(共23张PPT)
小专题(十三) 等腰三角形中辅助线的做法
类型一：利用“三线合一”作辅助线
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，且AD＝AE。试说明：BD＝CE。
解：过点A作AH⊥BC交BC于点H，则AH⊥DE。
因为AB＝AC，AH⊥BC，
所以BH＝CH。
因为AD＝AE，AH⊥DE，
所以DH＝EH。
所以BH－DH＝CH－EH。
即BD＝CE。
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AC上任意一点，延长BA到点D，使得AD＝AE，连接DE，试说明：DE⊥BC。
解：过点A作AM⊥BC于点M。因为AB＝AC，AM⊥BC。
所以∠BAC＝2∠BAM。
因为AD＝AE，所以∠D＝∠AED，
又因为∠DAE＋∠AED＋∠D＝180°，
∠BAC＋∠DAE＝180°，
所以∠AED＋∠D＝2∠D＝∠BAC，
所以∠BAM＝∠D，所以DE∥AM，
因为AM⊥BC，所以DE⊥BC。
3.如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF。试说明：AF⊥CD。
解：连接AC，AD。
因为AB＝AE，
∠B＝∠E，BC＝ED，
所以△ABC≌△AED(SAS)，
所以AC＝AD，又因为CF＝DF，
所以AF⊥CD。
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，试说明：DE＝DF。
解：连接AD。
因为在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，
因为EF∥BC，所以AD⊥EF，
因为AE＝AF，所以AD垂直平分EF，
所以DE＝DF。
5.如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，说明：EB⊥AB。
解：过点E作EF⊥AC于点F。
因为EA＝EC，
所以AF＝FC＝AC，
因为AC＝2AB，所以AF＝AB，
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，
又因为AE＝AE，所以△ABE≌△AFE(SAS)，
所以∠ABE＝∠AFE＝90°，所以EB⊥AB。
类型二：巧用等腰直角三角形构造全等
6.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，且CE＝BF。试说明：DE＝DF。
解：连接CD，因为AC＝BC，
D是AB的中点，
所以CD平分∠ACB，CD⊥AB，
所以∠CDB＝90°，
因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＝∠ACD＝45°，
所以∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°，
所以∠ACD＝∠B，因为ED⊥DF，
所以∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°，
因为∠CDF＋∠BDF＝90°，
所以∠EDC＝∠BDF，
又因为CE＝BF，所以△ECD≌△FBD(AAS)，
所以DE＝DF。
7.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD。试说明：BD＝2CE。
解：延长BA和CE交于点M，
因为CE⊥BD，
所以∠BEC＝∠BEM＝90°，
因为BD平分∠ABC，
所以∠MBE＝∠CBE，
因为BE＝BE，所以△BME≌△BCE(ASA)，
所以EM＝EC＝MC，
因为△ABC是等腰直角三角形，
所以∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，
所以∠ABD＋∠BDA＝90°，
因为∠BEC＝90°，
所以∠ACM＋∠CDE＝90°，
因为∠BDA＝∠EDC，所以∠ABE＝∠ACM，
所以△ABD≌△ACM(ASA)，
所以DB＝MC，所以BD＝2CE。
类型三：等腰三角形中截长补短或作平行线构造全等
8.如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D，试说明：BC＝AB＋CD。
解：在线段BC 上截取BE＝BA.连接DE。
因为BD平分 ∠ABC，
所以∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，
又因为BD＝BD，所以△ABD≌△EBD(SAS)，
所以∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB，
又因为AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，
所以∠ABD＝∠EBD＝18°，
所以∠ADB＝∠EDB＝180°－∠ABD－∠A＝180°－18°－108°＝54°，
所以∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，
所以∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°，所以∠CDE＝∠DEC，
所以CD＝CE，所以BC＝BE＋EC＝AB＋CD。
9.如图，△ABC中，CA＝CB，∠BCA＝90°，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N。
(1)试说明：∠1＝∠2；
(2)试说明：AE＝CN＋EN。
解：(1)设AE与CN交于点O。
因为∠ACB＝90°，AE⊥CN，
所以∠1＋∠ACO＝90°，
∠2 ＋∠ACO＝90°，
所以∠1＝∠2。
(2)延长CN到M，使得CM＝AE，连接BM。
易证△ACE≌△CBM(SAS)，
所以CE＝BM＝BE，
∠CBM＝∠ACE＝90°，所以∠MBN＝∠NBE，
所以△NBM≌△NBE(SAS)，所以NM＝EN，
所以AE＝CM＝CN＋NM＝CN＋EN。(共11张PPT)
问题解决策略：转化
类型一：利用转化策略解路线问题
1.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，请为牧马人设计出最短的牧马路线。
解：作M关于河与草地所在直线的对称点，
记为M′，M″，连接M′M″交河与草地所在
直线于P和Q，由对称性知，PM＝PM′，QM＝QM″，
所以MP＋PQ＋MQ＝PM′＋PQ＋QM″＝M′M″，
所以MP→PQ→QM即为最短路线。
2.如图，四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上。试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B
