(共7张PPT)
小专题(六) 利用一元一次方程解决古代数学问题
1．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得( )
A.－3(100－x)＝100 B．3x－＝100
C.＋3(100－x)＝100 D．3x＋＝100
D
2．《九章算术》中有一道题：“今有人共买羊，人出七，不足三；人出八，盈十六，问人数、羊价几何．”译文：现在有若干人共同买一头羊，若每人出7钱，则还差3钱；若每人出8钱，则剩余16钱，求买羊的人数和这头羊的价格分别是多少．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为
( )
A．7x＋3＝8x＋16 B．7x－3＝8x－16
C．7x＋3＝8x－16 D．7x－3＝8x＋16
C
3．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，”大意：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)，设有x人分银子，根据题意所列方程正确的是( )
A．7x＋4＝9x－8 B．7x－4＝9x＋8
C．7(x＋4)＝9(x－5) D．7(x－4)＝9(x＋8)
A
4．我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思：今有若干人乘车，每3人共乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车．设有x个人，根据题意列方程正确的是( )
A.＋2＝＋9 B.＋2＝
C.＝ D.＝＋9
B
5．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”意思：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数和物价各是多少．若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是( )
A．8(x－3)＝7(x＋4) B．8x＋3＝7x－4
C．＝ D．＝
D
6．《孙子算经》是我国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思：用一根绳子去量一根木的长度，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木的长度，木长还剩余1尺，问木长多少尺．现设木长x尺，则所列一元一次方程正确的是( )
A．x－1＝(x－4.5) B．x＋1＝(x＋4.5)
C．x＋1＝(x－4.5) D．x－1＝(x＋4.5)
D(共18张PPT)
小专题(三) 分析应用题时常用的方法
方法1：直接找等量关系法
【例1】把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本，这个班有多少名学生？有多少本图书？
【分析】题中虽然两种分配方式不同，但是书籍的总数是相同的，这属于用不同方式表示同一个量的问题，因此，我们可以从不同方式下书籍总数不变得到等量关系：第一种分配方式的总数＝第二种分配方式的总数，从而设未知数列出方程．
解：设这个班有x名学生，根据题意，得
3x＋20＝4x－25.
解得x＝45.
则45×3＋20＝155(本)．
答：这个班有45名学生，155本图书．
【针对训练】
1．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件？
解：设应该安排x天生产甲种零件，则安排(21－x)天生产乙种零件，根据题意，得
＝，解得x＝6，
则21－6＝15(天)．
答：应该安排6天生产甲种零件，安排15天生产乙种零件．
2．有两个工程队，第一队有45人，第二队比第一队少15人，因任务需要，要求第一队的人数是第二队的人数的2倍，问需要从第二队抽调多少人去支援？
解：设需要从第二队抽调x人去支援第一队，
根据题意，得
2(45－ 15－x)＝45＋x，
解得x＝5.
答：需要从第二队抽调5人去支援第一队．
方法2：画图分析法
【例2】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40 km，经过3 h，快车已驶过中点25 km，这时快车与慢车还相距 7 km，求慢车的速度．
【分析】本题等量关系比较难寻找，我们可以将题中的数量关系用线段图的形式呈现出来：
由线段图可以看出，甲、乙两地到中点距离相等，所以等量关系为“甲地到中点的距离＝乙地到中点的距离”．
解：设慢车的速度为x km/h，由题意，得
40×3－25＝3x＋7＋25.
解得x＝21.
答：慢车的速度为21 km/h.
【针对训练】
3．近年来，跑步运动已经成为全民参与的重要体育活动，越来越多的人加入到跑步运动中．某跑步爱好者在一次跑步中，先按原计划10 km/h的平均速度跑了一半的路程，后因各种因素影响，平均速度下降了20%，并以此速度跑完了后半程．这样总用时比原计划多用了15 min，求他此次跑步的总路程．
解： 设他此次跑步的原计划用时x h，则
10×＋10(1－20%)( ＋ )＝10x，
解得x＝2，
总路程为2×10＝20(km)．
答：他此次跑步的总路程为20 km.
方法3：列表格分析法
【例3】学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有17人．现调20人去支援甲、乙两地，使在甲地植树的人数是在乙地植树人数的2倍，则应调往甲、乙两地各多少人？
【分析】列出表格，可将复杂的数量关系直观地呈现出来(x表示调往甲地的人数)．
等量关系是甲地增加后的人数＝2×乙地增加后的人数．
地点 甲 乙
原有人数 23 17
增加的人数 x 20－x
增加后的人数 23＋x 17＋20－x
解：设应调往甲地x人，根据题意，得
23＋x＝2(17＋20－x)，
解得x＝17，
∴20－x＝20－17＝3.
答：应调往甲地17人，乙地3人．
【针对训练】
4．新年将至，某车间接到一批新年礼盒订单，要求5天完成，已知车间有12名工人，每人每天能生产11个A商品或者12个B商品，每个工人每天只能生产同一种商品．每个新年礼盒由1个A商品和3个B商品拼装而成．车间安排部分人生产A商品，剩余人生产B商品，生产3天后预估A商品配套有余，于是从生产A商品的工人中调拨 2人去生产B商品，其他工人生产不变，恰好如期完成订单，且A，B商品也刚好配套，则这批新年礼盒共有多少个？
解：(1)设前3天安排x人生产A商品，根据题意列式填写下列表格．
商品数量时间 生产A商品 生产B商品
人数 商品总个数 人数 商品总个数
前3天 x 0 12－x 0
后2天 x－2 0 0 0
33x
432－36x
22x－44
14－x
336－24x
(2)请通过列方程求出这批新年礼盒的数量．
解：(2)由题意得
3(33x＋22x－44)＝432－36x＋336－24x，
解得x＝4，∴33x＋22x－44＝176.
答：这批新年礼盒共有176个．(共21张PPT)
5．3 实践与探索
第1课时 形积变化问题
知识点1：周长、面积问题
1. 一块长方形土地的周长为18 m，长是宽的2倍多3 m，设宽为x m，下列关于x的一元一次方程正确的是( )
A．x＋(3＋x)＝18 B．2x＋(3＋x)＝18
C．2(2x＋3)＋x＝18 D．2(2x＋3＋x)＝18
D
2．如图，长方形纸片的长为15 cm，在这张纸片的长和宽上各剪去一个宽为3 cm的纸条，剩余部分(阴影部分)的面积是60 cm2，求原长方形纸片的宽．
解：设原长方形纸片的宽为x cm.
根据题意可得
(15－3)(x－3)＝60，
解得x＝8.
答：原长方形纸片的宽为8 cm.
