(共10张PPT)
9.1.4 设计轴对称图案
知识点1：轴对称图案
1.“二十四节气”是根据太阳在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标志图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（ ）
B
2.下列图形不能利用轴对称设计的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
3.如图，要在一块长方形的空地上修建一个轴对称图形的花坛，下列图案中对称轴的数量与其他不同的是（ ）
D
知识点2：设计轴对称图案
4.用四块如图①所示的小正方形瓷砖拼成一个轴对称的大正方形图案(如图②).请在图③，图④中分别给出两种不同的拼法，且使拼出的图案为轴对称图形.
解：如图所示.(答案不唯一)
5.如图，方格纸中有3个小方格被涂成灰色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成灰色，使所有的灰色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（ ）
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
D
6.下列选项中有一张纸片会与如图紧密拼凑成正方形纸片，且正方形上的灰色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为（ ）
A
7.如图①所示的两种瓷砖.请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形(如图②).
(要求：分别在图③、图④中各设计一种与图②不同的拼法的轴对称图形)
解：如图所示.(答案不唯一)(共20张PPT)
9.3.2 旋转的特征
知识点1：旋转的特征
1.关于图形的旋转，下列说法中正确的是（ ）
A.旋转不改变图形的大小
B.旋转会改变图形的形状
C.旋转前后图形对应点的连线一定相等
D.旋转前后图形对应点的连线一定平行
A
2.如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法中错误的是（ ）
A.AC＝ DC
B.∠ACD＝∠BCE
C.∠A＝∠D
D.∠BCD＝∠DCE
D
3.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C，此时点A在边B′C上，若BC＝5，A′C＝3，则AB′的长为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
A
4.如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝27°，则∠BOC的度数是 .
18°
5.如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为 .
2
6.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB ＝ 90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm.△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△DEC，则∠D＝ ，∠B＝ ，DE＝ cm, CE＝ cm，AE＝ cm，DB＝ cm，DE与AB的位置关系是 .
∠A
∠DEC
5
3
1
7
DE⊥AB
7.如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上.若∠A＝32°，∠B＝31°，求∠ACE的度数.
解：∵∠A＝32°，∠B＝31°，
∴∠ACD＝∠A＋∠B＝63°，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCE＝∠ACD＝63°，
∴∠ACE＝180°－∠ACD－∠BCE＝54°.
知识点2：简单的旋转作图
8.如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上.
(1)画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于直线l成轴对称；
(2)把△ABC绕C点顺时针旋转90°，在网格中画出旋转后得到的△A2B2C.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(2)如图，△A2B2C即为所求.
9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度，得到△ADE，且AD⊥BC.若∠CAE＝45°，∠E＝60°，则∠BAC的度数是（ ）
A.60°
B.65°
C.75°
D.95°
C
10.如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E 在BC的延长线上，连接BD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.∠CAE＝∠BED
B.AB＝AE
C.∠ACE＝∠ADE
D.AE＝AD
A
11.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心可以是 点.
G
12.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED＝ .
180°－α
13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，BC的延长线交AD于点F，且BC＝CF，连接BD.
(1)若F为AD的中点，AB＝5，DE＝3，求△ABF的周长；
(2)若∠ABC＝20°，∠BDE＝60°，求∠DBF的度数.
解：(1)由旋转可得DE＝BC＝3，
AD＝AB＝5，
∵BC＝CF，F为AD的中点，
∴CF＝3，AF＝AD＝，
∴△ABF的周长为AB＋BF＋AF＝.
(2)由旋转得
∠ADE＝∠ABC＝20°，∠BAF＝100°，
∴∠AFB＝180°－∠ABC－∠BAF＝60°，
∠ADB＝∠BDE－∠ADE＝40°，
∴∠DBF＝∠AFB－∠ADB＝20°.
14.(推理能力)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上.
(1)旋转的度数为 ；
(2)连接DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由.
90°
解：(2)DE∥BC.
理由：∵CD平分∠ACB, ∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD＝45°.
又∵△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF，
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ECA＝45°，
∴∠DCE＝90°，∠CED＝45°，∴∠EDC＝45°，
∴∠DCB＝∠EDC, ∴DE∥BC.(共16张PPT)
第2课时 利用中心对称作图
知识点1：画中心对称图形
1.画出下列图形关于点O的中心对称图形.
