(共11张PPT)
小专题(三) 比较实数大小的常用方法
类型一：利用数轴比较实数大小
【方法指导】
实数的大小比较同有理数一样，可结合数轴，在数轴上大致标出点的位置，然后根据右边的数大于左边的数进行比较．
1．将－2，，，在数轴上表示出来，并将原数用“<”连接起来．
解：如图所示，由数轴知－2<<<.
类型二：利用平方法或立方法比较实数大小
【方法指导】
①已知a，b均为实数，若a3>b3，则a>b；反过来也成立；②已知a，b均为正(负)实数，若a2>b2，则a>b(a2．比较下列各组数的大小：
(1)和7； (2)和－4.
解：(1)因为()2＝47，
72＝49，47<49.所以<7.
(2)因为()3＝－63，(－4)3＝－64，
－63>－64.所以>－4.
3．比较大小：4，，.
解：因为()2＝15，42＝16，15<16，所以<4.
因为43＝64，()3＝70，64<70，所以4<.
所以<4<.
类型三：利用作差法比较实数大小
【方法指导】
对于实数a，b，若a－b>0，则a>b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b<0，则a4．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较－2与2的大小：
因为－2－2＝－4，
又因为<<，则4<<5，
所以－4>0.
所以－2>2.
请仿照上述方法，比较下列各组数的大小．
(1)2－与－3；
解：2－－(－3)＝2－＋3＝5－，
因为<<，所以4<<5.
所以5－>0.所以2－>－3.
(2)与.
解：－＝＝.
因为5<，所以<.
所以4<9.所以9－4>0.
所以>0，即－>0.
所以>.(共21张PPT)
章末复习与提升
【重难点突破】
重难点一：算术平方根、平方根与立方根
1．下列各式中错误的是( )
A.＝0.2
B.＝－
C.＝±
D．±＝±15
C
2．－8的立方根与4的算术平方根的和是( )
A．0
B．4
C．－4
D．0或－4
A
3．下列说法中正确的是( )
A．27的立方根是±3
B.的平方根是±4
C．9的算术平方根是3
D．一个数的立方根等于其算术平方根的数是1
C
4．估计68的立方根的大小在( )
A．2与3之间
B．3与4之间
C．4与5之间
D．5与6之间
C
5．若＝－，则x＝ ；若＝5，则x＝ .
6．已知＝0.769 7，则＝ .
7．若实数a，b满足|a＋1|＋＝0，则3ab＝ .
－
±125
7.697
－9
8．a＋3的立方根是2，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的平方根．
解：由题意，得
a＋3＝23，3a＋b－1＝42，
解a＋3＝8，得a＝5.
把a＝5代入3a＋b－1＝16，得b＝2，
所以a＋2b＝5＋4＝9，
所以a＋2b的平方根是±3.
重难点二：实数的有关概念、性质及分类
9．(聊城中考)下列实数中的无理数是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
10．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|－|b|可化简为（ ）
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
C
11．(1)1－的相反数是 ；
(2)|5－2|＝ ；
(3)－的倒数是 .
－1
5－2
－
12．把下列各数的序号分别填入相应的集合里：
①，②，③－3.141 59，④，⑤，
⑥－，⑦－，⑧0，⑨－0.03，⑩1.732，
－.
(1)正有理数集合： ；
(2)无理数集合： ；
(3)非负数集合： ；
(4)分数集合： .
①⑤⑩
②④⑥
①②④⑤⑧⑩
③⑤⑦⑨⑩
重难点三：实数值的估算、实数的大小比较及运算
13．实数2介于（ ）
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
C
14．下列式子中错误的是（ ）
A．－2<－1
B．π<
C.>
D.>
C
15．计算：
(1)|－|＋0.9(精确到0.01)；
解：原式≈3.162－1.732＋0.9
≈2.33.
(2)＋2＋＋.
解：原式＝0.9＋0.09－1＋0.6
＝0.59.
重难点四：实数的实际应用
16．魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为64 cm3.
(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长；
(2)图中阴影部分是一个正方形，则
该正方形的面积为 cm2，边长为 cm.
解：(1)组成这个魔方的小立方体的棱长为
＝1(cm)．
10
17．观察下列等式：
①＝1＋－，②＝1＋－，③＝1＋－，….