解：作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，连接A′B′，分别交HG，FG于点M，N，连接AM，BN，
所以白球A的移动路线为A→M→N→B。
类型二：利用转化策略求面积
3.如图，请把阴影部分进行巧妙转化，则阴影部分的面积为 cm2。
16
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝15 cm，分别以A，C为圆心，以AB的长为半径作圆，从Rt△ABC中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为 cm2。(结果保留π)
(45－9π)
5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AC＝5，分别以A，C为圆心，以AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则阴影部分的面积为 cm2。(结果保留π)
6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以B为圆心，AB长为半径画，分别以AB，CD的中点E，F为圆心，AE，CF的长为半径画弧交于点G，则图中阴影部分面积为 。
4π－8
类型三：利用转化策略解决游戏中的问题
7.两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的非零自然数。把两人报的数累加起来，谁先报到88，谁就获胜。问：先报数者的获胜策略是什么？
解：先报数者可获胜，假设甲先报数，
甲获胜的策略：88÷(1＋8)＝9……7，
甲先报7，则余下数的和为9的倍数，如果乙报m(m＜9)，则甲报(9－m)，
如此反复，直至余下数的和为9后，乙再报某个数后，甲就先报到88，甲就可获胜。
答：先报者可获胜的策略是先报数字7,以后每次报的数与对方合起来是9。 (共21张PPT)
第五章 图形的轴对称
5.1 轴对称及其性质
知识点一：轴对称图形
1.(德宏州期末)在以下运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
D
2.(五华区开学)下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
D
3.下列4个图形中，不是轴对称图形的是 ，对称轴最多的轴对称图形是 。(均选填序号)
③
②
知识点二：两个图形成轴对称
4.如图的4组图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的有（ ）
A.0组 B.1组 C.2组 D.3组
B
5.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A.50°
B.30°
C.100°
D.90°
C
知识点三：轴对称图形的性质
6.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上一点，下列判断中不一定正确的是（ ）
A.AM＝BM
B.AP＝BN
C.∠MAP＝∠MBP
D.∠ANM＝∠BNM
B
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为（ ）
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
A
8.“又是一年三月三，风筝飞满天”。如图是一个燕子形风筝的图案，已知它是轴对称图形，对称轴为AF，则∠AFC的度数为 ，CF与CD的数量关系为 。
90°
CF＝CD
9.(六盘水期末)如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上。
(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数。
E
∠D
3
解：(3)因为∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
所以∠CAE＝78°，
再根据对称性，得
∠EAF＝∠CAF，
所以∠EAF＝∠CAE＝39°。
知识点四：画轴对称图形
10.把下图补成关于直线l对称的轴对称图形。
解：如图所示。
11.如图，画出△ABC关于直线l对称的图形。
解：如图所示。
12.(河北中考)如图，由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）
A.l1
B.l2
C.l3
D.l4
C
13.如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝3.6。若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离不可能是（ ）
A.8
B.7
C.6
D.5
A
14.在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕。
(1)图中与BM相等的线段是 ；
(2)若∠A＝76°，则∠MGE＝ 。
MG
76°
15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M，N分别在边AB，BC上，连接AN，且△AMN和△BMN关于直线MN对称。
(1)若∠B＝40°，求∠CAN的度数；
(2)若BC＝AC，AB＝AC，且△ABC的
周长为36。求△ACN的周长。
解：(1)因为△AMN和△BMN关于直线MN对称，
所以∠B＝∠MAN＝40°，
所以∠BAC＝90°－∠B＝50°，
所以∠CAN＝∠BAC－∠MAN＝10°。
(2)因为△ABC的周长为36，
所以AC＋BC＋AB＝36。因为BC＝AC，AB＝AC，
所以AC＋AC＋AC＝36，
解得AC＝9，所以BC＝12。
因为△AMN和△BMN关于直线MN对称，
所以AN＝BN，
所以△ACN的周长＝AC＋CN＋AN＝AC＋CN＋BN＝AC＋BC＝21。
16.下图是由三个小正方形组成的图形，现再给你一个同样的小正方形拼接在原图形上，使原图形变成一个轴对称图形。请分别画出4种不同的拼接方案，并画出对称轴。
解：如图所示。(共22张PPT)
章末复习与提升
【重难点突破】
重难点一：轴对称图形的识别及其性质
1.(广西中考)端午节是我国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是( )
B
2.(河北中考)如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D。下列结论中不一定正确的是( )
