(共22张PPT)
第2课时 三角形的外角和
知识点1：三角形的外角
1.如图，下列各角中是△ABC的外角的是 .
∠3
知识点2：三角形的外角性质
2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADB＝130°，∠CAD＝54°，则∠C＝____.
76°
3.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝
40°，则∠ECD的度数是 .
50°
4.如图，则x＝ .
50
5.如图，∠1＝50°，∠2＝125°，则∠3＝ .
105°
6.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是 .
75°
7.如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.∠B＝25°，∠E＝15°.求∠BAC的度数.
解：∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝40°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECA＝∠ECD＝40°，
又∵∠BAC是△ACE的一个外角，
∴∠BAC＝∠ECA＋∠E＝55°.
知识点3：三角形的外角和
8.如图，已知∠1＝∠2＝130°，那么∠3的度数是( )
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
C
9.如果一个三角形两个不同顶点处的外角的和等于300°，则这个三角形一定是 .
钝角三角形
10.如果一个三角形的三个外角之比为5∶6∶7，求这个三角形的最大内角的度数.
解：设三角形的三个外角度数为5x，6x，7x，
则5x＋6x＋7x＝360°，∴x＝20°，
∴5x＝100°，6x＝120°，7x＝140°，
∴最大内角的度数为180°－100°＝80°.
易错点：在运用三角形外角性质时忽略“不相邻” 这个限制条件
11.下列说法中，正确的个数为( )
①三角形的一个外角大于与它相邻的内角；②三角形的任何一个外角大于与它不相邻的内角；③三角形的三个外角和等于180°；④三角形的三个外角中最多有3个锐角.
A.1 B.2 C.3 D.4
A
12.如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是( )
A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B.∠1＋∠2＝∠4－∠3
C.∠1＋∠4＝∠2＋∠3
D.∠1＋∠4＝∠2－∠3
D
13.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC的度数为( )
A.24°
B.31°
C.50°
D.52°
A
14.如图，D是△ABC中BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，
∠BAC＝70°，求∠B和∠C的度数.
解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B.
∴∠B＝40°.
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝70°.
∴∠B和∠C的度数分别为40°和70°.
15.如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D.
(1)若∠A＝50°，则∠D＝ ；
(2)若∠A＝80°，则∠D＝ ；
(3)若∠A＝130°，则∠D＝ ；
(4)若∠D＝36°，则∠A＝ ；
(5)综上所述，可以得到什么结论？
25°
40°
65°
72°
解：∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，
∵∠ACE＝∠ABC＋∠A，
∴2∠2＝2∠1＋∠A，
而∠2＝∠1＋∠D，
∴2∠2＝2∠1＋2∠D，
∴∠A＝2∠D，即∠D＝∠A.
16.【阅读】三角形的外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
例如：在图①中，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD＝∠A＋∠B.理由：∠ACD＋∠ACB＝180°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
【实践】小轩在课外书上看到这样一题：如图②，在五角星形ABCDE中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.小轩思考：∠AFG是△FEC的外角，根据“三角形的外角定理”可得∠AFG＝ ，类似地，∠AGF＝
，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
∠E＋∠C
∠B＋∠D
180°
【应用】如图③，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D.随着点A，B的运动，∠D的度数为 .