解：如图所示，△A′B′C′即为所求.
2.△ABC在网格中的位置如图所示：
(1)请画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)若网格中每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 .
3.5
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(2)如图，△A2B2C2即为所求.
知识点2：找对称中心
3.如图，△ABC与△A′B′C′关于某一点成中心对称，画出对称中心.
解：如图所示.点O即为所求.
4.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，已知Rt△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点B旋转180°得到 的△A2BC2；
(3)△A1B1C1与△A2BC2是否关于某个点成中心
对称？如果是，请在图中画出对称中心O.
解：(1)如图，△A1B1C1为所作.
(2)如图，△A2BC2为所作.
(3)如图，点O为对称中心.
5.如图，已知△ABC，点A在直线l外，点B，C都在直线l上.
(1)画出△ABC关于直线l成轴对称的图形△A1BC；
(2)如果点A2与点A关于某点成中心对称，请作出这个对称中心O，并作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2.
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)如图所示，△A1BC即为所求.
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求.
6.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上.
(1)画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A′B′C′；
(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″；
(3)写出线段A′C′和线段A″C″的关系.
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求.
(2)如图，△A″B″C″即为所求.
(3)线段A′C′和线段A″C″垂直且相等.
7.如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上，点O也在格点上.
(1)画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线OP成轴对称；
解：如图，△A′B′C′即为所求.
(2)画△A″B″C″，使△A″B″C″与△ABC关于点O成中心对称；
(3)若设网格中的每一个小正方形的边长为1，直接写出四边形B′C′C″B″的面积.
解： (2)如图，△A″B″C″即为所求.
(3)四边形B′C′C″B″的面积为×(2＋6)×3＝12.
8.如图均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，O均在格点上，点B在格线上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.
(1)在图①中，作出点A关于点O的对称点C，连接AC；
(2)在图②中，作出线段AB关于点O的成中心对称线段DE；
(3)在图③中，已知点F是线段AB上的任意一点，作出一条线段OG，使得OG＝OF.
解：(1)如图①，点C即为所求.
(2)如图②，线段DE即为所求.
(3)如图③，OG即为所求.(共9张PPT)
9.1.3 作轴对称图形
知识点1：画已知点的对称点
1.在图中分别以∠AOB的两边所在直线为对称轴，画出点P的对称点.
解：如图，点P′，P″即为所求.
知识点2：画轴对称图形
2.如图，画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′.
解：如图所示.
3.如图，以虚线为对称轴，画出下列各图中已知图形的轴对称图形.
解：如图所示.
知识点3：过一已知点作已知直线的垂线
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，线段BD即为所求.
5.如图，在由小正方形组成的网格中，四边形ABCD，四边形EFGH的顶点均在格点上，请分别以直线a，b为对称轴，画出与各图形成轴对称的四边形A′B′C′D′和四边形E′F′G′H′.
解：如图所示.
6.图①，图②都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.A，B，C三点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图.
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点；
(2)在图②中，画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于某条直线对称，且A1，B1，C1均为格点.
解：(1)如图①，MN即为所求.
(2)如图②，△A1B1C1即为所求.(答案不唯一).(共18张PPT)
9.2 平 移
9.2.1 图形的平移
知识点1：平移的概念
1.下面生活中物体的运动情况可以看成平移的是( )
A.时钟摆动的钟摆
B.在笔直的公路上行驶的汽车
C.随风摆动的旗帜
D.汽车玻璃窗上雨刷的运动
B
2.下列图形中，能由图形a通过平移得到的是( )
B
3.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是( )
A
4.观察如图所示图案，不能通过平移基本图形得到的是 (选填序号).
④
知识点2：平移中的对应点、对应线段、对应角
5.如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是( )
A.线段BC的长度 B.线段BE的长度
C.线段EC的长度 D.线段EF的长度
B
6.如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC( )
A.把△DEF向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.相△DEF向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
C.把△DEF向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D.把△DEF向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
D
7.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，则平移的方向是 ，平移的距离是 .