A.AD⊥BC
B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO
D.AC∥BD
A
重难点二：等腰(边)三角形的性质
3.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
4.(兰州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB的度数为( )
A.100°
B.115°
C.130°
D.145°
B
5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( )
A.18
B.9
C.9
D.6
C
6.如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 。
100°
7.如图，△ABC和△ADE是等腰三角形，AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝
60°，∠DAE＝80°。且点D在BC上，DE⊥AC交AC于点F，∠BAD的度数为 。
20°
8.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 。
50°或90°
9.如图，在等边三角形ABC中，D为BC延长线上的一点，E为CA延长线上的一点，且 AE＝CD。试说明：BE＝AD。
解：因为△ABC为等边三角形，
所以AB＝CA，
∠BAC＝∠ACB＝60°，
所以∠EAB＝∠DCA＝120°，
因为AE＝CD，
所以△EAB≌△DCA(SAS)，
所以BE＝AD。
重难点三：线段垂直平分线的性质
10.如图，在△ABC中，分别以B和C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N。作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD。若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为( )
A.25
B.22
C.19
D.18
C
11.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为
CE的中点。
(1)试说明：BE＝AC；
(2)若∠C＝70°，求∠BAC的度数。
解：(1)因为EF垂直平分AB，
所以BE＝AE，
因为AD⊥BC，
D为CE的中点，
所以AD是EC的垂直平分线，
所以AE＝AC，所以BE＝AC。
(2)因为AE＝AC，∠C＝70°，
所以∠AEC＝∠C＝70°，因为BE＝AE，
所以∠B＝∠EAB＝35°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°。
重难点四：角平分线的性质
12.如图 ，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB的度数是( )
A.58°
B.60°
C.61°
D.122°
C
13.如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是( )
A.20
B.25
C.30
D.35
C
【综合提升】
14.数学理解：
(1)如图①，在等边三角形ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广：
(2)如图②，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数。
解：(1)连接AD，
因为AB＝AC，DB＝DC，
所以直线AD是线段BC的垂直平分线，
所以AD平分∠BAC，
因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC＝∠ABC＝60°，
所以∠BAD＝30°，
因为∠BDC＝80°，所以∠DBC＝50°，
所以∠ABD＝10°＝∠CBE，
又因为AB＝BC，BE＝BD，
所以△ABD≌△CBE(SAS)，
所以∠BCE＝∠BAD＝30°。
(2)作等边三角形ABC，连接AD，
由(1)知，∠BAD＝∠BCE＝30°，
∠ABD＝∠CBE＝10°，
所以△ABD≌△CBE(ASA)，所以BD＝BE，
所以∠DBE＝40°，所以∠BDE＝70°，
所以∠CDE＝∠BDC－∠BDE＝10°。(共23张PPT)
5.2 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点一：等腰三角形的边、角性质
1.已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为( )
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
C
2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为( )
A.25°
B.60°
C.90°
D.100°
D
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D。AD＝BD＝CD，则∠BAC的度数为( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
C
4.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝ 。
20°
5.如图，在△ABC中，CA＝CB，直线EF分别交AB，AC和CB的延长线于点D，E，F。若∠F＝32°，∠CEF＝100°，则∠A＝ 。
66°
知识点二：等腰三角形的“三线合一”性质
6.如图为某斜拉索桥的示意图，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形。在△ABC中，AB＝AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD⊥BC的是( )
A.BD＝CD B.∠ADB＝∠ADC
C.∠BAD＝∠CAD D.BC＝2AD
D
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC的长为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
D
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，试说明∠CBE＝∠BAD。
解：因为AB＝AC，
所以∠ABD＝∠C，
又因为AD是BC边上的中线，
所以AD⊥BC，
因为BE⊥AC，