知识点2：等长变形问题
3．用一根长为24 cm的铁丝围成一个长与宽的比是2∶1的长方形，则长方形的面积是( )
A．32 cm2 B．36 cm2
C．144 cm2 D．72 cm2
A
4．用一根铁丝可以围成一个边长为9 cm的正方形．若用这根铁丝围成一
个圆，则此圆的半径为 cm(结果保留π)．
5．如图，某小区准备建一个长方形自行车棚 ABCD，一边AD利用小区的围墙(墙足够长)，其余三边利用总长为36 m的铁围栏，如果宽AB增加 2 m，长BC减少4 m，这个长方形就会变成一个正方形，请求出此时正方形的边长．
解：设变化前的宽AB＝x m，
由题意得
x＋2＝36－2x－4，
解得x＝10，
所以10＋2＝12(m)．
答：正方形的边长为12 m.
知识点3：等积变形问题
6．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的
4 m变成( )
A．3.125 m B．6.25 m
C．7.2 m D．8 m
B
7．有一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为 10 cm 的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
C
8．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2，100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，则甲的容积是( )
A．1 280 cm3
B．2 560 cm3
C．3 200 cm3
D．4 000 cm3
C
9．张叔叔在一块正方形菜园中按如图的方法划分出两块地用来种胡萝卜和青菜，胡萝卜地的宽是3 m，青菜地的宽是4.8 m，这样划分后，青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等，这块正方形菜园的边长是( )
A．7.8 m B．8 m
C.8.5 m D．9 m
B
10．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40 cm，50 cm，若将隔板抽出，则水面静止时，箱内的水面高度为 cm(不计箱子、隔板厚度及水量变化)．
43.5
11．图①是边长为12 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3.
64
12．已知梯形的面积是42 cm2，高是6 cm，下底比上底的2倍多2 cm.求梯形上、下底的长．
解：设梯形上底的长为x cm，则下底的长为(2x＋2)cm，
由梯形的面积公式得(x＋2x＋2)×6＝42，
解得x＝4，
∴2x＋2＝10.
答：梯形上、下底的长分别为4 cm，10 cm.
13．如图，某小区长方形绿地的长、宽分别为35 m，15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的长方形绿地．若扩充后的长方形绿地的长是宽的2倍，求新的长方形绿地的长与宽．
解：设绿地的长、宽增加的长度为x m，由题意，得35＋x＝2(15＋x)，
解得x＝5，
所以35＋x＝40，
15＋x＝20.
答：新的长方形绿地的长与宽分别为40 m，20 m.
14．如图，一个瓶子的容积为1 L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm.
(1)求瓶内溶液的体积；
(2)现把溶液部分倒在一个底面积为60 cm2的圆柱形杯子里，再把瓶子倒放，此时瓶内溶液的高度是圆柱形杯子内溶液高度的6倍．已知瓶子的高度是33 cm，求倒入圆柱形杯子内的溶液体积．
解：(1)设瓶内溶液的体积为x L，则空余部分体积为 x L，依题意得
x＋x＝1，
解得x＝0.8.
答：瓶内溶液的体积为0.8 L.
(2)设倒入圆柱形杯子内的溶液体积为y cm3，则瓶内剩余体积为
(800－y)cm3，
瓶子的底面积为800÷20＝40(cm2)，
依题意得33－－5＝6×，解得y＝224.
答：倒入圆柱形杯子内的溶液体积为224 cm3.(共9张PPT)
第5章 一元一次方程
5．1 从实际问题到方程
知识点1：方程与方程的解
1．下列各式中，是方程的是( )
A．3－2＝1 B．y－5
C．3m>2 D．x＝5
D
2．下列方程中，解是x＝2的方程是( )
A．3x－x＋3 B．－x＋3＝0
C．5x－2＝8 D．2x＝6
C
3．已知x＝1是关于x的方程 x－2＝a的解，则a的值为 .
4．从数2，3，4中找出方程12＋x＝3(x＋2)的解，x＝ .
－
3
知识点2：根据实际问题列方程
5．(教材P3问题2变式)小明以4 km/h的速度从家步行到学校上学，放学时以3 km/h的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多10 min，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为x h，则根据题意可列方程为 .
4x＝3(x＋)
6．父子二人今年共45岁，6年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，设父亲今年的年龄是x岁，则儿子今年的年龄为 岁，由题意可列方程为
．
(45－x)
x＋6＝2(45－x＋6)
7．若关于x的方程 ax＋2b＝4的解为 x＝－3，则代数式6b－3a的值为 .
8．若单项式－3xy2a＋1与5xy(－a＋9)可以合并，则得到关于a的方程为
.
9．方程2x＋▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是 .
12
2a＋1＝－a＋9
2
10．根据题意列出方程(不必解答)：
(1)某小组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成任务．实际上该小组每天比计划多生产6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件．求这个小组的生产任务的总零件个数；
解：设这个小组的生产任务的总零件个数为x，
根据题意得 －＝3.
(2)某校教学活动小组，男生的人数比女生人数的3倍少2人，如果女生增加3人，男生减少1人，那么男生的人数恰好是女生人数的2倍．求原来男女生的人数．
解：设原来女生的人数为x，则男生的人数为3x－2，根据题意得2(x＋3)＝3x－2－1.(共11张PPT)
小专题(二) 利用一元一次方程的解求待定字母的值
类型1：利用一元一次方程的解的定义求待定字母的值
【方法指导】把已知方程的解代入方程，等式仍然成立，由此可求得方程中待定字母的值．
1．关于x的一元一次方程2(x－1)＋3a＝3的解为x＝4，则a的值是( )
A．－1 B．1
C．－2 D.－3
A
2．方程 －＝1中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是x＝－1，那么墨水盖住的数字是( )
A. B．1 C．－ D．0
B
3．关于x的方程 ＋1＝＋k，当k为何值时，解为x＝－1
解：将x＝－1代入方程 ＋1＝＋k中，得 ＋1＝1＋k.
解得k＝－1.
类型2：利用两个方程解之间的关系求待定字母的值
【方法指导】此类题中待定字母可看作是已知数，用含待定字母的式子表示出方程的解，再根据两个方程的解的关系，建立关于以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值．
4．当m为何值时，关于x的方程4x－2m＝3x＋1的解是x＝2x－3m的解的2倍？
解：因为x＝2x－3m的解是x＝3m，
4x－2m＝3x＋1的解是x＝2m＋1.
所以2m＋1＝2×3m，
解得m＝.
5．已知关于x的方程 －＝x－1与方程3(x－2)＝4x－5有相同的解，求a的值．
解：解方程3(x－2)＝4x－5，得x＝－1.
将x＝－1代入方程 －＝x－1中，得 －＝－1－1，
解得a＝－11.
类型3：利用方程的错解确定待定字母的值
【方法指导】先根据题意写出漏乘之后的方程，再将所得的解代入漏乘之后的方程，求解即可．
6．关于y的一元一次方程3(y＋a)＝2y＋4，小明在解方程去括号时，将a漏乘了3，得到方程的解是y＝3.
(1)求a的值；
(2)求该方程正确的解．
解：(1)由题意，得y＝3是方程3y＋a＝2y＋4的解，所以3×3＋a＝2×3＋4，解得a＝1.
