7.1.2 垂直的有关概念与性质 同步练习（含答案）

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第七章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第2课时 垂直的有关概念与性质
基础过关全练
知识点4 垂直的概念、性质及垂线的画法
1.下列选项中，过点 M 作直线l的垂线，三角尺放置正确的是 ( )
2.如图,OM⊥NP,ON⊥NP,所以直线ON与OM 重合,理由是 ( )
A.两点确定一条直线
B.同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过一点只能作一条直线
D.以上都不对
3.如图,直线AB,CD 交于点O,OE⊥AB 于O,若∠1=35°,则∠2的度数是 ( )
A.55° B.45° C.35° D.30°
4.如图，直线AB，CD 相交于点 O，在下列各条件中，能说明AB⊥CD 的为 .(填序号)
①∠AOD=90°;②∠AOC=∠BOC;③∠AOC=∠BOD;④∠BOC+∠BOD=180°;
⑤∠AOC+∠BOD=180°.
知识点5 垂线段的概念与性质
5.如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站.为了超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站,应建在( )
A.点A B.点 B C.点C D.点 D
知识点6 点到直线的距离
6.A,B,C是直线l上的三点,P 是l外的一点,连接 PA,PB,PC,量得 PC=1 cm,PB=3cm,PA=2cm,那么 P 点到直线l的距离 ( )
A.等于2cm B.不小于3cm C.等于1cm D.不大于1cm
7.如图，点P 是直线a外的一点,点A,B,C在直线a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC.
下列关于距离的语句：
①线段 PB 的长是点 P 到直线a的距离；
②线段AC 的长是点A 到直线 PC 的距离；
③线段 PC 是点 C 到直线 PA 的距离.
其中正确的为 .
能力提升全练
8.我国在大力实施素质教育，为进一步增强体育训练，学校对跳远项目进行测试，如图所示的是王洋同学跳落沙坑时留下的痕迹，则表示王洋成绩的是( )
A.线段AP 的长
B.线段 BP 的长
C.线段 CP 的长
D.线段CP 的长
9.跨物理·光的反射 如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜几何画板演示可改变光路，当太阳光线AB 与地面 CD 所成夹角∠ABC=50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF 与地面的夹角∠EBC=(注：入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角) ( )
A.60° B.70° C.80° D.85°
第9题图 第10题图
10.如图,直线 AB 和CD相交于点 O,OE⊥CD 于点 O,∠BOE=2∠BOD,则 ∠AOC 的度 数为 .
11.如图,直线AB,CD 相交于点 O,∠AOC =28°,∠BOF=59°,OF平分∠DOE,OE 与AB 垂直吗 为什么
12.如图，直线AB,CD 相交于点O,过点O 作OE⊥AB,且OF平分∠AOD.
(1)试说明:∠COF=∠BOF.
(2)若∠BOD=24°,求∠EOF 的度数.
素养探究全练
13.如图，直线AB与CD相交于点O,OP 是∠BOC 的平分线,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中除直角外，还有相等的角吗 请写出两对.
(2)如果∠BOF=50°,求∠DOP 的度数.
(3)OP 平分∠EOF 吗 请写出理由.
参考答案
基础过关全练
1 B ∵三角尺有一个角是直角，过点 M作直线l的垂线，∴三角尺的一条直角边与直线l重合，另一条直角边过点M，符合上述条件的图形只有选项B中的图形.故选 B.
2 B OM⊥NP,ON⊥NP,直线 ON与OM 都经过点O,直线ON与OM 重合的理由是同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.故选 B.
3 A ∵OE⊥AB,∠1=35°,∴∠AOC=90°-35°=55°,∴∠2=∠AOC=55°.故选A.
4 答案 ①②⑤
解析 ①∠AOD=90°,由垂直的概念可以得出AB⊥CD;②∠AOC =∠BOC,∵ ∠AOC+∠BOC= 180°,∴∠AOC = ∠BOC = 90°, 可 以 得 出 AB ⊥ CD;③∠AOC=∠BOD,不能得到AB⊥CD;④∠BOC+∠BOD = 180°,不能得到 AB ⊥ CD;⑤∠AOC +∠BOD = 180°,∵ ∠AOC = ∠BOD,∴ ∠AOC =∠BOD=90°,可以得出AB⊥CD.故能说明AB⊥CD的为①②⑤.
5 C 根据垂线段最短知应建在点 C.故选 C.
6 D ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点 P 到直线l的距离≤PC 的长，即点 P 到直线l的距离不大于 1 cm.故选 D.
7 答案 ①
解析 ∵ PB⊥a,∴线段 PB 的长是点 P 到直线a的距离,故①正确;∵AC与 PC 不垂直,∴线段AC 的长不是点 A 到直线 PC 的距离,由 PA⊥PC 知线段AP 的长是点 A 到直线 PC 的距离，故②不正确；∵PA⊥PC,∴线段 PC 的长是点 C 到直线 PA 的距离，故③不正确.综上所述，正确的是①.
能力提升全练
8 B 跳远成绩为距离踏板最近的落点到踏板的距离，由于点 P 到踏板的距离最近，所以点 P 到踏板的垂线段的长为跳远成绩.故选 B.
9 B 如图,∵BM⊥CD,∴∠CBM=90°.∵ ∠ABC=50°,∴∠ABE+∠FBM=180°-90°-50°=40°.∵ ∠ABE=∠FBM,∴ ∠ABE =∠FBM=20°,∴ ∠EBC=20°+50°=70°.故选 B.
10 答案 30°
解析 ∵ OE ⊥CD,∴ ∠EOD = 90°,∴ ∠BOD+∠BOE = 90°. ∠BOE = 2 ∠BOD,∴ ∠BOD +2∠BOD = 90°, ∴ ∠BOD = 30°, ∴ ∠AOC =∠BOD=30°.
11 解析 OE⊥AB,理由如下:
∵∠AOC=28°,∴∠DOB=∠AOC=28°,∴ ∠DOF=∠BOF-∠DOB=59°-28°=31°.
又∵OF平分∠DOE,∴∠EOD=2∠DOF=62°,
∴∠EOB=∠EOD+∠DOB=62°+28°=90°,∴OE⊥AB.
12 解析 (1)证明:∵ OF平分∠AOD,
∵∠AOC=∠DOB,∴∠AOF+∠AOC=∠DOF+∠DOB,
∴ ∠COF=∠BOF.
(2)∵∠BOD=24°,∴∠AOD=180°-∠BOD=156°,
∵OE⊥AB,∴∠EOB=90°,∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=66°,
∴ ∠EOF=∠DOF-∠EOD=78°-66°=12°.
素养探究全练
13 解析 (1)∠BOP=∠COP,∠AOD=∠BOC.(答案不唯一)
(2)∵OF⊥CD,∴∠COF=∠DOF=90°.
∵OP平分∠
(3)OP 平分∠EOF.理由如下:
∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴ ∠COE+∠BOC=∠BOF+∠BOC=90°,∴∠COE=∠BOF.
∵OP是∠BOC 的平分线,∴∠BOP=∠COP,∴∠BOF+∠BOP=∠COE+∠COP,
∴∠FOP=∠EOP,∴OP平分∠EOF.
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