所以∠BEC＝∠ADB＝90°，
所以∠CBE＋∠C＝∠BAD＋∠ABD，
所以∠CBE＝∠BAD。
知识点三：等腰三角形的对称性
9.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE＝ 。
15°
10.下列图形各有几条对称轴？请将它们画出来。
解：图①有1条对称轴，图②有2条对称轴，如图所示。
11.如图，在△ABC中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，连接BD，DE。若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为( )
A.67.5°
B.52.5°
C.45°
D.75°
A
12.(遵义中考)如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为 CD的中点.若∠CAE＝16°，则∠B＝ 。
37°
13.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠BAC的度数。
解：因为AD＝CD，
所以设∠DAC＝∠C＝x°，
因为AB＝AC＝BD，
所以∠BAD＝∠BDA＝2x°，
∠B＝∠C＝x°，所以∠BAC＝3x°，
因为∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
所以x°＋3x°＋x°＝180°，所以x＝36，
所以∠BAC＝3x°＝108°。
14.(北碚区期末)如图，在△ABC中，BA＝BC，D是AC延长线上一点，平面上有一点E，连接EB，EC，ED，BD，CB平分∠ACE。
(1)若∠ABC＝50°，求∠DCE的度数；
解：因为△ABC中，
BA＝BC，∠ABC＝50°，
所以∠BAC＝∠ACB＝65°，
因为CB平分∠ACE，
∠BCE＝∠ACB＝65°，
所以∠DCE＝180°－∠ACB－∠BCE＝50°。
(2)若∠ABC＝∠DBE，试说明AD＝CE。
解：因为在△ABC中，BA＝BC，
所以∠A＝∠ACB，因为CB平分∠ACE，
所以∠BCE＝∠ACB，所以∠BCE＝∠A，
因为∠ABC＝∠DBE，所以∠ABD＝∠CBE，
因为AB＝BC，所以△ABD≌△CBE(ASA)，
所以AD＝CE。
15.在△ABC中，AB＝AC。
(1)如图①，若∠BAD＝30°，AD是BC边上的高，AD＝AE，则∠EDC的度数为 ；
(2)如图②，若∠BAD＝40°，
AD是BC边上的高， AD＝AE，
则∠EDC的度数为 ；
15°
20°
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： ；
(4)如图③，AD＝AE，如果AD不是BC边上的高，
上述关系是否成立？请说明理由。
∠BAD＝2∠EDC
解：(4)∠BAD＝2∠EDC仍成立，
理由：因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，
因为∠BAD＋∠B＋∠ADB＝∠ADB＋∠ADC，
所以∠BAD＋∠B＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC
＝∠EDC＋∠C＋∠EDC＝2∠EDC＋∠C，
又因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，
所以∠BAD＝2∠EDC。(共23张PPT)
第3课时 角平分线的性质
知识点一：角的轴对称性
1.下列说法中不正确的是（ ）
A.角是轴对称图形
B.角平分线是角的对称轴
C.角可以看作是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形
D.角只有1条对称轴
B
知识点二：角平分线的性质
2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P 到OA的距离为（ ）
A.3
B.2
C.1
D.6
A
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE的长为（ ）
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
B
4.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论不一定正确的是（ ）
A.PC＝PD
B.∠CPO＝∠DOC
C.∠CPO＝∠DPO
D.OC＝OD
B
5.(青海中考)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 。
7.5
6.如图，OE平分∠AOB，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D，BC，AD相交于点E。试说明EA＝EB。
解：因为OE平分∠AOB，
BC⊥OA，AD⊥OB，
所以EC＝ED，
∠ACE＝∠BDE＝90°，
又因为∠CEA＝∠DEB，
所以△ACE≌△BDE(ASA)，
所以EA＝EB。
7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，E，F分别是AC，AB 上的两点，CE＝BF，试说明S△DCE ＝S△DBF。
解：因为AD 是△ABC 的角平分线，
所以点D到 AB，AC的距离相等，设距离为h，
因为CE＝BF，
S△DCE＝CE·h，
S△DBF＝BF·h，
所以S△DCE ＝S△DBF。
知识点三：角平分线的尺规作图
8.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
9.如图，作∠α的补角，然后画出补角的平分线。(不写作法，保留作图痕迹)
解：∠AOC即为补角，OP为平分线，如图所示。
10.(青羊区期末)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A.10
B.8
C.6
D.5
D
11.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论中错误的是（ ）
A.∠BDE＝∠BAC
B.∠BAD＝∠B
C.DE ＝DC
D.AE ＝AC
B
12.如图，△ABC的角平分线AD将BC边分成 2∶1 两部分，若AC＝3 cm，则AB＝ cm。
6
13.如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。连接EF，则∠DEF的度数为 。
25°
14.(双流区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分
∠ABC交AD于点D，交AC于点E。