(2)由(1)得a＝1，
所以原方程为3(y＋1)＝2y＋4，解得y＝1，
故该方程正确的解是y＝1.(共21张PPT)
第2课时 销售与储蓄问题
知识点1：百分率问题
1．学校买进一批图书，其中科技书占总数的30%，故事书占总数的45%.故事书比科技书多450本．这批图书共有( )
A．3 000本 B．2 000本
C．1 000本 D．500本
A
2．某种植户同时种植新型草莓和传统草莓两个品种，新型草莓的种植面积比传统草莓的种植面积少15%，但新型草莓的总产量比传统草莓的总产量反而多了2%，则新型草莓的每亩产量比传统草莓的每亩产量多( )
A．5% B．14%
C．20% D．30%
C
3．现有含盐率为20%的盐水300 g，如果要使含盐率降为10%，应加水
g.
300
知识点2：购买、销售问题
4．某商场在“庆五一”促销中推出“1元换2.5元”活动，即结账时，每1元都可以当作2.5元．小红妈妈买一件标价为600元的衣服，她实际需要付款( )
A．240元 B．280元
C．480元 D．540元
A
5．购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是( )
A．16元 B．18元
C．20元 D．25元
C
6．小红帮妈妈卖水果，上午以每千克1.2元的价钱卖出20 kg，下午以每千克1.1元的价钱卖出30 kg，上午和下午获得的利润相同，水果的进价是
元/kg.
7．某商品进价为 200元，标价为 300元，打折后，利润率为5%，那么该商品是按 0折销售的．
0.9
7
8．已知甲、乙两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元．则甲、乙两件服装的成本各是多少元？
解：设甲服装的成本为x元，根据题意，得
30%x＋20%(500－x)＝130，
解得x＝300，
则500－x＝200.
经检验，符合题意．
答：甲、乙两件服装的成本分别为300元，200元．
知识点3：储蓄问题
9．小佳的奖学金由爸爸存入某银行，当年年利率为1.5%，一年后取出时得到本息和为4 060元，则小佳的奖学金是( )
A．2 060元 B．3 500元
C．4 000元 D．4 100元
C
10．几年前老王把5 000元按一年期定期储蓄存入银行．到期支取时，扣去利息税后实得本利和为5 080元．已知利息税税率为20%，当时一年期定期储蓄的年利率为 .
2%
易错点：未将题中的等量关系正确地用方程表示出来
11．某理财产品的年收益率为 5.21%，若张老师购买x万元该种理财产品，定期2年(一年后自动转存)，则 2年后连同本金共有10万元，则根据题意列方程正确的是( )
A．(1＋5.21)x＝10
B．(1＋5.21)2x＝10
C．(1＋5.21%)x＝10
D．(1＋5.21%)2x＝10
D
12．一个图书馆对图书进行防火保险，如果每年的保险费是图书价值的
0.4%，参加保险6年，一共交付保险费7.8万元，那么图书馆的图书价值是( )
A．300万元 B．305万元
C．320万元 D．325万元
D
13．班主任王老师在某网站为班上的每一位学生购买防雾霾口罩，每个口罩的价格是 15元．在结算时卖家说：“如果再多买一个就可以打九折，价钱会比现在便宜45元．”王老师说：“那好吧，我就再给自己买一个，谢谢！”根据两人的对话，判断王老师班上的学生人数是( )
A．38人 B．39人
C．40人 D．41人
B
14．一书店按定价的五折购进某种图书800本，在实际销售中，500本按定价的七折批发售出，300本按八五折零售，若这种图书最终获利8 200 元，该图书的批发价与零售价分别是多少元？
解：设这种图书的定价为x元，根据题意，得
500×0.7x＋300×0.85x－800×0.5x＝8 200，
解得x＝40.
当x＝40时，0.7x＝28，0.85x＝34.
答：该图书的批发价为28元，零售价为34元．
15．要把1 000 g浓度为80%的酒精配制成浓度为60%的酒精，某同学未经考虑先加了300 g水．
(1)试通过计算说明该同学加水是否过量？
解：加入300 g水后，酒精溶液的浓度为
≈61.5%>60%.
答：该同学加水没有过量．
(2)如果加水不过量，则还应加入浓度20%的酒精多少克？如果加水过量，则需要再加入浓度为99%的酒精多少克？
解：设还应加入浓度为20%的酒精x g．则有
1 000×80%＋20%x＝(1 000＋300＋x)×60%，
解得x＝50.
答：还应加入浓度为20%的酒精50 g.
16．某省遭遇了持续高温，导致茶叶大幅减产，因而造成价格上涨，每千克的价格是去年同期的2倍．茶农陈某今年第三季度的茶叶产量为
120 kg，比去年同期减少了40%，但销售收入却比去年同期增加了2 000元．
(1)茶农陈某去年第三季度的茶叶产量为 kg；
(2)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程如下：
甲：( )×2x－( )×x＝2 000；
乙：＝；
根据甲、乙两名同学所列的方程，请分别指出未知数x表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程．
甲：x表示 ，
乙：x表示 ；
200
120
200
200
120
去年同期每千克茶叶的价格
今年第三季度茶叶销售收入
(3)陈某今年第三季度茶叶销售收入为多少元？(写出完整的解答过程)
解：(3)设今年第三季度茶叶销售收入为x元，根据题意得
＝，
解得x＝12 000.
答：今年第三季度茶叶销售收入为12 000元．(共11张PPT)
第2课时 通过一次变形解方程
知识点1：方程的变形规则
1．下列变形符合方程的变形规则的是( )
A．由x＋1＝0，得x＝1
B．由x＝0，得x＝5
C．由－3x＝－1，得x＝－
D．由3＝x－6，得x＝9
D
知识点2：通过一次变形解方程
2．下列移项正确的是( )
A．由2＋x＝8，得到x＝8＋2
B.由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝－8
C．由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1
D.由5x－3＝0，得到5x＝－3
C
3．对于方程x－3x＋5x＝4，合并同类项正确的是( )
A．9x＝4 B．3x＝4
C．7x＝4 D．－7x＝4
B
4．把方程－x＝2的系数化为1，最恰当的叙述是( )
A．方程两边同时乘－2
B．方程两边同时除以－
C．方程两边同时乘－
D．方程两边同时除以2
C
5．(1)若x＝－x，则x＝ 0；
(2)若3y－2y＝－3，则y＝ 0；
(3)0.25x＝1的解是 .
0
－3
x＝4
6．解下列方程：
(1)x＋7＝26； (2)－x＝9；
解：x＝19.
解：x＝－27.
(3)0.6y＋0.4y＝； (4)y－y＝－2.
解：y＝.
解：y＝－2.