45°(共10张PPT)
小专题(二十五) 三角形的角平分线、高线的夹角模型
同一顶点处角的平分线、高线夹角模型
【模型展示】已知AE, AD分别为△ABC的角平分线和高线(∠B＞∠C)。
如图①， AD在△ABC的内部时，∠DAE＝(∠B－∠C)；
①
如图②，AD在△ABC的外部时，∠DAE＝(∠ABC－∠C)。
同理，△ABC为直角三角形(∠B＝90°)时，此结论也成立。
②
【母题】如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数。
解：因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝180°－∠C－∠ADC＝20°，
因为AE是∠BAC的角平分线，
所以∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝25°，
同理可得∠ABO＝∠ABC＝(180°－∠C－∠BAC)＝30°，
所以∠BOA＝180°－∠ABO－∠BAE＝125°。
【变式1】 高线在三角形外部，与三角形的角平分线经过三角形的同一顶点
1.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为 。
40°
【变式2】 垂线在三角形内部，与三角形的角平分线交于任意一点
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE交于点O，OF⊥BC，若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DOF的度数。
解：因为∠C＝70°，∠BAC＝60°，
所以∠ABC＝50°，
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠BAC＝30°，
所以∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＝80°，
因为OF⊥BC，所以∠OFD＝90°，
所以∠DOF＝90°－∠ADC＝10°。
【变式3】 垂线在三角形外部，与三角形角平分线的延长线(或反向延长线)交于任意一点
3.如图，AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC交BC于点E，
∠B＝40°，∠C＝70°。求∠DFE的度数。
解：因为∠B＝40°，∠C＝70°，
所以∠BAC＝70°，
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD＝35°，
所以∠ADE＝∠B＋∠BAD＝75°，
因为FE⊥BC，所以∠FEB＝90°，
所以∠DFE＝90°－∠ADE＝15°。(共23张PPT)
复习提升(四) 三角形
【重难点突破】
重难点1：与三角形有关的线段及分类
1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝7 cm，AC＝5 cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多（ ）
A.2 cm B.5 cm C.7 cm D.13 cm
A
2.如图，用三角板作△ABC的边AC上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
D
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CDB＝90°，CE是△ABC的角平分线，已知∠CEB＝105°，求∠ECD的度数.
解：∵∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE＝∠ACB＝45°，
∵∠CEB＝105°，
∴∠B＝180°－45°－105°＝30°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，
∴∠ECD＝∠BCD－∠BCE＝60°－45°＝15°.
重难点2：三角形的三边关系
4.以下列每组数为长度(单位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A.2，2，4 B.1，2，3
C.3，4，5 D.3，4，8
C
5.已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果
是 .
2b－2c
6.若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长.
解：解方程组，得a＝4，b＝1，
∴4－1＜c＜4＋1，即3＜c＜5 ，
∵三角形的周长为整数，
∴c＝4，∴三角形的周长为4＋1＋4＝9.
重难点3：三角形的内角和与外角的性质
7.如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF交CD于点H，若∠BEF＝62°，则∠DHF的度数为（ ）
A.14°
B.15°
C.28°
D.30°
C
8.如图，顺次连接同一平面内A，B，C，D四点，∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数为（ ）
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
B
9.(盐津县月考)如图，D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝78°，则∠2的度数是（ ）
A.78°
B.80°
C.50°
D.60°
A
10.如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.
(1)求∠B的度数；
(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数.
解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∠A＝35°，∠ACD＝83°，
∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.
(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，
∠B＝48°，∠D＝42°，
∴∠AFE＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.
重难点4：多边形的内角和与外角和
11.若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6
B
12.(河北中考)如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α＋β的度数为（ ）
A.115°
B.120°
C.135°
D.144°
B
13.如图，亭子的地基平面图是一个正五边形ABCDE，连接AC和AD，已知∠BAC＝∠BCA＝∠EAD＝∠EDA，则∠CAD的度数为 .
36°
重难点5：用正多边形铺设地面
14.用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中两块木板的边数分别为4，6，则第三块木板的边数为（ ）
A.6
B.8
C.12
D.14
C
15.如图①，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形.用n个全等的正五边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n＝ .
10
【综合提升】
16.【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”.其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.
【问题解决】
(1)如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ ；
(2)如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ ；
40°
90°
(3)如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数.
解：(3)∵BP⊥CP，∴∠P＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝90°，
∵BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－135°＝45°.(共23张PPT)
8.1.3 三角形的三边关系
知识点1：三角形的三边关系
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.2，3，5
B.4，5，9
C.20，15，8
D.5，15，8
C
2.(金华中考)在下列长度的四条线段中，能与长为6 cm，8 cm 的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A.1 cm
B.2 cm
C.13 cm
D.14 cm
C
3.如图，在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（ ）
A.三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B.三角形的内角和是180°
C.三角形任意一个外角大于和它不相邻的内角
D.三角形任意两边之和大于第三边
D
4.三角形的三边长分别为9，a，16，则a的取值范围是 .