(1)试说明∠ADE＝∠AED；
(2)若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积。
解：(1)因为AD⊥AB，
所以∠DAB＝90°，
所以∠D＋∠ABD＝90°，因为∠C＝90°，
所以∠CEB＋∠CBE＝90°，
因为BD平分∠ABC，所以∠CBE＝∠ABD，
所以∠D＝∠CEB，
因为∠CEB＝∠AED，所以∠ADE＝∠AED。
(2)过点E作EF⊥AB于点F，
因为BD平分∠ABC，EF⊥AB，EC⊥BC，
所以EC＝EF＝2，因为AB＝6，
所以S△ABE＝AB·EF＝6，
所以△ABE的面积为6。
15.如图，已知△ABC。
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于点D，作∠ABC的平分线交AC于点E，且AD，BE交于点O(保留作图痕迹)；
(2)连接OC，若AB＝6，BC＝4，AC＝8，
求S△ABO∶S△ACO∶S△BCO的比值。
解：(1)如图所示，AD，BE即为所求。
(2)过点O作OH⊥AB于点H，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，
因为AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，
所以OH＝OF＝OG，
因为S△ABO＝AB·OH，S△BCO＝BC·OF，S△ACO＝AC·OG，
所以S△ABO∶S△ACO∶S△BCO＝AB∶AC∶BC＝3∶4∶2。(共21张PPT)
第2课时 线段垂直平分线的性质
知识点一：线段的轴对称性
1.下列说法中，不正确的是( )
A.线段是轴对称图形
B.线段有无数条对称轴
C.线段的对称轴一定经过这条线段的中点
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
B
知识点二：线段垂直平分线的性质
2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
B
3.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3 cm，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是( )
A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.18 cm
C
4.如图，已知AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A.AB＝AD
B.AC平分∠BCD
C.∠ABC＝∠ADC
D.∠BAD＝∠BCD
D
5.如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为( )
A.31°
B.62°
C.87°
D.98°
C
6.(易错题)已知A和B两点在线段EF的垂直平分线上，且∠EAF＝100°，
∠EBF＝70°，则∠AEB的度数是 。
95°或15°
7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，且AB＝BD。求∠CAD的度数。
解：因为∠B＝90°，AB＝BD，
所以∠BAD＝∠BDA＝45°，
因为DE垂直平分AC，
所以DA＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，
因为∠DAC＋∠DCA＝∠ADB，
所以∠DAC＝∠ADB＝22.5°。
知识点三：线段垂直平分线的尺规作图
8.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝5，观察图中尺规作图的痕迹，则 △ADC的周长是( )
A.8
B.10
C.12
D.14
A
9.为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图所示)，请用尺规作图的方法确定点P的位置。(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示。
10.如图，∠A＝80°，O是AB，AC的垂直平分线OD，OE的交点，则∠BOC的度数为( )
A.145°
B.150°
C.160°
D.165°
C
11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，已知CD＝AD，下列结论错误的是( )
A.∠ADE＝∠ACB B.∠A＝∠ADC
C.∠B＝∠DCB D.∠A＝∠BED
B
12.如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，若点C在AB，AD的垂直平分线上，则∠BCD的度数为 。
140°
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，过腰AB的中点D作AB的垂线，交另一腰AC于点E，连接BE。
(1)若BE＝BC，求∠A的度数；
解：设∠A＝x，由题意可知ED所在直线为线段AB的垂直平分线，
所以AE＝BE，
所以∠ABE＝∠A＝x，
因为BE＝BC，所以∠C＝∠BEC＝2x，
因为AB＝AC，
所以∠C＝∠ABC＝2x，
所以x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，即∠A＝36°。
(2)若AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，求△BCE的周长。
解：因为AC＝AB＝2AD＝2BD，
AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，
设AD＝a，则AC＝2AD＝2a，
所以a＋2a＝24 cm，解得a＝8 cm，
所以AD＝8 cm，AC＝16 cm，BC＝12 cm，
所以△BCE的周长为
BC＋AC＝12＋16＝28(cm)。
14.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6。
(1)AD与BD的数量关系为 ；
(2)求BC的长；
(3)分别连接OA，OB，OC，
若△OBC的周长为16，求OA的长。
AD＝BD
解：(2)因为l2是线段AC的垂直平分线，
所以EA＝EC，
因为△ADE的周长为6，
所以AD＋DE＋EA＝6，
又因为AD＝BD，
所以BD＋DE＋EC＝6，即BC＝6。
(3)因为l1是线段AB的垂直平分线，
所以OA＝OB，
因为l2是线段AC的垂直平分线，
所以OA＝OC，所以OB＝OC，
因为△OBC的周长为16，BC＝6，
所以OB＋OC＝10，所以OA＝OB＝OC＝5。