7．对下列方程合并同类项，正确的是( )
A．已知x＋7x－6x＝2－5，则－2x＝－3
B．已知0.5x＋0.9x＋0.1＝0.4＋0.9x，则1．5x＝1.3
C．已知25x＋4x＝6－3，则29x＝3
D．已知5x＋9x＝4x＋7，则18x＝7
C
8．下列方程的变形中，正确的是( )
A．由 ＝0，得y＝0
B．由7x＝－4，得x＝－
C．由3＝x－2，得x＝－2－3
D．由x＝，得x＝
A
9．若2x－1＝5，3y＋4＝7，则2x＋3y＝ 0.
9(共20张PPT)
第3课时 工程、行程、分段计费问题
知识点1：工程问题
1．某工人若按原计划每天生产零件35个，到预定期限还有150个零件未能完成．若提高工作效率40%，到期将超额完成130个，则此工人原计划生产零件的个数是( )
A．850 B．950
C．700 D．1 500
A
2．一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，求甲做的天数．
解：设甲做了x天，依题意得
＋＝1，解得x＝4，
答：甲做了4天．
知识点2：行程问题
3．甲、乙两人由相距60 km的两地同时出发相向而行．甲步行，每小时走5 km；乙骑自行车，3 h后相遇，则乙的速度为 km/h.
4．一架飞机在两个城市间飞行，无风时每小时飞行552 km.在一次往返飞行中，飞机顺风飞行用了5.5 h，逆风飞行用了6 h，则这次飞行时的风速为 km/h.
15
24
5．甲、乙两人从A地出发前往B地．甲步行，每小时走4 km，甲走了5 h后，乙骑自行车以12 km/h的速度追赶甲，乙出发后，几小时能追上甲？
解：设乙出发后，x h能追上甲，
得4x＋4×5＝12x，解得x＝2.5.
经检验，符合题意．
答：乙出发后，2.5 h能追上甲．
6．小刘从家出发以3 km/h的速度沿A路线匀速步行前往公园，到达公园后，花了2 h观看比赛，然后再以4 km/h的速度沿B路线匀速步行回家．已知A路线比B路线的路程多1 km，且小刘从家出发起到回到家止总计用时3.5 h．求B路线的路程．
解：设B路线的路程是x km，则A路线路程是(x＋1)km，依题意，得
＋＝3.5－2，
解得x＝2.
答：B路线的路程是2 km.
知识点3：分段计费问题
7．某市新能源出租车的收费标准如下：3 km以内(包括3 km)收费10元，超过3 km后，每超1 km就加收1.8元(不足1 km按 1 km计费)．若某人乘出租车的费用为17.2元，则他乘坐出租车行驶的距离不可能是( )
A．6 km B．6.3 km
C．6.8 km D．7 km
A
8．某超市糯米的价格为5元/kg，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2 kg时，按原价售出，超过2 kg时，超过的部分打8折，若某人付款14元，则他购买了 kg糯米．
3
9．为增强居民的节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下：
小明家11月份用电200度，缴纳电费136元，则x＝ .超出部分电费单价是 元/度．
0.6
一户居民一个月用电量的范围 电费价格/(元/度)
不超过160度的部分 x
超过160度的部分 x＋0.4
1
10．某市一项重点工程，甲公司单独完成需3年，乙公司单独完成需6年，现在两公司合作完成整项工程后，该市共付工程款360万元，如果按两公司分别完成工作量的多少分配，则甲公司比乙公司多分得( )
A．120万元 B．180万元
C．200万元 D．240万元
A
11．(应用意识)某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60 m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60 m3，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费 元．
66
12．一项工程，甲单独做需要8天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要24天完成，现在甲、乙合做3天后，甲因有事离开，由乙、丙合做，则乙、丙还要几天才能完成这项工程？
解：设乙、丙还要x天才能完成这项工程，由题意，得＋＋＋＝1，
解得x＝3.
答：乙、丙还要3天才能完成这项工程．
13．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
①若一次购物少于200元，则不予优惠；
②若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
③若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
(1)小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？
(2)小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？
解：(1)设小明所购商品的原价是x元，
当x<200时，x＝189；
当200≤x≤500时，0.9x＝189，
解得x＝210.
答：小明所购商品的原价是189元或210元．
(2)设小强所购商品的原价是y元，
根据题意得500×0.9＋0.8(y－500)＝530，
解得y＝600.
答：小强所购商品的原价是600元．
14．A，B两地相距10 km，甲从A地出发，每小时行驶8 km，乙从B地出发，每小时行驶12 km.
(1)如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多少时间相遇？
(2)如果甲、乙同时出发，同向而行，乙在甲后面，经过几小时，甲、乙相距2 km
解：(1)设经过x h两人相遇，根据题意，得
8x＋12x＝10，解得x＝0.5.
答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过0.5 h相遇．
(2)当两人相遇前，设a h后两人相距2 km，
由题意得12a＋2＝8a＋10，解得a＝2；
当两人相遇后，设b h后两人相距2 km，
由题意得12a＝8a＋10＋2，解得a＝3.
答：经过2 h或3 h，甲、乙相距2 km.(共7张PPT)
数学活动 自己动手做一根杆秤
【综合与实践】
木杆与重物
学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上让同学们探讨木杆与重物的实验问题，实验通过改变L2的长度和砝码的重量来保持木杆的平衡(如图所示)，并用表格记录了实验数据如下：
【实践发现】
实验 次数 左边 右边
砝码重量 M1(g) 支点O到左边挂重物处的距离L1(cm) 砝码重量 M2(g) 支点O到右边挂重物处的距离L2(cm)
1 20 40 20 40
2 20 40 40 20
3 20 40 60 13.33
4 20 40 80 10
5 20 40 100 8
… … … … …
小明从表中发现这样的规律：
20×40＝20×40，20×40＝40×20，20×40＝60×13.33，
20×40＝80×10，20×40＝100×8，…M1×L1＝M2×L2.
【实践运用】
根据上面规律解决下列问题：
(1)若20×40＝50 L2，则L2＝ cm；
(2)若M1的重量是50 g，L1的长度是40 cm，
L2的长度是10 cm ，则M2等于多少克才能保持木杆平衡？
(3)学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如图所示，提纽处O是支点，已知AO为5 cm，秤砣重量是500 g，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时CO＝1 cm，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时BO＝21 cm，则重物的重量是多少斤？(1斤＝500 g)
16
解：(2)∵50×40＝10 M2，∴M2＝200，
答：M2等于200 g才能保持木杆平衡．
(3)设重物的重量是m g，
则5 m＝(21－1)×500，
∴m＝2 000，
∴2 000÷500＝4(斤)．
答：重物的重量是4斤．(共8张PPT)
小专题(七) 利用一元一次方程解决新定义问题
1．定义：“*”运算为“a*b＝ab＋2a”．若(3*x)＋(x*3)＝22，求x的值．
解：由定义知
(3*x)＋(x*3)
＝(3x＋2×3)＋(3x＋2x)
＝22，
解得x＝2.
2．定义一种运算：＝ad－bc，例如＝2×5－3×4＝－2.按照这种定义，当＝成立时，求x的值．
解：由定义知
2x－2( －1)＝－4×－(x－1)，
解得x＝－.