5.小李想利用长为40 cm和50 cm的细木条制作一个三角形晾衣架，他需要将其中一根木条分为相等的两段与另一根组成三角形(不考虑损耗和接头部分)，则小李选择要分段的细木条长度应为 cm.
7＜a＜25
50
6.三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小.
(1)求x的取值范围；
(2)当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？
解：(1)由三角形的构造条件，得2＜x＜10，
∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤4.
(2)当x＝4时，三角形的周长最大，
且最大值是4＋6＋4＝14.
7.如图，在△ABC的边AB上截取AD＝AC，连接CD.
(1)试说明2AD>CD；
(2)试说明BD
解：(1)在△ACD中，
AD＋AC>CD，
∵AD＝AC，∴2AD>CD.
(2)∵BC＋AC>AB，∴BC＋AC>AD＋BD.
∵AC＝AD，∴BD＜BC.
知识点2：三角形的稳定性
8.将一平板保护套展开放置在水平桌面上，如图所示，平板能保持平稳，这是运用了（ ）
A.三角形内角和等于180°
B.两点之间，线段最短
C.三角形具有稳定性
D.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
C
9.如图①是模拟细胞结构设计的一栋综合办公大楼的局部图.其外立面均为正六边形的框式，为保证建筑的稳定性，设计师计划在正六边形内部加三根钢架连接它的顶点.若你是设计师，请在如图②所示的六边形中画出你的设计方案(一种即可).
解：连接方式如答图(答案不唯一).
10.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，点E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A.A，C两点之间
B.E，G两点之间
C.B，F两点之间
D.G，H两点之间
B
11.等腰三角形的两边长分别为3，7，则其腰长为（ ）
A.6 B.3或7 C.3 D.7
【变式】已知等腰三角形的一边长为6 cm，另一边长为7 cm，则该等腰三角形的周长为 .
D
19 cm或20 cm
12.已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－2)2＋|b－4|＝0，若c为偶数，则△ABC的周长为 .
10
13.已知等腰三角形的周长为20 cm.
(1)若腰长是底边长的2倍，求三边长；
(2)若有一边长为6 cm，求三边长.
解：(1)设底边长x cm，腰长为2x cm，则
x＋2x＋2x＝20，解得x＝4，
∴2x＝2×4＝8(cm).
故三边长为8 cm，8 cm，4 cm.
(2)∵长为 6 cm的边可能是腰，也可能是底，∴要分两种情况计算：
①6 cm是底，设腰为y的情况：
2y＋6＝20，y＝7，符合三角形三边关系；
②6 cm是腰，设底为m的情况：
2×6＋m＝20，m＝8，符合三角形三边关系.
故三边长为6 cm，7 cm，7 cm或6 cm，6 cm，8 cm.
14.已知点P是△ABC内任意一点.
(1)如图①，试说明AB＋AC>PB＋PC；
(2)如图②，连接PA，试比较(AB＋AC＋ BC)与PA＋PB＋PC的大小关系.
解：(1)延长BP交AC于点D.
根据三角形两边之和大于第三边得
AB＋AD>BD，CD＋DP>PC，
∴AB＋AD＋CD＋DP>BD＋PC.
∴AB＋AC＋DP>BP＋PD＋PC.
∴AB＋AC>PB＋PC.
(2)根据三角形两边之和大于第三边得PA＋PB>AB，PB＋PC>BC，
PC＋PA>AC，
∴2(PA＋PB＋PC)>AB＋AC＋BC.
∴PA＋PB＋PC>(AB＋AC＋BC).
15.大力加强农村小型水利工程建设，是当今保护环境的一项重要环节，也是建设社会主义新农村的重要内容.如图，AB为一条水渠，C，D，E，F为水渠同侧的四个村庄.
(1)在四个村庄内部建立一个蓄水池P，使得四个村庄到蓄水池的距离之和最小，画出点P的位置，并说明理由；
(2)要把水渠中的水引到点P，应该在渠岸的什么地方开沟，才能使沟到P的距离最短？画出图形并说明理由.
