＋AC>PB＋PC。(共12张PPT)
小专题(八) 双角平分线夹角模型
模型1：双内角平分线夹角
条件：BP平分∠ABC，
CP平分∠ACB。
结论：∠P＝90°＋∠A。
模型2：双外角平分线夹角
条件：BP平分∠DBC，
CP平分∠BCE。
结论：∠P＝90°－∠A。
模型3：一内一外角平分线夹角
条件：BP平分∠ABC，
CP平分∠ACD。
结论：∠P＝∠A。
1.如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE平分∠BCD交BD于点E，探究∠CED与∠A的数量关系。
解：因为∠EBC＋∠ECB
＝(∠ABC＋∠ACB)
＝(180°－∠A)
＝90°－∠A，
所以∠CED＝∠EBC＋∠ECB＝90°－∠A。
2.如图，∠ABC＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠D的度数。
解：因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋180°－∠B＝360°，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋∠B。
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠2＋∠3＝(180°＋∠B)＝90°＋∠B，
所以∠D＝180°－(∠2＋∠3)＝180°－＝90°－×90°＝45°。
3.如图，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠D的度数。
解：因为∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠A，∠3＝∠4，∠1＝∠2.
所以2∠4＝2∠2＋∠A，
所以∠4＝∠2＋∠A，
因为∠4＝∠D＋∠2，
所以∠D＝∠4－∠2＝∠A＝45°。
4.如图，在△ABC中，BE是角平分线，CF平分外角∠BCD，BF⊥CF于点F，若∠A＝62°，求∠EBF的度数。
解：延长BE，FC交于点H，
因为∠H＝∠BCF－∠EBC＝∠BCD－∠ABC
＝(∠BCD－∠ABC)＝(∠A＋∠ABC－∠ABC)＝∠A＝31°，
所以∠EBF＝90°－∠H＝59°。(共18张PPT)
第4课时 全等三角形的性质与判定的综合
知识点一：判定三角形全等的条件
1.下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是( )
A.AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′
B.AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
C.AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′
D.∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
D
2.如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( )
A.∠A＝∠C
B.∠D＝∠B
C.AD∥BC
D.DF∥BE
B
3.如图，已知∠3＝∠4，要判定△ABC≌△DCB。
(1)若以“SAS”为依据，则需添加的条件是 ；
(2)若以“AAS”为依据，则需添加的条件是 ；
(3)若以“ASA”为依据，则需添加的条件是 。
AC＝DB
∠5＝∠6
∠ABC＝∠DCB(或∠1＝∠2)
知识点二：选择适当的方法判定两个三角形全等
4.如图，已知OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB的度数是 。
60°
5.(条件开放性问题)如图，AC，BD相交于点E，在下列四个条件中：①AB＝DC；②BE＝CE；③∠B＝∠C；④∠BAE＝∠CDE。请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形(写出一个即可)，并加以说明。
已知： 。
试说明△AED是等腰三角形。
①③(或①④或②③或②④)
解：在△AEB和△DEC中，
所以△AEB≌△DEC(AAS)，
所以AE＝DE，
所以△AED是等腰三角形。
6.如图，AB＝CD，BC＝DA，E，F分别是AC上的两点，且AE＝CF，试说明：BF＝DE。
解：在△ABC和△CDA中，
所以△ABC≌△CDA(SSS)，所以∠1＝∠2，
在△BCF和△DAE中，
所以△BCF≌△DAE(SAS)，所以BF＝DE。
7.如图，AD＝AE，BE＝CD，∠ADB＝∠AEC＝100°，∠BAE＝70°，下列结论中错误的是( )
A.△ABE≌△ACD
B.△ABD≌△ACE
C.∠DAE＝40°
D.∠C＝30°
C
8.如图，AB＝AC，AD，BE，CF分别是三边上的高，交于点H，则图中全等三角形共( )
A.3对
B.4对
C.6对
D.7对
D
9.如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O。
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
(2)试说明：AD与BE互相平分。
解：(1)因为FB＝CE，所以 BC＝EF，
又因为AB∥ED，AC∥FD，所以∠ABC＝∠DEF，
∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(ASA)。
(2)由(1)知△ABC≌△DEF，所以AB＝DE，
在△AOB 和△DOE中，
所以△AOB≌△DOE(AAS)，
所以OA＝OD，OB＝OE，
所以AD与BE互相平分。
10.如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F。试说明：DE＝DF。
解：连接AD。在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠DAC＝∠DAB，
因为DF⊥AC，DE⊥AB，所以∠F＝∠E＝90°，
在△ADF与△ADE中，
所以△ADF≌△ADE(AAS)，所以DE＝DF。