3．按下面的程序计算：
如果输入x的值是正整数，输出结果是100，求满足条件的x的值．
解：当3x－2＝100时，x＝34；
当3x－2＝34时，x＝12；
当3x－2＝12时，x不是正整数，不合题意．
即当x＝12或34时，输出的结果都是100.
4．一般情况下，＋＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如m＝n＝0.我们称使得 ＋＝ 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为(m，n)．
(1)试说明(1，－4)是相伴数对；
(2)若(x，4)是相伴数对，求x的值．
解：(1)由题意可知m＝1，n＝－4，
∴＋＝－，＝－，
∴(1，－4)是相伴数对．
(2)由题意可知 ＋＝，
解得x＝－1.(共9张PPT)
小专题(四) 利用一元一次方程解决方案问题
1．在某誊印社打印文件，打印页数不超过20页时，每页收费3.9元；打印页数超过20页时，超过部分每页收费3.5元；在某图书馆打印同样的文件，打印页数不超过60页时，每页收费3.7元；打印页数超过60页时，超过部分每页收费3.3元．
(1)若某公司打印文件为10页，则在誊印社打印需要 元，在图书馆打印需要 元；
(2)该公司打印文件多少页时，在誊印社与在图书馆的打印费一样？
(3)请直接写出如何根据公司打印文件的页数选择省钱的打印地点．
39
37
解：(2)设该公司打印文件x页时，在誊印社与在图书馆的打印费一样．
①当打印页数超过20页但不超过60页时，
3．9×20＋3.5(x－20)＝3.7x，解得x＝40；
②当打印页数超过60页时，
3．9×20＋3.5(x－20)＝3.7×60＋3.3(x－60)，
解得x＝80.
经检验，符合题意．
答：该公司打印文件40页或80页时，在誊印社与在图书馆的打印费一样．
(3)当打印文件少于40页或超过80页时去图书馆；当打印文件超过40页且少于80页时去誊印社；当打印文件为40页或80页时誊印社和图书馆收费一样，选择其中一家就可以．
2．下表中有两种移动电话计费方式．
月使用 计费/元 主叫限定 时间/min 主叫超时费/ (元/min) 被叫
方式一 48 50 0.2 免费
方式二 98 320 0.15 免费
(1)若每月的主叫时间为x min(x是正整数)，请填写下表(若结果为整式，请直接填写化简后的结果)：
主叫时间x/min 方式一计费/元 方式二计费/元
050x>320 0 0
48
98
0.2x＋38
98
0.2x＋38
0.15x＋50
(2)若每月的主叫时间超过50 min，但不超过320 min，要选择计费更低的计费方式，请做出选择，并说明理由．
解：(2)当0.2x＋38＝98时，x＝300；
当0.2x＋38＜98时，x＜300；
当0.2x＋38＞98时，x＞300，
∴当50选择方式一计费更低；
当x＝300时，
选择方式一与方式二计费一样；
当300选择方式二计费更低．(共10张PPT)
5．2 解一元一次方程
5．2.1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的基本性质
知识点：等式的基本性质
1．已知x＝y，则下列等式中不一定成立的是( )
A．x－a＝y－a B．ax＝ay
C．x2＝y2 D．a＋x＝a－y
D
2．下列变形一定正确的是( )
A．若a＋m＝b＋m，则a＝b
B．若a2＝b2，则a＝b
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若x＝y，则＝
A
3．用适当的式子和等式的性质填空．
(1)若2x＝3－x，则2x＋ 0＝3，依据是 ；
(2)若2a＝1，则a＝ ，依据是 ；
(3)若 ＋1＝x，则x＝2，依据是 .
x
等式的性质1
等式的性质2
等式的性质1和等式的性质2
4．回答下列问题：
(1)从ab＝bc能否得到a＝c？为什么？
(2)从xy＝1能否得到x＝？为什么？
解：(1)不能，
理由：b＝0时，等式的两边都除以零无意义．
(2)能，理由：等式的两边都除以y.
5．已知2m－n＋1＝0，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是( )
A．2m－n＝－1 B．2m＋1＝n
C．m＝ D．4m＝2n－2
C
6．如果在等式10(x＋3)＝3(x＋3)的两边同除以(x＋3)就会得到10＝3，而我们知道10≠3，由此可以判断x＋3＝ 0.
7．(平远县期末)在等式3a＋5＝2a＋6的两边同时减去一个多项式可以得到等式a＝1，则这个多项式是 .
0
2a＋5
8．a，b，c三个物体的质量如图所示．
回答下列问题：
(1)a，b，c三个物体就单个而言哪个最重？
(2)若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c
解：(1)根据图示知2a＝3b，2b＝3c.
∴a＝b，b＝c，
∴a＝c，∴a＞b＞c.
∴a，b，c三个物体就单个而言，a最重．
(2)∵a＝c，∴4a＝9c，
∴若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放4个物体a和9个物体c.(共22张PPT)
复习提升(一) 一元一次方程
【重难点突破】
重难点1：一元一次方程及方程的解
1．下列方程中，是一元一次方程的是( )
A．x2－4x＝3 B．x＝0
C．x＋2y＝3 D．x－1＝
B
2．已知关于x的方程(m＋5)x|m|－4＋18＝0是一元一次方程，则m＝ .
5
重难点2：等式的性质
3．(贵州中考)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式中正确的是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝4y D．x＝5y
C
重难点3：一元一次方程的解法
4．已知关于x的一元一次方程 －＝1的解为偶数，则整数a的值不可能是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
C
5．小亮同学在解关于x的方程3x－4＝8＋ x时，把“ ”处的数写成了它的相反数，最后解得x＝－6，则该方程的正确解为 .
x＝
6．解下列方程：
(1)5x－2(x－1)＝3；
解：去括号，得5x－2x＋2＝3，
移项、合并同类项，得3x＝1，
系数化为1，得x＝.
(2) －＝1.
解：去分母，得3(2x＋1)－(4x－1)＝6，
去括号，得6x＋3－4x＋1＝6，
移项、合并同类项，得2x＝2，
系数化为1，得x＝1.
7．若关于x的方程2x＋5＝a的解与关于x的方程 －2＝的解互为相反数，求字母a的值．
解：解方程2x＋5＝a，得x＝，
解方程 －2＝，得x＝，
∵关于x的方程2x＋5＝a的解与关于x的方程－2＝的解互为相反数，
∴＝－，解得a＝－3.