解：如图.(1)根据两点之间线段最短，连接DF，CE，交点即为点P的位置，理由：取不同于点P的一点，则由两边的和大于第三边可得点P到四个村庄的距离之和最小.
(2)点Q即为所求.理由：垂线段最短.(共13张PPT)
小专题(二十一) 三角形的高与中线
一、利用三角形的高求值或证明
1.如图，在△ABC中，∠ABC为钝角.
(1)画出△ABC的高AD和BE；
(2)若AC＝10，BC＝6，BE＝3.求AD的长.
解：(1)如图所示.
(2)∵S△ABC＝AC·BE＝BC·AD，
AC＝10，BC＝6，BE＝3，
∴10×3＝6AD，∴AD＝5.
2.如图，BE是△ABC的高.
(1)如图①，AD⊥BC于点D.若AC＝6, BC＝3，试说明AD＝2BE；
(2)如图②，D为BC边上一点， DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.若AB＝AC.试说明DM＋DN＝BE.
解：(1)∵S△ABC＝BC·AD＝AC·BE，
AC＝6，BC＝3，
∴×3AD＝×6BE，
∴AD＝2BE.
(2)连接AD.
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴AC·BE＝AB·DM＋AC·DN，
∵AB＝AC，
∴AC·BE＝AC·DM＋AC·DN，
∴DM＋DN＝BE.
二、利用三角形的中线求值
3.(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，中线AD将△ABC的周长分成的两个部分的差为2，求AB的长；
(2)如图②，在△ABC中，AB＝10，
AC＝6，D是BC的中点，点E在边
AB上，△BDE与四边形ACDE的周长
相等，求AE的长.
解：(1)依题意，得
(AB＋BD)－(AC＋CD)＝2，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
∴AB－AC＝2，∵AB＝AC，
∴AC＝2，AC＝4，∴AB＝×4＝6.
(2)∵△BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD＋DE＋BE＝AC＋AE＋CD＋DE，
∵BD＝DC，∴BE＝AE＋AC，设AE＝x，
则BE＝10－x，∴10－x＝x＋6.
解得x＝2，∴AE＝2.
4.如图，BD是△ABC的中线，E是BC上一点，BE＝2CE，AE，BD交于点F，连接DE，S△ABC＝12.
(1)求S△BDE的值；
(2)求S△ABF－S△DEF的值.
解：(1)∵BD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△CBD＝S△ABC＝6.
∵BE＝2CE，∴S△BDE＝2S△CDE，
∴S△BDE＝S△CBD＝×6＝4.
(2)S△ABF－S△DEF＝S△ABF＋S△BEF－(S△DEF＋S△BEF)
＝S△ABE－S△BDE＝S△ABC－4＝4.(共13张PPT)
8.3.2 用多种正多边形
知识点1：用两种正多边形铺设地面
1.下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是（ ）
D
2.一个正多边形每个外角都等于30°，若用这种多边形拼接地板，需与下列哪种正多边形组合（ ）
A.正四边形
B.正六边形
C.正八边形
D.正三角形
D
3.一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成，其中有两个正八边形，那么另一个是（ ）
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
B
4.用正三角形和正方形镶嵌一个平面，在同一个顶点处，正三角形和正方形的个数之比为 .
3∶2
知识点2：用两种以上的正多边形铺设地面
5.学校新建的礼堂计划用三种边长相同的正多边形组合铺地板，现在已经选好了正十五边形、正三角形两种地板，那么第三种地板可以选正 边形.
十
6.工人师傅选用三种规格的边长都是1 m的正多边形地砖铺地，他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处，则选用的这块正多边形地砖的周长是 m.
12
7.如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12
D
8.如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，
则∠BAD＝ .
60°
9.由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图①、图②、图③，完成如下解答.
图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数
① 1 6 6
② 2
③ 3
(1)填写下表：
11
10
16
14
(2)Ⅰ)图n中，正方形地砖数量为 块、正三角形地砖的数量为 块；
Ⅱ)求图⑩中正方形地砖和正三角形地砖的总数量.
(5n＋1)
(4n＋2)
解：(2)Ⅱ)当n＝10时，
(5×10＋1)＋(4×10＋2)＝51＋42＝93(个).