11.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，AC⊥CE，DE交CE于点E，试说明：AD＝DE。
解：在AB上取一点F，使BF＝BD，连接DF。
因为∠ABC＝90°，
所以△BFD是等腰直角三角形，
所以∠BFD＝45°，
……
请将此过程补充完整。
解：过程补充完整如下：所以∠AFD＝135°，
因为△ABC是等腰直角三角形，AC⊥CE，
所以∠DCE＝135°，所以∠AFD＝∠DCE，
因为∠ABC＝∠ADE＝90°，
所以∠BAD＋∠ADB＝∠ADB＋∠CDE＝90°，所以∠BAD＝∠CDE，
因为AB＝BC，BF＝BD，所以AF＝DC，
所以△AFD≌△DCE(ASA)，所以AD＝DE。(共22张PPT)
第3课时 边角边
知识点一：三角形全等的条件——“SAS”
1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE＝AF，可用“SAS”判断全等的是( )
A.△ABD和△ACD
B.△BDE和△CDF
C.△ADE和△ADF
D.△ABD和△ABC
C
2.如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点E在AD上，则图中全等三角形共有( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAD＝∠CAD，若BD＝3，则 △ABC的周长为 。
16
4.(红塔区期末)如图，∠ABE＝∠CBD，AB＝EB，CB＝DB。试说明： AD＝EC。
解：因为∠ABE＝∠CBD，
所以∠ABE＋∠EBD＝∠CBD＋∠EBD，
即∠ABD＝∠EBC，
又因为AB＝EB，BD＝BC，
所以△ABD≌△EBC(SAS)，所以AD＝EC。
5.如图，BC∥EF，AD＝BE，BC＝EF。试说明△ABC≌△DEF。
解：因为AD＝BE，
所以AB＝DE，
因为BC∥EF，
所以∠ABC＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，∠ABC＝∠E，BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF(SAS)。
6.如图，点E在AB上，点F在AC上，且AE＝AF，AB＝AC，BF＝5，
DE＝1，求CD的长。
解：在△BAF和△CAE中，
所以△BAF≌△CAE(SAS)，所以BF＝CE，
因为BF＝5，DE＝1，
所以CD＝CE－DE＝BF－DE＝4。
知识点二：已知两边及其夹角作三角形
7.如图，已知∠α和线段b，请用尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)。
求作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝AC＝b。
解：如图，∠A＝∠α，AB＝AC＝b，△ABC即为所求。
8.如图，在正方形组成的网格中，A，B，C，D，E，F均在格点上，连接AB，CD，则∠1＋∠2的度数为( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.100°
C
9.如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK。若∠MKN＝40°，则∠P的度数为 。
100°
10.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 。
7
11.如图，在△ABC中，D是AC上一点，AD＝AB，过点D作DE∥AB，且DE＝AC。
(1)试说明△ABC≌△DAE；
(2)若D是AC的中点，△ABC的面积是20，
求△AEC的面积。
解：(1)因为DE∥AB，所以∠BAC＝∠ADE，
在△ABC和△DAE中，
所以△ABC≌△DAE(SAS)。
(2)因为△ABC≌△DAE，
所以S△ABC＝S△DAE＝20，
因为D是AC的中点，
所以S△AEC＝2S△DAE＝2×20＝40。
12.【注重类比探究】阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求 BC边上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
B
(2)AD的取值范围是( )
A.6C.1感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形。
C
问题解决：
(3)如图②，已知CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，∠ABD＋∠BAD＝∠ADC，AE 是△ABD的中线，试说明：AC＝2AE。
解：(3)延长 AE 至F，使EF＝AE，连接 BF。
因为 AE 是△ABD 的中线，所以 BE＝DE。
所以△ADE≌△FBE(SAS)。
所以 BF＝DA，∠FBE＝∠ADE。
因为∠ABF＝∠ABD＋∠FBE，
所以∠ABF＝∠ABD＋∠ADB
＝∠ABD＋∠BAD＝∠ADC。
所以△ABF≌△CDA(SAS)，所以 AC＝AF，
因为AF＝2AE，所以AC＝2AE。(共23张PPT)
4.3 探索三角形全等的条件
第1课时 边边边
知识点一：三角形全等的条件——“SSS”
1.下列三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
C
2.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出（ ）
A.△ABD≌△BCD
B.△ACD≌△BCD
C.△ABD≌△ACD
D.△ACE≌△BDE
C
3.在△ABC和△DEF中，AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝3，EF＝4，要使△ABC与△DEF全等，则DF的长为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.13
C
4.如图，AB＝AE，AC＝AD，只要 (添加一个条件即可)，就可得△ABC≌△AED。
BC＝ED
