(共12张PPT)
第5章 轴对称与旋转
5．1 轴对称
5．1.1 初步认识轴对称图形
知识点一：轴对称图形
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
B
知识点二：对称轴
2．下列大写字母图形中，有且仅有两条对称轴的是（ ）
D
3．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
D
4．下列图形：
其中轴对称图形的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
B
5．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴．
解：是，对称轴如图所示．
6．若以四种不同的方式连接正六边形ABCDEF的两条对角线，连接后的情形如下列选项中的图形所示，则其中不是轴对称图形的是( )
D
7.
上述各个比分中，是轴对称图形的有 ，有两条对称轴的轴对称图形有 .(均选填序号，数字“1”可视为一条直线)
①②③④
④
8．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形(阴影)如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有 种．
3
9．如图①，如果将4棵树栽于正方形的四个顶点上，恰好构成一个轴对称图形，你还能找到其他两种栽树的方法，使其也构成一个轴对称图形吗？请在图②③中画出来．如果是栽5棵树呢？
6棵、7棵呢？请分别在图④⑤⑥中画出来．
解：答案不唯一，如图所示．(共20张PPT)
5．1.2 轴对称
知识点一：轴对称变换及其性质
1．下列图中，左边图形与右边图形成轴对称变换的是（ ）
D
2．如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中不正确的是（ ）
A．∠1＝∠2
B．l垂直平分AB和CD
C．∠3＝∠4
D．AC与BD互相平分
D
3．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝10 cm，△ADC的周长为34 cm，则BC的长为（ ）
A．14 cm
B．20 cm
C．24 cm
D．44 cm
C
4．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′
B．AB∥B′C′
C．AA′⊥MN
D．BO＝B′O
B
5．如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于直线l对称，四边形ABCD的周长为12 cm，∠A＝85°，则四边形A′B′C′D′的周长为
，∠A′的度数为 .
12 cm
85°
6．如图，直线AD是△ABC的对称轴，E，F是线段AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的面积是 .
9
知识点二：有关轴对称变换的作图
7．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请在下面两个图中分别作出直线l.
解：如图所示．
8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC，顶点在网格线的交点上．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，点A1，B1，C1分别对应点A，B，C；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)△ABC的面积为2.5.
易错点：对成轴对称的概念理解不够透彻
9．下列说法中正确的是( )
A．轴对称图形就是成轴对称
B．关于某一条直线对称的两个图形一定能够完全重合
C．能够互相重合的两个图形一定关于某一条直线成轴对称
D．两个图形关于某条直线对称，对应点一定在直线的两旁
B
10．小兰为了使自己设计的风筝更加美观，她计划在如图所示的筝面上将阴影部分涂上紫色颜料，已知该筝面的覆盖面积为1 m2，且该筝面为轴对称图形，则需要涂上紫色颜料的面积为 m2.
0.5
11．室内墙壁上挂一平面镜，小敏在平面镜内看到她背后墙上的时钟如图，则这时的实际时间是 (用12小时制表示)．
3∶40
12．如图，F，G是长方形ABCD边AD上两点，H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将△ABF，△GDH沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与BD上的点E重合，若∠ABF＝24°，则∠EHC＝ .
【解析】易得∠ABD＝48°，所以∠ADB＝42°，由GH⊥BD得∠DGH＋∠ADB＝∠DGH＋∠DHG＝90°，所以∠DHG＝42°.
96°
13．小华和小杰打算自己制作风筝的骨架，骨架的平面示意图如图所示，已知△ABC与△EDC关于直线l对称，AB与ED的交点F在直线l上，∠ACB＝90°.
(1)若∠ECA＝138°，则∠FCD的度数为 ；
(2)连接AE，BD，则线段AE和线段BD的位置
关系为 .
21°
AE∥BD
14．如图，P是∠AOB外的一点，Q是点P关于OA的对称点，R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN.如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．
解：由题意可知∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO.
因为∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，
所以∠PMO ＝∠QMO ＝ 33°，
∠PNO ＝∠RNO＝70°，
所以∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°，
所以∠MQP ＝(180°－∠PMQ)＝57°，
∠PNQ＝180°－∠PNR＝40°，
所以∠PQN＝180°－∠MQP＝123°，
所以∠QPN＝180°－∠PQN－∠PNQ＝17°.