点A到点D的方向
线段AD的长度
8.如图，△DEF是△ABC平移后得到的三角形，点P在AC上，线段BP在平移中漏掉了，请在△DEF中补上，然后指出图中的对应点、对应线段、对应角.
解：如图，EG为BP平移后的对应线段，
对应点：A与D，B与E，C与F，P与G；
对应线段：AB与DE，BC与EF，
AC与DF，BP与EG，AP与DG，CP与FG；
对应角：∠A和∠D，∠ABC和∠DEF，∠C和∠F，∠ABP与∠DEG，
∠APB与∠DGE，∠BPC与∠EGF，∠PBC与∠GEF.
9.四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字是( )
C
10.如图，在边长为1的正方形网格中，将三角形经过平移使得点A的对应点为点B，则点C的对应点为( )
A.点C1
B.点C2
C.点C3
D.点C4
B
11.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，是平移重合图形的是( )
A.等边三角形 B.等腰梯形
C.平行四边形 D.五边形
C
12.如图，已知O是正六边形的中心，由点O和各顶点构成的三角形中，可由△OBC平移得到的三角形是 .
△OAF，△OED
13.已知数轴上点A对应的数为2，点B对应的数为7，将线段AB在数轴上平移3个单位长度后得到线段CD，点A的对应点为点C，则B，C两点之间的距离为 .
2或8
14.如图，已知每个小正方形的边长为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小船，若小船平移滑动(先向右平移，再向上平移)，平移后的船身部分已画出(船身顶点都在格点上).请在网格中补全平移后的船帆.
解：如图所示，△A′B′C′即为所求作的图形.
15.如图①是小庆设计的一个图案，由6个小等边三角形组成，共有7个交点，图②可以看作是由图①向右平移一次得到的，共有12个小等边三角形，12个交点；图③可以看作是由图①向右平移两次得到的，共有18个小等边三角形，17个交点.
(1)图①向右平移10次得到的图形中，共有 个小等边三角形；
(2)图 中含有 个交点(用含n的式子表示).
66
(5n＋2)(共23张PPT)
9.5 图形的全等
知识点1：全等图形
1.下列各组的两个图形属于全等图形的是( )
D
2.下列选项中表示两个全等的图形的是( )
A.形状相同的两个图形
B.周长相等的两个图形
C.面积相等的两个图形
D.能够完全重合的两个图形
D
3.如图，有6个条形方格图，图中由实线围成的图形中，全等图形有：①与 ；②与 .
⑥
③⑤
4.如图是两个全等的四边形，根据图中所标注的数值可知：在四边形ABCD中，AB＝ cm；在四边形EFGH中，∠ ＝60°，FG＝ cm.
10
H
6
知识点2：全等三角形
5.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N之间的距离，若△PQO≌△NMO，则只需要测出其长度的线段是( )
A.PO
B.PQ
C.MO
D.MQ
B
6.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( )
A.50°
B.58°
C.60°
D.72°
D
7.如图，已知△ABC≌△DCB，那么下列结论中，不正确的是( )
A.AB＝DC
B.∠ABC＝∠DCB
C.AC＝BC
D.∠DAC＝∠ADB
C
8.如图，已知△ABD≌△ACE.
(1)分别写出对应角和对应边；
(2)∠1与∠2相等吗？请说明理由.
解：(1)对应角：∠A与∠A，∠B与∠C，∠ADB与∠AEC；
对应边：AB与AC，AD与AE，BD与CE.
(2)∠1＝∠2.
理由：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，
又∵∠ADB＋∠2＝180°，∠AEC＋∠1＝180°，
∴∠1＝∠2.
9.如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF.
(1)试说明AB∥DE；
(2)若AC与DE相交于点O，AB＝6，OE＝4，求OD的长.
解：(1)
∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE.
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝6，
∵OE＝4，
∴OD＝DE－OE＝2.
10.若等腰三角形ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长为( )
A.8 cm
B.2 cm或8 cm
C.5 cm
D.8 cm或5 cm
D
11.如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，若△EAB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
D
12.如图，已知△ABC≌△ADC，延长DA交BC于点E，若∠BAE＝70°，则∠DAC的度数为 .
125°
13.如图，已知△ACD≌△BCE，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在AC上，连接BE并延长交AD于点F.