重难点4：一元一次方程的应用
8．整理一批数据，由一人做需要 40 h 完成．现在计划先由一些人做2 h，再增加3人做4 h，完成这项工作的 ，则先安排多少人工作( )
A．4 B．3 C．2 D．6
B
9．如图，在周长为16 m的长方形窗户上钉一块宽为2 m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为( )
A．4 m2
B．25 m2
C．16 m2
D．9 m2
D
10．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为( )
A．54 B．27
C．72 D．45
D
11．某中学甲、乙两班学生共有90人，若从甲班转入乙班4人，则甲班的学生人数是乙班的80%，则甲班 人，乙班 人．
12．某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件 15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配套，则每天可生产 套．
44
46
144
13．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1 000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价(元/只) 售价(元/只)
甲型 25 30
乙型 45 60
(1)如果进货款恰好为37 000元．那么可以购进甲型节能灯多少只？
(2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
解：(1)设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯(1 000－x)只，由题意，得
25x＋45(1 000－x)＝37 000，
解得x＝400.
答：可以购进甲型节能灯400只．
(2)设乙型节能灯需打a折，根据题意，得
0．1×60a－45＝45×20%，解得a＝9.
答：乙型节能灯需打9折．
【综合提升】
14．随着夏季的到来，某县居民的用电量猛增，目前，该县城市居民用电收费方式有以下两种：
①普通电价付费方式全天0.52元/度；
②峰谷电价付费方式：用电高峰时段(早8：00～晚21：00)0.65元/度；用电低谷时段(晚21：00～早8：00)0.40元/度．
(1)已知小丽家5月份总用电量为280度．
①若其中高峰时段用电量为80度，则小丽家按照哪种方式付电费比较合算？能省多少元？
②若小丽家采用峰谷电价付费方式交电费137元，求小丽家高峰时段用电量；
(2)到6月份付费时，小丽发现6月份总用电量为320度，用峰谷电价付费方式比普通电价付费方式省了18.4元，求6月份小丽家高峰时段用电量．
解：(1)①若小丽家按普通电价付费，则费用为280×0.52＝145.6(元)；
若小丽家按峰谷电价付费，则费用为
80×0.65＋(280－80)×0.4＝132(元)，
145．6－132＝13.6(元)．
答：小丽家按峰谷电价方式付费比较合算，能省13.6元．
②设小丽家高峰时段用电量为x度，则低谷时段用电为(280－x)度，根据题意得
0．65x＋0.40(280－x)＝137，解得x＝100.
答：若小丽家交费137元，则小丽家高峰时段用电量为100度．
(2)设6月份小丽家高峰时段用电量为y度，则低谷时用电量为(320－y)度，根据题意得
320×0.52－[0.65y＋0.40(320－y)]＝18.4，
解得y＝80.
答：6月份小丽家高峰时段用电量为80度．(共8张PPT)
小专题(五) 利用一元一次方程解决分段计费问题
1．某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表，经测算，该市居民甲某月用电100 kW h，交电费60元．
一户居民一个月用电量的范围 电费价格(单位：元/kW·h)
不超过150 kW·h a
超过150 kW· h但不超过 300 kW·h的部分 0.65
超过300 kW·h的部分 0.9
(1)上表中，a＝ ；若居民乙某月用电200 kW h，则应交电费 元；
(2)若某用户某月用电量超过300 kW h，设用电量为x kW h，请用含x的代数式表示应交的电费为 元；
(3)实行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电量为多少时，其当月的平均电价为0.62元/kW h
0.6
122.5
(0.9x－82.5)
解：(3)设该居民用电x kW h，其当月的平均电价为0.62 元/kW h.
当15090＋0.65(x－150)＝0.62x，
解得x＝250；
经检验，符合题意；
当x>300时，
0．9x－82.5＝0.62x，
解得x≈294.6<300(舍去)．
综上所述，该居民月用电250 kW h时，其当月的平均电价为0.62元/kW h.
2．为了增强市民的节约用电意识，实行阶梯收费．收费标准如下表：
每月用电量 电费价格
第一档 不超过180度的部分 电费0.55元/度
第二档 180度以上至 400度的部分 每度比上一档
提价 0.05元
第三档 400度以上的部分 每度比上一档
提价0.25元
(1)若小新家9月份用电200度，则小新家9月份应缴电费 元(直接写出结果)；
(2)若小新家11月，12月份共用电800度，11月份和12月份一共缴电费487元．已知11月份用电量小于400度，小新家11，12月份各用电多少度(电费每月缴一次)
111
解：(2)设小新家11月用电y度，则12月用电(800－y)度，
第二档电费为0.55＋0.05＝0.6(元/度)；
第三档电费为
0．55＋0.05＋0.25＝0.85(元/度)．
∵y<400，∴800－y>400.
①当0≤y≤180时，
0．55y＋180×0.55＋0.6×(400－180)＋
0．85×(800－y－400)＝487，
解得y＝280(舍)．
②当180180×0.55＋0.6(y－180)＋180×0.55＋0.6×(400－180)＋0.85(800－y－400)＝487，
解得y＝300，经检验，符合题意．
则小新家12月用电量为
800－y＝800－300＝500(度)．
答：小新家11月用电量为300度，12月用电量为500度．(共10张PPT)
小专题(一) 一元一次方程的解法
类型1：合并同类项解一元一次方程
1．解下列方程：
(1)0.3x－0.4x＝0.6；
解：合并同类项，得－0.1x＝0.6，
系数化为1，得x＝－6.
(2)x－x＝3＋6.
解：合并同类项，得 x＝9，
系数化为1，得x＝15.
类型2：移项解一元一次方程
2．解下列方程：
(1)2x－19＝7x＋6；
解：移项，得2x－7x＝19＋6，
合并同类项，得－5x＝25，
系数化为1，得x＝－5.
(2)x－2＝x＋.
解：移项，得x－x＝2＋，
合并同类项，得 x＝，
系数化为1，得x＝5.
类型3：去括号解一元一次方程
3．解下列方程：
(1)3x－7(x－1)＝3－2(x＋3)；
解：去括号，得3x－7x＋7＝3－2x－6，
移项、合并同类项，得－2x＝－10，
系数化为1，得x＝5.
(2)1－8( ＋0.5x)＝3(1－2x)．
解：去括号，得1－2－4x＝3－6x，
移项，得－4x＋6x＝3＋2－1，
合并同类项，得2x＝4，
系数化为1，得x＝2.
类型4：去分母解一元一次方程
4．解下列方程：
(1) ＝ x－1；
解：去分母，得4x－2＝x－4，
移项，得4x－x＝2－4，
合并同类项，得3x＝－2，
系数化为1，得x＝－23.
(2)2－＝－；
解：去分母，得12－2(2x－4)＝－(x－7)，
去括号，得12－4x＋8＝－x＋7，
移项，得－4x＋x＝7－12－8，
合并同类项，得－3x＝－13，
系数化为1，得x＝.
(3) －＝1.
解：整理，得 －＝1，
去分母，得7(10x＋10)－4(2x－10)＝28，
去括号，得70x＋70－8x＋40＝28，
移项、合并同类项，得62x＝－82，
系数化为1，得x＝－.(共22张PPT)
5．2.2 解一元一次方程
第1课时 去括号
知识点1：一元一次方程的概念
1．(梁山县期末)下列选项中，是一元一次方程的是( )
A．1＋2x B．2x＋y－4
C．3x＋1＝x D．x2－3x－4
C
2．(江油月考)若方程(m＋2)x＝1是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠－2 B．m≠0
C．m≠2 D．m＞－2
A
【变式1】如果方程(m－3)x2＋x－1＝0是关于x的一元一次方程，那么m＝ .