15．如图，O为△ABC内部一点，OB＝，点O关于直线AB，直线BC的对称点分别为P，R.
(1)请指出当∠ABC为多少度时，PR的长等于7，并说明理由；
(2)请判断当∠ABC不是(1)中的角度时，PR的长度是小于7还是大于7？并说明理由．
解：(1) ∠ABC＝90°时，PR＝7.
理由：因为P，R分别为点O关于直线AB，BC 的对称点，
所以PB＝OB＝，RB＝OB＝.
因为∠ABC ＝ 90°，所以∠ABP＋∠CBR ＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°，
所以点P，B，R三点共线，所以PR＝7.
(2)PR的长度小于7.理由：当∠ABC≠90°时，点P，B，R不在同一直线上，所以PB＋BR>PR.因为PB＋BR＝2OB＝7，所以PR<7.(共17张PPT)
章末复习与提升
【重难点突破】
重难点一：轴对称图形
1．(徐州中考)古汉字“雷”的下列四种写法中可以看作轴对称图形的是( )
D
2．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
B
重难点二：轴对称变换及其性质
3．(覃塘区期末)如图，△ABC的周长为20 cm，把△ABC沿DE翻折，使点C和点A重合，若AE＝3 cm，则△ABD的周长是( )
A．14 cm
B．15 cm
C．16 cm
D．17 cm
A
4．(西乡塘区月考)如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D，若∠BOD＝46°，则∠AOC的度数为( )
A．30°
B．134°
C．88°
D．92°
D
5．如图所示的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形填充部分阴影，使得图①成为轴对称图形，图②成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．
解：如图所示(答案不唯一)．
重难点三：旋转及其性质
6．下列四个图形中，哪些图中的一个长方形是由另一个长方形按顺时针方向旋转90°后形成的( )
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
D
7．如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心按逆时针方向旋转的度数为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．180°
B
8．(沅江期末)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，则下列说法中错误的是( )
A．BC平分∠ABE
B．AB＝BD
C．AC∥BE
D．AC＝DE
C
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
(1)请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
(2)请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△O2A2B.
解：(1)(2)如图所示．
重难点四：图案设计
10．利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形(顶点都在格点上)．
(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形；
(2)完成上述设计后，整个图案的面积为 .
解：(1)如图所示．
20
【综合提升】
11．李老师将一副三角板按如图所示摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C逆时针旋转(旋转角度不超过360°)得到三角板CD′E′.
(1)若旋转角度为135°，判断AC和D′E′的位置关系，并说明理由；
(2)若D′E′∥CB，则三角板CDE的旋转度数可能是多少？
解：(1)AC∥D′E′.
理由：如答图①，
由旋转得∠ACE′＝135°.
因为∠CE′D′＝45°，
所以∠ACE′＋∠CE′D′＝135°＋45°＝180°，
所以AC∥D′E′.
(2)因为D′E′∥CB，
所以∠E′D′C＋∠D′CB＝180°.
又因为∠E′D′C＝90°，
所以∠D′CB＝90°，即点D′在直线AC上．
设旋转度数为α，可分两种情况讨论：
Ⅰ)如答图②，当D′落在边AC上时，
∠D′CE′＝45°，
所以α＝∠ACE′＝∠D′CE′＝45°.
Ⅱ)如答图③，当D′落在AC的延长线上时，∠E′CD′＝45°，
所以α＝180°＋45°＝225°.