(1)试说明BF⊥AD；
(2)若F为线段AD的中点，△ABF的面积为10，
△ACD的面积为6，则四边形CEFD的面积为 .
4
解：(1)∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＋∠ADC＝90°，
∴∠CBE＋∠ADC＝90°，
∴∠BFD＝90°，即BF⊥AD.
14.如图，已知∠MON＝90°，A是射线OM上一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AO水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1 cm/s的速度沿ON竖直向上运动，连接PQ，以PQ为斜边向上作等腰Rt△PQC，设运动时间为t(s)，其中0＜t＜10.当△OPQ与△PCQ全等时，求t的值.
解：根据题意得
OP＝(10－t) cm，OQ＝t cm，
∵△PCQ为等腰直角三角形，而PQ为公共边，
∴当△POQ为等腰直角三角形时，
△POQ与△PCQ全等，
∴OP＝OQ，
即10－t＝t，解得t＝5，即t的值为5.
数学活动 探索全等的图形
1.如图，△ABC和△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠ABC＝∠D＝ 90°.△ADE与△ABC能不能经过变换后重合？如果能，可以经过怎样的变换？
解：△ADE与△ABC能经过变换后重合，
∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∠DAE＝∠DEA＝45°，
∴△ADE以点A为旋转中心、逆时针旋转45°与△ABC重合.
2.如图，已知△ABE≌△ACD，且AB＝AC.说明△ABE经过怎样的变换后可与△ACD重合.
解：沿BE边上的高向右翻折即可得到.(共11张PPT)
小专题(三十) 用几何变换设计图案
1.下列图案中，不是利用轴对称设计的图案有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
2.如图是某药业公司商品标志图案，则下列说法中正确的有（ ）
①图案是按照轴对称设计；
②图案是按照旋转设计的；
③图案的外层“S”是按照旋转设计的；
④图案的内层“A”是按照轴对称设计的.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
3.如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（ ）
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
C
4.如图，在5×5的小正方形网格中有4个阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形.现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（ ）
A.8种
B.12种
C.16种
D.20种
D
5.为迎接全运会，体育迷小强利用网格设计了一个“火炬”图案，请你帮帮他：
(1)将“火炬”图案先向右平移7格，再向上
平移6格，画出平移后的图案；
(2)如果图中每个小正方形的边长是1，
求其中一个火炬图案的面积.
解：(1)如图所示.
(2)一个火炬图案的面积为9＋×2×1＋×1×1＋＝11.5.
6.利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的四边形(顶点都在格点上).
(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出上面所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形；
(2)完成上述设计后，求出整个图案的面积.
解：(1)如图所示.
(2)一个四边形面积为×5×1×2＝5，
整个图案面积为5×4＝20.(共9张PPT)
9.1.2 轴对称的再认识
知识点1：线段的垂直平分线
1.如图，△ABC与△FDE关于直线m对称，则直线m不是下列哪组点所连线段的垂直平分线（ ）
A.A，F
B.C，E
C.A，E
D.B，D
C
2.如图，直线MN⊥线段AB，交点为O，AO＝BO，则MN
是AB的 .
垂直平分线
知识点2：用尺规作线段垂直平分线及角平分线
3.如图，在△ABC中，∠ABC为钝角，请按要求作图(不写作法，但要保留作图痕迹).
(1)作△ABC的角平分线AE；
(2)作△ABC的边AB上的中线CF.
解：(1)(2)如图，AE，CF即为所作.
知识点3：画图形的对称轴
4.作出下列各图形的所有对称轴.
解：如图所示.
5.如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
②作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.则b的长可能是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
D
6.如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D.再分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在 ∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD，则下列说法中不正确的是（ ）
A.射线OE是∠AOB的平分线
B.∠COD是等腰三角形
C.OE是线段CD的垂直平分线
D.O，E两点关于CD所在直线对称
D
7.如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点均在格点上，且关于某条直线成轴对称，请画出它们的对称轴.
解：如图所示，直线l即为所求.(共22张PPT)
复习提升(五) 轴对称、平移与旋转
【重难点突破】
重难点1：轴对称和轴对称图形
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
D
2.如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠， 使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的度数为 .