5.如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE。
(1)若BC＝18 cm，则FE＝ cm；
(2)若∠B＝50°，∠D＝100°，则∠EFD＝ 。
18
30°
6.如图，已知AD＝BC，BD＝AC。试说明∠ADB＝∠BCA。
解：在△ADB和△BCA中，
所以△ADB≌△BCA(SSS)，
所以∠ADB＝∠BCA。
知识点二：已知三边作三角形
7.已知：线段a，b。求作：等腰三角形，使它的腰长为a，底长为b。
解：如图，△ABC即为所求。
知识点三：三角形的稳定性
8.下列不是利用三角形稳定性的是( )
A.自行车的三角形车架
B.照相机的三脚架
C.三角形房架
D.伸缩晾衣架
D
9.下列图形中，具有稳定性的是( )
D
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，AM＝AN，BN＝CM,若∠AMB＝126°，则∠MAN的度数为( )
A.45°
B.54°
C.60°
D.72°
D
11.(易错题)在如图所示的6×5的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边BC且全等的格点三角形有 个。
3
12.如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD。若∠B＝65°，则∠ADC的度数为 。
65°
13.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E三点在一条直线上。
(1)试说明∠BAC＝∠DAE；
(2)试说明∠3＝∠1＋∠2。
解：(1)在△ABD和△ACE中，
所以△ABD≌△ACE(SSS)，
所以∠BAD＝∠1，所以∠BAC＝∠DAE。
(2)由(1)知△ABD≌△ACE，
所以∠2＝∠ABD，∠1＝∠BAD，
∠1＋∠2＝180°－∠ADB，
∠3＝180°－∠ADB，
所以∠3＝∠1＋∠2。
14.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为边AC，BC上一点，连接BD，DE。已知AB＝BE，AD＝DE。
(1)试说明BD平分∠ABC；
(2)若∠CDE＝20°，求∠A的度数。
解：(1)在△ABD和△EBD中，
所以△ABD≌△EBD(SSS)，
所以∠ABD＝∠EBD，
所以BD平分∠ABC。
(2)由(1)知△ABD≌△EBD，
∠ABD＝∠EBD＝45°，
所以∠ADB＝∠EDB＝(180°－∠CDE)＝80°，
所以∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝55°。
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD。
(1)请写出两个正确的结论：
① ；
② ；
(2)若∠BAD＝50°，求∠B的度数。
BD＝CD
∠B＝∠C(答案不唯一)
解：(2)因为D为BC的中点，所以BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(SSS)，
所以∠ADB＝∠ADC，
又因为∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝90°，
在△ABD中，∠B＝180°－∠BAD－∠ADB＝40°。(共10张PPT)
问题解决策略：特殊化
1.【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在△ABC中，D是边AB上任意一点，作射线DC，点M，N分别在线段AC，BC上，将△ABC折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，点E，F均在射线DC上，折痕分别为DM和DN。设∠CME＝α，∠CNF＝β。
【问题探究】当点E，F均在线段DC上时，试求α，β与∠ACB之间的数量关系。(不必作答)
【问题解决】
(1)经过讨论，小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令∠ADC＝∠BDC＝90°，若点E恰好与点C重合，此时∠A＝45°，若点F在线段DC上，当∠B＝65°时，β＝ ；
40°
(2)合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和折叠的性质解决该问题，如图①，当点E，F均在线段DC上时，试说明α＋β＝180°－2∠ACB。
解：(2)因为∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，
所以∠A＋∠B＝180°－∠ACB，所以∠MEC＝180°－(∠ACD＋α)，
所以∠MED＝∠ACD＋α，所以α＝∠MED－∠ACD，
又由折叠可知，∠MED＝∠A，
所以α＝∠A－∠ACD，同理β＝∠B－∠BCD，
所以α＋β＝∠A＋∠B－∠ACD－∠BCD＝180°－∠ACB－∠ACB，
即α＋β＝180°－2∠ACB。
2.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF。
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时。
①BC与CF的位置关系为________；
②BC，CD，CF之间的数量关系为______；
(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予说明；若不成立，请写出正确结论再给予说明。
解：(1)①BC⊥CF。②BC＝CD＋CF。
(2)BC⊥CF成立，BC＝CD＋CF不成立，
正确结论为CD＝BC＋CF。
正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
所以∠BAC＝∠DAF＝90°，所以∠BAD＝∠CAF，
因为AB＝AC，所以△DAB≌△FAC(SAS)，
所以∠ADB＝∠AFC，DB＝CF，
因为∠1＋∠ADB＝90°，∠1＝∠2，
所以∠2＋∠AFC＝90°，
所以BC⊥CF，
因为CD＝BC＋DB，DB＝CF，
所以CD＝BC＋CF。