答：图⑩中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为93个.(共11张PPT)
小专题(二十八) 用转化与分类讨论思想求角度
一、转化思想
(一)四边形三角形
1.如图，∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝20°，求∠ADC的度数.
解：∠ADC＝100°.
方法一：延长AD交BC于点E.
方法二：作射线BD.
方法三：连接AC.
(二)多边形三角形或四边形
2.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
解：连接BE.
∵∠D＋∠C＝∠OBE＋∠OEB，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠F＋∠ABE＋∠BEF＝360°.
(三)未知元素已知元素
3.如图，∠BMC＝130°，∠AND＝80°，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数.
解：连接MN.设AN，BM交于点E.
则∠A＋∠B＝∠BMN＋∠ANM.
同理可得∠C＋∠D＝∠CMN＋∠DNM，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＝∠BMN＋∠ANM＋∠CMN＋∠DNM
＝∠BMC＋∠AND＝210°.
二、分类讨论
(一)高的位置不明→分类讨论
4.在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°， ∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，求∠EAD 的度数.
解：当高AD在△ABC内部时，∠EAD＝20°；
当高AD在△ABC外部时，∠EAD＝40°.
综上所述，∠EAD的度数为20°或40°.
(二)三角形形状不明→分类讨论
5.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数.
解：如图①，∠BAC为锐角时，∠C＝65°；
如图②，∠BAC为钝角时，∠C＝25°.
综上所述，∠C的度数为65°或25°.
6.已知非直角△ABC中，∠A＝40°，高BD和CE所在直线交于点H，
求∠BHC的度数.
解：如图①，△ABC为锐角三角形时，∠BHC＝140°；
如图②，△ABC为钝角三角形时，∠BHC＝40°.
综上所述，∠BHC的度数为140°或40°.(共11张PPT)
小专题(二十四) 三角形三边关系的几种常见应用
类型1：判断三条线段能否组成三角形
1.在下列长度的四根木棒中，能与2 m，5 m长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A.2 m B.3 m C.5 m D.7 m
C
类型2：利用三角形三边关系求字母的值或取值范围
2.若三条线段a，b，c可组成三角形，且a＝4，b＝7，c是奇数，则c的值为 .
3.一个三角形三条边长分别为x cm，(x＋1)cm，(x＋2)cm，它的周长不超过39 cm，则x的取值范围是 .
5，7或9
14.在△ABC中，AB＝8，BC＝2a＋2，AC＝22.
(1)求a的取值范围；
(2)若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长.
解：(1)依题意，得22－8<2a＋2<22＋8，
解得6(2)当AB＝BC时，此时BC＝AB＝8，
AC＝22，不能构成三角形.
当BC＝AC时，2a＋2＝22，则a＝10，此时AB＝8，
BC＝AC＝22，其周长为22＋22＋8＝52.
5.已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x－1，5x－3，求这个等腰三角形的周长.
解：①当x＝2x－1时，x＝1，其三边为1，1，2，不能构成三角形；
②当x＝5x－3时，x＝，其三边为，，，能构成三角形，
周长为＋＋＝2；
③当2x－1＝5x－3时，x＝，其三边为，，，不能构成三角形.
综上所述，这个等腰三角形的周长为2.
类型3：利用三角形的三边关系化简求值
6.已知a，b，c是△ABC的三边长.
(1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；
(2)化简：|a＋b－c|＋|b－c－a|.
解：(1)∵|a－b|＋|b－c|＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，
∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形.
(2)∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＋b＞c，a＋c＞b，
∴原式＝a＋b－c＋[－(b－c－a)]
＝a＋b－c－b＋c＋a
＝2a.
类型4：利用三角形的三边关系证明不等关系
7.如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O.试说明AC＋ BD>(AB＋BC＋CD＋DA).