【变式2】(宜宾月考)若5x|a－1|－3＝6是关于x的一元一次方程，则a的值为 .
3
2或0
知识点2：去括号解一元一次方程
3．将方程3(x－1)＝6去括号，正确的是( )
A．3x－1＝6 B．x－3＝6
C．3x＋3＝6 D．3x－3＝6
D
4．解方程 ( x－30)＝7，较简便的是( )
A．先两边都除以
B．先去括号
C．先两边都乘以
D．先把方程的两边同乘以20
B
5．(梁山县期末)研究下面解方程1＋4(2x－3)＝5x－(1－3x)的过程：
去括号，得1＋8x－12＝5x－1－3x，①
移项，得8x－5x＋3x＝－1－1＋12，②
合并同类项，得6x＝10，③
系数化为1，得x＝.
对于上面的解法，你认为( )
A．完全正确 B．变形错误的是①
C．变形错误的是② D．变形错误的是③
B
6．完成求方程5(x－1)＝3(x＋1)解的过程：
解：去括号，得 ；
移项，得 ；
合并同类项，得 ；
系数化为1，得 .
5x－5＝3x＋3
5x－3x＝5＋3
2x＝8
x＝4
7．解下列方程：
(1)5x＝3(x－4)；
解：去括号，得5x＝3x－12
移项，得5x－3x＝－12，
即2x＝－12，
两边都除以2，得x＝－6.
(2)1－3(x－2)＝4；
解：去括号，得1－3x＋6＝4，
移项、合并同类项，得－3x＝－3，
系数化为1，得x＝1，
∴这个方程的解为x＝1.
(3)3(x－2)－2(4x－1)＝11.
解：去括号，得3x－6－8x＋2＝11，
移项、合并同类项，得－5x＝15，
系数化为1，得x＝－3，
∴这个方程的解为x＝－3.
易错点：去括号时符号出错
8．解方程3－(x－6)＝5(x－1)时，去括号得 .
3－x＋6＝5x－5
9．设p＝2x－1，q＝4－3x，则5p－6q＝7时，x的值应为( )
A．－ B. C．－ D.
D
10．如果5x＋4的值与2(1－x)的值互为相反数，那么x＝ .
11．若关于x的方程(a＋2b)x2＋ax＋b＝0是一元一次方程，且ab≠0，则方程的解是 .
12．(邓州期中)定义a b＝(a－2)(b＋1)，例如2 3＝(2－2)×(3＋1)＝0×4＝0，则方程－4 (x＋3)＝6的解为 .
－2
x＝
x＝－5
13．解下列方程：
(1)1－2x＝(＋6x)；
解：去括号，得1－2x＝＋2x，
移项、合并同类项，得－4x＝－，
系数化为1，得x＝.
(2)4x－2(3x－2)＝ (x－3)；
解：去括号，得4x－6x＋4＝x－1，
移项、合并同类项，得－x＝－5，
系数化为1，得x＝.
(3) [3( ＋x)－（6x－2）]＝－；
解：去括号，得＋2x－4x＋＝－，
移项，得2x－4x＝－－－，
即－2x＝－2，
系数化为1，得x＝1.
(4)3x－[3(x＋1)－(1＋4x)]＝1.
解：去中括号，得3x－(3x＋3－1－4x)＝1，
即3x－(－x＋2)＝1，
去小括号，得3x＋x－2＝1，
移项、合并同类项，得4x＝3，
系数化为1，得x＝.
14．若方程3(2x－1)＝2－3x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，求k的值．
解：去括号，得6x－3＝2－3x，
移项、合并同类项，得9x＝5，
系数化为1，得x＝，
∵方程的解也是方程6－2k＝2(x＋3)的解，
∴6－2k＝2(＋3)，解得k＝－，
∴k的值为－.
15．在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“2y－＝y＋”中的没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“是一个有理数，该方程的解与当x＝2时代数式5(x－1)－2(x－2)－4的值相同．”小聪很快补上了这个常数．同学们，你们能补上这个常数吗？
解：当x＝2时，
5(x－1)－2(x－2)－4＝1，即y＝1，
代入方程中得2×1－＝×1＋，
解得＝1.即这个常数是1.(共22张PPT)
第3课时 列一元一次方程解简单的应用题
知识点1：根据“两个量相等”列方程
1．甲、乙两仓库共运进货物1 260 t，如果从甲仓库调出120 t货物到乙仓库，则两个仓库的货物一样多，甲仓库原来运进货物( )
A．510 t B．600 t
C．750 t D．780 t
C
2．用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．设用x张白铁皮制盒身，则可列方程为 ．
2×15x＝41×(150－x)
3．(渠县期末)列方程解应用题：某车间有15个工人生产水桶、扁担两种商品，已知每人每天平均能生产水桶80个或扁担110个，则应分配多少人生产水桶、多少人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套？(每2个水桶和1个扁担配成一套)
解：设分配x人生产水桶，则分配(15－x)人生产扁担，由题意，得80x＝2×110(15－x)，
解得x＝11，则15－x＝15－11＝4.
答：分配11人生产水桶，4人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套．
知识点2：根据“部分量之和等于总量”列方程
4．某城举行自行车环城赛，最快的人在开始45 min后遇到最慢的人，已知最慢的人的速度是x km/h，是最快的人的速度的 ，环城一周是6 km，由此可知最慢的人的速度是( )
A．20 km/h B．25 km/h
C．28 km/h D．15 km/h
A
5．(南江月考)一份数学试卷，只有25道选择题，做对一题得 4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了( )
A．17道 B．18道
C．19道 D．20道
C
6．某校七(1)班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的 多3人，则这个班女生人数为 .
23
7．某校七年级共有60名学生参加语文、数学两种兴趣小组，现在从数学组调5人到语文组，这样，数学组的人数为语文组人数的2倍，求原语文组、原数学组的人数．
解：设数学组原有x人，则语文组原有(60－x)人．
依题意，得
x－5＝2(60－x＋5)，
解得x＝45，
60－x＝15 人．
经检验，符合题意，
答：原语文组有15人，原数学组有45人．
8．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，则原来有多少只鸽子和多少个鸽笼？
解：设原来有x个鸽笼，依题意，得
(6x＋3)＋5＝8x, 解得x＝4，
6x＋3＝6×4＋3＝27.