45°
重难点2：中心对称与中心对称图形
3.以下图案中，既是轴对称图案又是中心对称图案的是( )
B
4.按下列要求正确画出图形：
(1)已知△ABC和直线MN，画出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；
(2)已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.
解：(1)△A′B′C′如图所示.
(2)四边形A′B′C′D′如图所示.
重难点3：图形的平移及平移的特征
5.如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A.30° B.60° C.100° D.120°
B
6.如图，在一块长14 m、宽6 m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3 m就是它的右边线，则绿化区的面积是( )
A.18 m2
B.56 m2
C.66 m2
D.72 m2
C
重难点4：图形的旋转及旋转的特征
7.如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′的度数为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
B
8.(南充期末)如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
9.(眉山期末)如图，以正方形的各边为直径作半圆，若将该图形绕其中心旋转一定角度与原图形重合，则旋转角的最小度数是 .
90°
10.(宁夏中考)如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝ .
50°
11.如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于点F.试问：∠E与∠F相等吗？为什么？
解：∠E与∠F相等.
∵将△ABC以点C为旋转中心，
顺时针旋转180°，得到△DEC，
∴∠ABE＝∠E.
∵DF∥BE，∴∠F＝∠ABE.∴∠E＝∠F.
重难点5：全等三角形
12.如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是( )
A.BE＝EC
B.BC＝EF
C.AC＝DF
D.△ABC≌△DEF
A
13.如图，△ABC≌△CDE，∠B＝90°，C为线段BD上一点，则∠ACE的度数为 .
90°
14.(峨边县期末)如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
(1)若DE＝6，BC＝4，求线段AE的长；
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠AFD的度数.
解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE＝6，BC＝4，
∴AB＝DE＝6，
BE＝BC＝4，
∴AE＝AB－BE＝2.
(2)∵△ABC≌△DEB，∴∠DBE＝∠C＝60°，
∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝85°，
∴∠DEB＝85°，∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A＋∠AED＝130°.
【综合提升】
15.问题情境：如图①，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图②，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置.像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换.
问题解决：
(1)请写出一种全等变换的方法(除翻折、平移外)： ；
(2)如图②，△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝3，则DC＝ ；
旋转
1
拓展变式：
(3)如图③，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCED内部变为F时，则∠F和∠BDF＋∠CEF之间的数量关系始终保持不变，写出它们之间的关系式.
解：(3)∵把△ADE沿DE翻折，得到△FDE，∴△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，
在△DEF中，∠F＝180°－(∠FDE＋∠FED)，
∵∠BDF＝180°－∠FDA＝180°－2∠FDE，
∠CEF＝180°－∠FEA＝180°－2∠FED，
∴∠BDF＋∠CEF＝180°－2∠FDE＋180°－2∠FED
＝2[180°－(∠FDE＋∠FED)]∴∠BDF＋∠CEF＝2∠F.(共19张PPT)
9.3 旋 转
9.3.1 图形的旋转
知识点1：旋转的概念
1.(凉山期中)下列运动形式中属于旋转的是( )
A.钟表上钟摆的摆动
B.投篮过程中球的运动
C.火箭升空的运动
D.传动带上物体位置的变化
A
2.下图中，不能由一个基本图形通过旋转而得到的是( )
C
3.下列四个图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120°后，能与原图形完全重合的是( )
A
4.如图，它可以看作“◇”通过连续平移3次得到，也可以看作“◇”绕中心旋转 次，每次旋转 度得到.
3
90
5.如图，图形①经过 变化成图形②，图形②经过 变化成图形③，图形③经过 变化成图形④.
轴对称(或翻折)
平移
旋转
知识点2：旋转的对应点、对应线段和对应角
B
6.电风扇是一种常见的家用电器，如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是( )
A.60° B.72° C.75° D.108°
7.如图，图B是图A旋转后得到的，旋转中心是 ，旋转了 °.
点X
180
8.如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从点A运动到了点A′，则旋转中心是点 ，旋转角是 ＝ °.
O
∠A′OA
76
9.如图，△AOB绕点O顺时针旋转到△A′OB′的位置，则
(1)点A的对应点是 ；
(2)∠AOB的对应角是 ；
(3)线段AB的对应线段是 .
点A′
∠A′OB′
A′B′
易错点：没有明确哪个角是旋转角
10.如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)，若∠1＝110°，则∠α＝ .