解：∵在△OAB中，OA＋OB>AB，
在△OAD中，OA＋OD>DA，
在△ODC中，OD＋OC>CD，
在△OBC中，OB＋OC>BC，
∴OA＋OB＋OA＋OD＋OD＋OC＋OB＋OC>AB＋DA＋CD＋BC，
即2(AC＋BD)>AB＋BC＋CD＋DA，
∴AC＋BD>(AB＋BC＋CD＋DA).(共20张PPT)
第8章 三角形
8．1 与三角形有关的边和角
8．1.1 认识三角形
第1课时 三角形的定义与分类
知识点1：三角形的有关概念
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
D
2．看图填空：
(1)图中共有 个三角形，分别是 1
；
(2)△BGE的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ；
(3)在△AEF中，顶点A所对的边是 ，边AF所对的顶点是 ；
(4)∠ACB是△ 的内角，∠BEF是△ 的外角，∠ACB的对边是
.
4
△ABC，△EBG，
△AEF，△CGF
B，G，E
BE，EG，BG
∠B，∠BEG，∠BGE
EF
E
ACB
AEF
AB
3．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.
(1)图中共有多少个以AB为边的三角形？并把它们表示出来；
解：以AB为边的三角形有
4个，△ABF，△ABD，
△ABE，△ABC.
(2)除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？
解：除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF，△AEF.
知识点2：三角形的分类
4.如图，图中直角三角形共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
5.三角形按边分类可以用集合来表示，如图，图中小圆里的A表示的是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
D
6.观察下面的三角形，并把它们的标号填在相应的圈内.
③⑤
①④⑥
②⑦
7.一个三角形的三个角的比是2∶5∶11，最小角的度数是20°，这是一个
三角形.
8.一个等腰三角形一腰长为4 cm，第三边长为3 cm，则其周长为 cm.
钝角
11
9.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ )
C
10.若△ABC的三边a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.以上都不对
C
11.如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中共有 个等腰三角形，有 个等边三角形.
4
1
12.若一个三角形三边的长度比为2∶3∶3，周长为32 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形.
8 cm，12 cm，12 cm
等腰
13.数学课上，王老师带领同学们探究：将一个三角形纸片沿一个角的顶点所在直线剪开后能得到两个什么形状的三角形.下面是同学们的判断.小明：两个三角形可能都是锐角三角形；小颖：两个三角形可能都是直角三角形；小刚：两个三角形可能都是钝角三角形.以上几位同学中说法错误的是 .
小明
14.如图，点D在△ABC的边BC上，作射线BA，DF.
(1)△ABC的内角有 ；
(2)△ABD的外角有 ；
(3)若∠BAC＝∠DAE，试说明∠CAE＝∠EAF.
∠B，∠C，∠BAC
∠BAF，∠DAE，∠ADC
解：(3)∵∠BAC＋∠CAE＝180°，
∠DAE＋∠EAF＝180°，且∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠EAF.
15.(教材P83练习T1变式)在如图所示的方格中，以AB为一边，以小正方形的格点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来.
(1)等腰钝角三角形；(2)等腰直角三角形；
(3)等腰锐角三角形.
解：(答案不唯一).
(1)△ABC即为所求.(2)△ABD即为所求.
(3)△ABE即为所求.
16.(推理能力)已知△ABC.
(1)如图①，若P为BC边上的任意一点(与点B，C不重合)，则图中共有
个三角形；
(2)如图②，若P1，P2分别为BC边上的任意两点(与点B，C不重合)，则图中共有 个三角形；
3
6
(3)若在BC边上任取4个点(与点B，C不重合)，则有 个三角形；
(4)若在BC边上任取n个点(与点B，C不重合)，则共有 个三角形.
15(共23张PPT)
第2课时 多边形的外角和
知识点1：多边形的外角和
1.正十二边形的外角和为( )
A.360°
B.720°
C.1 800°
D.2 160°
A
2.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
C
3.(兰州中考)如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数是( )
A.45° B.60° C.110° D.135°
A
4.如图，将五边形纸片剪掉一角得到六边形，设五边形的外角和度数为α，六边形的外角和度数为β，比较α与β的大小，结果正确的是( )
A.α－β＞0
B.α－β＝0
C.α－β＜0
D.无法确定
B
5.已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数.
解：设四边形的最小外角为x°，
则其他三个外角分别为2x°，3x°，4x°.