(1)请猜想第10个等式为 ；
＝1＋
(2)试利用所发现的规律计算：
＋＋＋…＋.
解：(2)原式＝1＋1－＋1＋－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－＋1＋－
＝1×99＋1－＝99.
【综合提升】
18．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a＋b－的值；
(3)已知：10＋＝x＋y，其中x是整数部分，y是小数部分，求x－y的相反数．
4
－4
解：(2)因为2<<3，a为的小数部分，
所以a＝－2.
因为3<<4，b为的整数部分，
所以b＝3，所以a＋b－＝－2＋3－＝1.
(3)因为1<3<4，所以1<<2，
所以11<10＋<12.
因为10＋＝x＋y，其中x是整数部分，
y是小数部分，
所以x＝11，y＝10＋－11＝－1，
所以x－y＝11－(－1)＝12－，
所以x－y的相反数是－12.(共24张PPT)
2．3.2 实数的运算
知识点一：实数的运算
1．计算＋的结果是( )
A．6
B．－6
C．0
D．12
C
2．对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是( )
A．2－3
B.＋
C．()3
D．0×
D
3．计算：
(1)＋(-1)2025＝ ；
(2)()2－|－2|＝ .
1
4．计算：
(1)2＋5＋(－2)；
解：原式＝2－2＋5
＝5.
(2)＋|－5|＋(－1)2 025；
解：原式＝3＋5－1
＝7.
(3)－|－|＋2＋3；
解：原式＝－＋2＋3
＝5.
(4)(－3)2＋2×(－1)－2；
解：原式＝9＋2－2－2
＝7.
(5)|1－|＋(－2)2－；
解：原式＝－1＋4－－2
＝1.
(6)－＋.
解：原式＝0.5－＋
＝－＋
＝－1.
知识点二：实数的大小比较
5．(内蒙古中考)实数|－5|，－3，0，中，最小的数是（ ）
A．|－5|
B．－3
C．0
D.
B
6．下列实数比较大小正确的是（ ）
A．3>7
B.>
C．0<－2
D．22<3
B
7．比较下列各组数的大小：
(1)＋1与2.42；
(2)－3与－2.
解：(1)因为≈1.414，
所以＋1≈2.414<2.42.
(2)因为(3)2＝45，(2)2＝44，
45>44，所以3>2，
所以－3<－2.
知识点三：用计算器计算
8．用计算器计算，若按键顺序为 ，相应的算式是（ ）
A.×5－0×5÷2＝
B．(×5－0×5)÷2＝
C.－0.5÷2＝
D．(－0.5)÷2＝
C
9．用计算器比较下列各组数的大小(均选填“>”或“<”)．
；
.
>
>
10．利用≈4.582 6和≈3.271 1，计算2＋－的值(结果精确到0.001)．
解：原式≈2＋4.582 6－3.271 1≈3.312.
11．三个数－π，－3，－的大小顺序是（ ）
A．－3<－π<－
B．－3<－<－π
C．－π<－<－3
D．－π<－3<－
D
12．(防城区期中)满足|x|<的整数x有（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
B
13．用计算器计算(结果精确到0.001)：
(1)－2×；
(2)3×(π＋)－.
解：原式≈－1.228.
解：原式≈11.148.
14．(教材P46“多知道一点”变式)用乘法公式计算：
(1)(x＋y)(x－y)；
解：原式＝(x)2－(y)2
＝3x2－2y2.
(2)(x－3y)2；
解：原式＝(x)2－2x·3y＋(3y)2
＝5x2－6xy＋9y2.
(3)(x＋2＋)(x＋2－)．
解：原式＝[(x＋2)＋][(x＋2)－]
＝(x＋2)2－()2
＝x2＋4x＋1.
15．如图，点A表示的数为－，一只蚂蚁从点A开始沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，设点B表示的数为n.
(1)求n的值；
(2)求|n＋1|＋(n＋2)的值．
解：(1)因为蚂蚁从点A开始沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，
所以点B表示的数比点A表示的数大2.
因为点A表示的数为－，点B表示的数为n，
所以n＝－＋2.
(2)|n＋1|＋(n＋2－2)
＝|－＋2＋1|＋(－+2+2-2)
＝3－＋＝3.(共11张PPT)
基本功强化训练(三) 实数的运算
1．计算：
(1)|－7|＋－－32；
解：原式＝7＋3－3－9
＝－2.