20°
11.如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案应该是( )
A
12.如图，五角星可以由四边形OABC绕点O旋转若干次后生成，若每次旋转角度和旋转方向都相同.则旋转角度的度数不可能是( )
A.72°
B.108°
C.144°
D.216°
B
13.如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 .
75°
14.如图，△ACE，△ABF都是等腰三角形，∠BAF＝∠CAE＝90°，那么△AFC以哪一点为旋转中心，旋转多少度之后能与另外一个三角形重合？点F的对应点是什么？
解：△AFC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后与△ABE重合，点F的对应点是点B.
15.如图，△ABC和△ADC都是正三角形.
(1)△ABC沿着________所在的直线翻折能与△ADC重合；
(2)如果△ABC旋转后能与△ADC重合，请说出图形所在的平面上可以作为旋转中心的点及旋转角的度数.
解：(1)AC.
(2)以点A 、点C为旋转中心时都旋转60°；
以AC中点为旋转中心时旋转180°.
16.如图，教室里的水平地面有一个倒地的灰斗，BC与地面的夹角为55°，∠BCO＝26°，小明同学将它扶起(将灰斗绕点C逆时针旋转)后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，求灰斗柄AB绕点C旋转的角度.
解：∵BC与地面的夹角为55°，∠BCO＝26°，
∴∠BCB′＝180°－∠ACB－∠B′CO′
＝180°－55°－26°
＝99°，
即旋转角为99°，
∴灰斗柄AB绕点C转动的角度为99°.(共11张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1 轴对称
9.1.1 生活中的轴对称
知识点1：轴对称图形
1.下列图形中，为轴对称图形的是( )
D
2.下列图案中，对称轴条数最多的是( )
D
3.“又是一年三月三，风筝飞满天”.如图是一个燕子形风筝的图案，已知它是轴对称图形，对称轴为AF，则∠AFC的度数为 ，CF与CD的数量关系为 .
90°
CF＝CD
知识点2：成轴对称
4.下列图形中关于直线l对称的是( )
C
5.如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是( )
A.AC＝A′C′
B.AB∥B′C′
C.AA′⊥MN
D.BO＝B′O
B
6.如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
C
7.如图，直线AF是正五边形ABCDE的一条对称轴，M，N为线段AF上任意两点.若正五边形ABCDE的面积为16 cm2，则图中阴影部分的面积为
cm2.
8
8.(遂宁期末)一位交警在执勤过程中，从汽车的后视镜中看见某车牌的后5位号码是 ，该车牌的后5位号码实际是 .
BA629
9.如图，△ABC关于直线MN的对称图形为△A′B′C′，其中∠A＝90°，AC＝8 cm，A′C＝12 cm.
(1)求△A′B′C′的周长；
(2)连接CC′，求△A′CC′的面积.
解：(1)△A′B′C′的周长为20 cm.
(2)△A′CC′的面积为48 cm2.(共10张PPT)
9.3.3 旋转对称图形
知识点：旋转对称图形
1.某校在暑假放假之前举办了交通安全教育图片展活动.下列四个交通标志图中，旋转对称图形是( )
D
2.如图是几种常见的汽车轮毂图案，图案围绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是( )
B
3.观察下列图标，其中既是轴对称图形又是旋转对称图形的是( )
C
4.(云县期末)如图所示的四角风车至少旋转 °才可以与原图形重合.
90
5.下列旋转对称图形中，绕哪一个点旋转多少度与自身重合(点在图上画出来)
解：旋转中心如图，旋转的角度分别为72°，180°，45°，45°.
6.如图，正方形ABCD与正方形EFGH的边长相等，下列说法中正确的有( )
①这个图案可以看成正方形ABCD绕点O旋转45°的前后图形共同组成的；②这个图案可以看成以△ABC为基本图案绕点O旋转得到的；③这个图案是旋转对称图形，绕点O旋转45°可以与其自身重合.
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
C
7.下列四个图形中，是轴对称图形的是 ，是旋转对称图形的是
，既是轴对称图形又是旋转对称图形的是 .(均选填序号)
②④
①②③
②
8.如图，正方形ABCD边长为2 cm，以各边中点为圆心，1 cm长为半径依次作圆，将正方形分成四部分.