根据四边形外角和等于360°，得
x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.解得x°＝36°，
∴2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°，
∴四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
6.如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O.若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，求∠BOD的度数.
解：∵七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O，
∴OEFGA是五边形，
∵∠1，∠2，∠3，∠4的外角的和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝4×180°－220°＝500°，
∴∠BOD＝(5－2)×180°－500°＝40°.
知识点2：多边形的内角和与外角和的综合应用
7.若n边形的内角和等于它外角和的2倍，则边数n为（ ）
A.7
B.6
C.5
D.4
B
8.若一个正多边形的每个内角为135°，则这个多边形的内角和为（ ）
A.1 260°
B.1 080°
C.900°
D.720°
B
9.一个多边形除一内角外，其余内角和与外角和之和为1 560°.
(1)该多边形的边数为 ；
(2)若该多边形为正多边形，每一个外角的度数为 .
9
40°
10.(云县期中)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角多60°，求这个多边形的边数.
解：设内角为x°，则外角为(x－60)°，由题意得
x＋x－60＝180，解得x＝120，
则外角为120°－60°＝60°，
∴多边形的边数为360°÷60°＝6.
11.从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为（ ）
A.36°
B.40°
C.45°
D.60°
A
12.一个正多边形的外角与相邻的内角的度数之比为1∶3，则这个多边形的边数是（ ）
A.8
B.9
C.6
D.5
A
13.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 .
180°
14.将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上.
(1)求∠ABO的度数；
(2)求∠BOE的度数.
解：(1)∵∠ABO是正六边形的一个内角，
∴∠ABO＝180°－360°÷6＝120°.
(2)∵∠OEB是正五边形的一个外角，
∴∠OEB＝360°÷5＝72°，
∵∠OBE＝180°－∠ABO＝60°，
∴∠BOE＝180°－∠OBE－∠OEB＝48°.
15.已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)将此多边形截去一个角，直接写出它的边数与外角和；
(3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？
解：(1)设这个多边形的边数为n，
则180(n－2)＝360＋540，
解得n＝7，
故这个多边形的边数为7.
(2)将此多边形截去一个角，
得多边形边数变为6，7或8，
外角和都是360°.
(3)若这个七边形是正多边形，则每个外角为°，
每个内角为180°－°＝°，
故每个内角比相邻的外角大，大°.
16.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数.
解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H
＝(∠A＋∠H)＋(∠B＋∠C)＋(∠D＋∠E)＋(∠F＋∠G)
＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4
＝360°.(共12张PPT)
小专题(二十三) 双角平分线夹角模型
模型1：双内角平分线夹角
条件：BP平分∠ABC，
CP平分∠ACB。
结论：∠P＝90°＋∠A。
模型2：双外角平分线夹角
条件：BP平分∠DBC，
CP平分∠BCE。
结论：∠P＝90°－∠A。
模型3：一内一外角平分线夹角
条件：BP平分∠ABC，
CP平分∠ACD。
结论：∠P＝∠A。
1.如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE平分∠BCD交BD于点E，探究∠CED与∠A的数量关系。
解：因为∠EBC＋∠ECB
＝(∠ABC＋∠ACB)
＝(180°－∠A)
＝90°－∠A，
所以∠CED＝∠EBC＋∠ECB＝90°－∠A。
2.如图，∠ABC＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠D的度数。
解：因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋180°－∠B＝360°，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋∠B。
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠2＋∠3＝(180°＋∠B)＝90°＋∠B，
所以∠D＝180°－(∠2＋∠3)＝180°－＝90°－×90°＝45°。
3.如图，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠D的度数。
解：因为∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠A，∠3＝∠4，∠1＝∠2.
所以2∠4＝2∠2＋∠A，
所以∠4＝∠2＋∠A，
因为∠4＝∠D＋∠2，
所以∠D＝∠4－∠2＝∠A＝45°。
4.如图，在△ABC中，BE是角平分线，CF平分外角∠BCD，BF⊥CF于点F，若∠A＝62°，求∠EBF的度数。
解：延长BE，FC交于点H，
因为∠H＝∠BCF－∠EBC＝∠BCD－∠ABC
＝(∠BCD－∠ABC)＝(∠A＋∠ABC－∠ABC)＝∠A＝31°，
所以∠EBF＝90°－∠H＝59°。(共6张PPT)
数学活动 寻找能铺满平面的任意多边形
阅读下列材料，并完成相应任务.