经检验，符合题意．
答：原来有27只鸽子，4个鸽笼．
9．在某工程施工现场，调来72名司机师傅参加挖土和运土工作，已知3名司机师傅挖出的土 1名司机师傅恰好能开车全部运走，怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设：派x名司机师傅挖土，其他的人运土，列方程：①＝；②72－x＝；③x＋3x＝72；④＝3.上述所列方程中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
10．从甲地到乙地，公共汽车原来需要行驶7 h，开通高速公路后，路程缩短了20 km，车速平均每小时增加了40 km，只需要4 h即可到达，则甲、乙两地之间高速公路的路程是( )
A．320 km B.380 km
C．400 km D.420 km
C
11．(宁波中考)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法．其余用B方法．
(1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
解：(1)∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时(19－x)张用B方法．
∴侧面的个数为6x＋4(19－x)＝(2x＋76)个，
底面的个数为5(19－x)＝(95－5x)个．
(2)由题意，得 2(2x＋76)＝3(95－5x)，
解得x＝7，
∴盒子的个数为 ＝30.
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
微专题1：古代数学问题中的一元一次方程
【方法指导】与一元一次方程有关的中国古代数学问题可概括为两种基本类型：
(1)调配问题：调配前的总数＝调配后的总数；
(2)和、差、倍、分问题：分量＋分量＝总量．
【针对训练】
1．明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成．”意思：有83 000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管或笔套的短竹的数量，使制成的 1个笔管与 1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 ．
3x＝5(83 000－x)
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”大意：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，一共走了6天才到达目的地．设此人第六天走的路程为x里，依题意，可列方程为 .
x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＝378(共12张PPT)
第3课时 通过二次变形解方程
知识点1：移项法解方程
1．方程3x＋6＝2x－8移项后正确的是( )
A．3x－2x＝6－8 B．3x－2x＝8＋6
C．3x－2x＝8－6 D．3x－2x＝－6－8
D
2．下列方程中，解方程时，既需要移含未知数的项，又需要移常数项的是( )
A．x－6x＝－18－12 B．x＝－15－6x
C．x－6＝－18 D．2x＋7＝x－18
D
3．解下列方程：
(1)3x＋1＝7;
解：移项，得3x＝6,
两边都除以3，得x＝2.
(2)5－3x＝8x＋1.
解：移项，得－3x－8x＝1－5，
即－11x＝－4，
两边都除以－11，得x＝411.
知识点2：移项法解方程的简单应用
4．若代数式3x＋2和－2x＋1互为相反数，则x的值为( )
A．3 B．－3
C.5 D.－5
B
5．若代数式4x－5的值比3x的值小7，则x的值是( )
A．－ B．－12
C．2 D．－2
D
6．当x＝ 0时，代数式3x－2的值与 互为倒数．
7．解下列方程：
(1) x＝＋x；
解：移项，得 x－x＝，
即x＝，
两边都除以，得x＝.
(2)4.5x－8＋2x＝16－1.5x.
解：移项，得4.5x＋1.5x＋2x＝16＋8，
即8x＝24，
两边都除以8，得x＝3.
8．若单项式－a3m－2b4与单项式 am＋2bn＋3的和仍为单项式，试判断x＝是不是方程 2x－3＝0的解．
解：∵单项式－a3m－2b4与单项式 am＋2bn＋3
的和仍为单项式，
∴－a3m－2b4与am＋2bn＋3为同类项，
即3m－2＝m＋2，n＋3＝4，解得m＝2，n＝1，
∴x＝＝1，将x＝1代入方程左边，得
2－3＝－1≠0，
∴x＝不是方程2x－3＝0的解．(共22张PPT)
第2课时 去分母
知识点：去分母解一元一次方程
1．要将方程 －4＝x中的分母去掉，需要在方程的两边同时乘以( )
A．6 B．9
C．18 D．24
C
2．(重庆中考)解一元一次方程 (x＋1)＝1－x时，去分母正确的是( )
A．3(x＋1)＝1－2x B．2(x＋1)＝1－3x
C．2(x＋1)＝6－3x D．3(x＋1)＝6－2x
D
3．(宁乡期末)将方程 ＝1＋中分母化为整数，正确的是( )
A.＝10＋ B.＝10＋
C.＝1＋ D.＝1＋
C
4．一元一次方程 ＝ 的解是( )
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝1 D．x＝2
C
5．若代数式3x－的值为1，则x的值是( )
A．－1 B．1
C． D．－
C
6．在等式S＝中，已知 S＝279，b＝7，n＝18，则a的值为( )
A．18 B．20 C．22 D．24
D
7．解方程 (x－1)－1＝(x－1)＋4的最佳方法是( )
A．去括号
B．去分母
C．移项合并(x－1)项
D．以上方法都可以
C
8．完成求解方程 ＝2－的过程．
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
所以方程的解为 .
3(x－1)＝24－2(4x－3)
3x－3＝24－8x＋6
3x＋8x＝24＋6＋3
11x＝33
x＝3
x＝3
9．解下列方程：
(1) ＝；
解：3x－3＝5x，
－2x＝3，
x＝－.
(2) ＝－1;
解：3x－1＝2x－4，
3x－2x＝－4＋1，
x＝－3.
(3) －＝1.
解：3(y＋2)－2(2y－3)＝12，
3y＋6－4y＋6＝12，
－y＝0，
y＝0.
易错点：去分母时，漏乘不含分母的项
10．解方程 －＝1时，去分母得 .
4x＋2－10x－1＝6
11．把方程 ＋＝16的分母化为整数，结果应为( )
A.＋＝16
B.＋＝16
C.＋＝160
D.＋＝160
B
12．(济南中考)代数式 与代数式3－2x的和为4，则x＝ .
－1
13．解下列方程：
(1)(1－)＝－x＋1；
解：去分母，得10(1－)＝－21x＋6，
去括号，得10－5x－15＝－21x＋6，
移项、合并同类项，得16x＝11，
系数化为1，得x＝.
(2)－＝1－.
解：去分母，得
4(2x－1)－2(10x－3)＝12－3(2x＋1)，
去括号，得8x－4－20x＋6＝12－6x－3，
移项、合并同类项，得－6x＝7，
系数化为1，得x＝－.
14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x＋1＝0为“美好方程”．
(1)若关于x的方程3x＋m＝0与方程4x－2＝x＋10 是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程 x＋3＝2x＋k 和 x＋1＝0是“美好方程”，利用整体思想，求关于y的一元一次方程(y－1)＋3＝2(y－1)＋k的解．
解：(1)∵3x＋m＝0，∴x＝－，
∵4x－2＝x＋10，∴x＝4，
∵关于x的方程3x＋m＝0与方程
4x－2＝x＋10是“美好方程”，
∴－＋4＝1，∴m＝9.
(2)∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为1－n，
∵两个解的差为8，
∴1－n－n＝8或n－(1－n)＝8，
∴n＝－或n＝.
(3)∵x＋1＝0，
∴x＝－2 025，
∵关于x的一元一次方程 x＋3＝2x＋k和 x＋1＝0是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程x＋3＝2x＋k的解为x＝1－(－2 025)＝2 026，
∴关于y的一元一次方程
(y－1)＋3＝2(y－1)＋k中，
y－1＝2 026，∴y＝2 027.