(1)这个图形 (选填“是”或“不是”)旋转对称图形；若是，则旋转中心是点 ，最小旋转角是 ；
是
O
90°
(2)求图形OBC的周长和面积.
解：(2)图形OBC的周长
＝BC＋圆的周长
＝(2＋π)cm；
图形OBC的面积＝S正方形ABCD＝1 cm2.(共23张PPT)
9.2.2 平移的特征
知识点1：平移的特征
1.平移是图形之间的一种变换，平移变换改变的是图形的（ ）
A.位置
B.形状
C.大小
D.位置、大小和形状
A
2.如图，在△ABC中，BC＝6，∠A＝80°，∠B＝30°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A.BE＝4
B.∠F＝70°
C.AB∥DE
D.CE＝3
D
3.如图，将等边三角形ABC沿射线CA平移得到△FED，点A的对应点为F，连接BE，若AD＝2，CF＝10，则BE的长为（ ）
A.4
B.6
C.8
D.12
A
4.如图，将△ABC沿AB方向平移到△BDE的位置.若∠CAB＝48°，∠EDB＝102°.则∠1的度数为（ ）
A.24°
B.28°
C.30°
D.48°
C
5.如图，将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF.
(1)若∠EDF＝80°，求∠AGE的度数；
(2)若△ABC的周长为12 cm，BF＝5.5 cm，EC＝3.5 cm，连接AD，求四边形ABFD的周长.
解：(1)由平移的性质可得AC∥DF.
∴∠CGE＝∠EDF＝80°，
∴∠AGE＝180°－∠CGE＝100°.
(2)由平移的性质可得
BE＝AD＝CF，AC＝DF，
∵BF＝BE＋CE＋CF＝5.5 cm，CE＝3.5 cm，
∴BE＝AD＝CF＝1 cm.
∵△ABC的周长为12 cm.∴AB＋BC＋AC＝12 cm.
∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BC＋CF＋DF＝AB＋BC＋AC＋AD＋CF＝12＋2＝14 cm.
知识点2：画平移后的图形
6.下列平移作图不正确的是（ ）
C
7.如图，将△ABC沿南偏西45°的方向平移 1 cm，画出平移后的△A′B′C′.
解：如图所示.
8.如图，△ABC为直角三角形，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，将△ABC沿CB方向平移3 cm，则边AB扫过的面积为 cm2.
易错点：错把平移距离看成平移边上的高
9
9.(泸州期中)如图，该图形的相邻两边均互相垂直，则这个图形的周长为（ ）
A.37 B.26 C.42 D.21
C
10.如图，长方形ABCD中，AB＝10 cm, BC＝6 cm.将长方形ABCD沿着AB方向平移 cm，才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD的重叠部分面积为24 cm2.
6
11.如图，一块边长为8 m的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是
1 m，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是 .
42 m2
12.如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点就是小正方形的格点.
(1)将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△DEF(A与D，B与E，C与F对应)，请在方格纸中画出△DEF；
(2)在(1)的条件下，连接AE和CE，求△ACE的面积S.
解：(1)如图所示，
△DEF即为所求.
(2)△ACE的面积
S＝4×5－×3×4－×1×4－×1×5＝9.5.
13.某宾馆在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽 2 m，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要多少元？
解：由平移的性质可知：铺设主楼梯所需红地毯的长至少为5.8＋2.6＝8.4(m)，
因主楼梯宽为 2 m，则地毯面积至少为
8.4×2＝16.8(m2)，16.8×30＝504(元).
∴购买这种地毯至少需要504元.
微专题4：利用平移求几何图形的周长与面积
【方法指导】平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对应点平移的距离相等是平移求几何图形的周长与面积的依据.
【针对训练】
1.如图，将△ABC沿BC方向平移3 cm得到△DEF，若△ABC的周长为20 cm，则四边形ABFD的周长为 cm.
26
2.(泸州期末)如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2 cm，EF＝4 cm，则阴影部分的面积为 cm2.
6
3.如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到直角梯形EFGH，已知HG＝
24 cm，MG＝8 cm，MC＝6 cm，则阴影部分的面积是 cm2.
168