平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌.
任务一：探究同一种正多边形的密铺.
如图甲，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角.
问题①：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺；
问题②：正五边形可以进行密铺吗？请说明理由.
360°
任务二：探究同一种一般多边形的密铺.
经过同学们动手实验，每组画出自己小组的拼接图，如图乙.
问题③：观察图乙，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺.
经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究.目前可以密铺的凸五边形共有 15种，如图丙为其中一种五边形的密铺图.
三角形
四边形
问题④：图丁为图丙中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，求∠A的度数.
解：任务一：问题②：正五边形不可以进行密铺，理由：
∵正五边形的每一个内角度数为108°，360÷108＝3……36，
∴正五边形不可以进行密铺.
任务二：问题④：由图形并结合题意可得∠A＝(540°－2×90°)÷3＝120°.(共24张PPT)
8.2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
知识点1：多边形的有关概念
1.如图所示的图形中属于多边形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
A
2.若一个四边形截去一个角后，它不可能是( )
A.六边形
B.五边形
C.四边形
D.三角形
A
3.过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
A
4.过多边形的一个顶点出发可以引出2 025条对角线，则这个多边形的边数是( )
A.2 025
B.2 026
C.2 027
D.2 028
D
5.如图，在四边形ABCD中，延长BC，AB，则图中四边形的内角
有 .
∠A，∠ABC，∠BCD，∠D
6.如图，画出下列多边形的所有对角线.
解：如图所示.
知识点2：正多边形的概念
7.下列图形中为正多边形的是( )
D
8.下列说法中不正确的是( )
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形的各边都相等
C.正三角形就是等边三角形
D.各内角相等的多边形不一定是正多边形
A
知识点3：多边形的内角和
9.一个十二边形的内角和为( )
A.2 160° B.2 080°
C.1 980° D.1 800°
D
10.如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
D
11.求如图所示的图形中的x的值：
(1)
解：根据图形可知x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65.
(2)
解：根据图形可知x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝540，解得x＝115.
12.下列哪个度数不可能是一个多边形的内角和( )
A.360°
B.600°
C.900°
D.1 800°
B
13.如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A，D分别落在点A1，D1处.若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C的度数为( )
A.115°
B.130°
C.135°
D.150°
A
14.如图，五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2，则∠1－∠2＝ .
72°
15.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去阴影部分，∠A＋∠E＋∠F＋∠ABG＋∠EDG＝485°.
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数.
解：(1)六边形ABCDEF的内角和为720°.
(2)连接FG，四边形ABGF，四边形DEFG的内角和都是360°，
即∠A＋∠ABG＋∠BGF＋∠AFG＋∠FGD＋∠GDE＋∠E＋∠EFG＝720°，
又∵∠A＋∠E＋∠AFE＋∠ABG＋∠EDG＝485°.
∴∠BGF＋∠DGF＝720°－485°＝235°，
∴∠BGD＝360°－235°＝125°.
16.(1)一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2 160°，求原多边形的边数；
(2)小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2 025°，求它的边数及少算的内角的度数.
解：(1)设新的多边形的边数为n，由题意，得
180°(n－2)＝2 160°，∴n＝14，
∵有如图所示的三种剪法，剪完后边数可以比原多边形多一条，相等或少一条，
∴原多边形的边数为13，14或15.
(2)设多边形的边数为n，
∵2 025÷180＝11.25，∴n－2＝12，∴n＝14，
∴少算的内角的度数为180°×12－2 025°＝135°，
故多边形的边数为14，少算的内角为135°.
17.(推理能力)观察下列图形，并回答问题.
(1)四边形有 条对角线；
五边形有 条对角线；
六边形有 条对角线；
(2)根据规律：七边形有 条对角线，n边形有 条对角线；
2
5
9
14
(3)应用：10个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？
解：(3)＝＝35(次).
∴共握35次手.