(2)－||－÷2；
解：原式＝－2－6÷
＝－26.
(3)＋(－12)×－(－1)2＋|－1|；
解：原式＝8－6－1＋－1
＝.
(4)|－|－|－|＋－；
解：原式＝－－(－)＋－
＝－－＋＋－
＝0.
(5)－－＋；
解：原式＝－8－＋5
＝－3.
(6)5×＋|－|÷2＋()2；
解：原式＝－15＋2＋7
＝－6.
(7)×＋|1－|－＋(－1)2 025；
解：原式＝×6＋－1－(－3)－1
＝3＋.
(8)(－2)3＋＋(－2)2＋＋|1－|.
解：原式＝－8＋(－4)＋4＋2＋－1
＝－7.
2．近似计算(精确到0.01)：
(1)2－3＋π；
解：原式≈－1.33.
(2)＋－|π－3.14|.
解：原式≈1.732＋1.414－3.142＋3.14
≈3.14.(共17张PPT)
2．3 实 数
2．3.1 认识实数
知识点一：实数的有关概念及分类
1．下列各数中，是无理数的是( )
A．3.141 5
B.
C.
D.
D
2．下列说法中正确的是( )
A．实数包括有理数，零和无理数
B．一个实数不是正实数就是负实数
C．一个实数不是有理数就是无理数
D．有理数是有限小数，无理数是无限小数
C
3．指出下列各数中的整数、分数、正数、负数、有理数、无理数(均选填序号)：
①－，②0，③0.13，④3，⑤－0.35，⑥，⑦－，⑧，⑨，⑩－， －6， 3.142，
0.020 020 002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1)．
知识点二：实数与数轴上的点一一对应
4．下列说法中正确的是( )
A．数轴上的每一个点都表示一个有理数
B．数轴上的每一个点都表示一个无理数
C．数轴上的每一个点都表示一个实数
D．每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而无理数却不能用数轴上的点来表示
C
5．若将三个数－，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 .
知识点三：相反数、绝对值
6．若实数a，b满足a＋b＝0，则下列说法中正确的是( )
A．a，b互为倒数
B．a，b异号
C．a的绝对值等于b
D．a，b互为相反数
D
7．填空：
－1.4
实数 1.4－ － －1.6 －
相反数 ________ ________ ________ ________
绝对值 ________ ________ ________ ________
1.6－
2
－1.4
1.6－
2
易错点：对无理数的判断有误
8．下列说法中正确的是( )
① 是分数；②－是有理数；③ 0.33是分数；④ 是无理数．
A．①②
B．①③
C．①④
D．②③
D
9．如图，下列实数中，数轴上点A表示的数可能是( )
A．4的算术平方根
B．4的立方根
C．8的算术平方根
D．8的立方根
C
10．下列四个结论：①绝对值等于它本身的实数只有零；②相反数等于它本身的实数只有零；③算术平方根等于它本身的实数只有1；④倒数等于它本身的实数只有1.其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
B
11．把下列各数的序号分别填入相应的集合内．
①－，②，③，④3.14，⑤－，⑥0，
⑦－5.123 45…，⑧，⑨－.
负实数集合： ；
分数集合： ；
正数集合： ；
无理数集合： .
①⑤⑦⑨
①④⑧
②③④⑧
②③⑦⑨
12．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是
.
π－1或－π－1
13．张老师在讲实数这一节课时，以数轴上单位长度为边作了一个正方形，以正方形对角线为半径，画了一个半圆，半圆交数轴于A，B两点(如图)．
(1)A，B两点分别表示的数为 ；
(2)通过这种图形说明了什么？
解：(1)，－.
(2)数轴上的点表示的数既有有理数，也有无理数，总之，数轴上的每一个点表示一个实数．
14．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何化为分数形式呢？请看以下示例：0.3是可以化成分数的，方法如下：令a＝0.3，则10a＝3.3＝3＋0.3＝3＋a，即9a＝3，解得a＝＝，所以0.3可以化成分数.
根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)
(1)用分数表示：0.7＝ ；
(2)将2.51化为分数形式，并写出推导过程．
解：(2)设x＝0.51＝0.515 151…，①
则100x＝51.515 1…，②
②－①得99x＝51，
解得x＝，
2．51＝2＋＝.