综上所述，若D′E′∥CB，则三角板CDE的旋转度数可能是45°或225°.(共8张PPT)
综合与实践 利用变换设计美丽图形
1．构成如图所示中每个图形的一个基本图形是什么？它们是如何由基本图形变换而成的？
解：①是由基本图形黑色月牙依次旋转60°得到的．
②是由基本图形圆形平移得到的．
③是由基本图形菱形依次旋转60°得到的．
2．已知在网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图形是由一条对角线和以格点为圆心，半径为2的圆弧围成的弓形，请在图②中以图①为基本图形，借助轴对称、平移或旋转设计一个轴对称的花边图案(要求至少含有两种图形变换)．
解：如图，借助轴对称、平移设计出一个完整的花边图案即可，答案不唯一．
3．在民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图形经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图．
(1)根据图②将图③补充完整；
(2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形．
解：(1)补图如图所示．
(2)如图所示．(答案不唯一)
4．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请运用平移、旋转、轴对称等知识画出三种不同的设计图案(温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种)
解：答案不唯一，如图所示．(共19张PPT)
5．2 旋 转
知识点一：旋转的有关概念
1．下列运动形式中属于旋转的是( )
A．钟表上钟摆的摆动
B．投篮过程中球的运动
C．火箭升空的运动
D．传送带上物体位置的变化
A
2．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是( )
B
3．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则说法正确的是( )
A．绕点 P 逆时针旋转 60°
B．绕点N 逆时针旋转 90°
C．绕点 Q 顺时针旋转 180°
D．绕点 M 顺时针旋转 180°
B
4．如图，△ABC为等边三角形，D为三角形ABC内一点，△ABD顺时针旋转后到达△ACP的位置，则旋转中心是点 ，旋转角度为 .
A
60°
知识点二：旋转的性质
5．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C，此时点A在边B′C上，若BC＝5，A′C＝3，则AB′的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
A
6．如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝27°，则∠BOC的度数是 .
18°
7．如图，将△ABC绕某点逆时针旋转得到△ADE，∠BAE＝∠BAC，且点C恰好在AD上，求旋转角的度数．
解：由旋转的性质，得
∠BAC＝∠DAE，
因为∠BAE＝∠BAC，
∠BAE＋∠BAC＋∠DAE＝360°，
所以∠BAD＝∠BAC＝120°，
所以旋转角为120°.
知识点三：旋转作图
8．如图，画出四边形ABCD绕点C逆时针旋转90°后的图形．
解：如图，四边形A′B′CD′即为所要求作的图形．
9．如图，已知△ABC和点O，请画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1.
解：如图，△A1B1C1即为所求作．
10．小明读了“子非鱼，焉知鱼之乐”后，用电脑画了几幅鱼的图案，其中不能由左边的图案旋转得到的是( )
D
11．(宁夏中考)如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝
°.
50
12．如图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5 cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为
cm2.
5
13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C′恰好落在边 BC 上，AB与B′C′相交于点D.若△AB′D的面积为8 cm2，△BDC′的面积为4 cm2，求△ACC′的面积．
解：因为△AB′C′是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
所以S△AB′C′＝S△ABC，
所以S△AB′C′－S△ADC′＝S△ABC－S△ADC′，
所以S△AB′D＝S△BDC′＋S△ACC′，
所以S△ACC′＝S△AB′D－S△BDC′＝8－4＝4(cm2)．
14．两块不同的三角板按如图①所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°.接着如图②保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒10°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t为多少秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
解：分三种情况：
①当A′C∥AB时，如答图①，
所以∠A′CA＝∠BAC＝45°，
所以10t＝45，所以t＝4.5；
②当A′D′∥AC时，如答图②，
所以∠A′CA＝∠A′＝30°，
所以10t＝30，所以t＝3；
③当A′D′∥AB时，
过C作CD∥AB，如答图③，
则CD∥AB∥A′D′，
所以∠A＝∠ACD，∠A′＝∠A′CD，
所以∠A′CA＝∠ACD＋∠A′CD＝∠A＋∠A′＝75°，
所以10t＝75，所以t＝7.5.
综上所述，当旋转时间t＝4.5或3或7.5 s时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．(共19张PPT)
5．3 平面图形变换的简单应用
知识点一：图形变换
1．下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是( )
D
2．(广阳区模拟)如图，甲图案变为乙图案，可以用( )
A．旋转、平移
B．平移、轴对称
C．旋转、轴对称
D．平移
A
3．观察下列各图形，然后填空．
在图①中，左边的图形可以通过 变换得到右边的图形；在图②中，左边的图形可以通过 变换得到右边的图形；在图③中，左边的图形可以通过 变换得到右边的图形；在图④中，左边的图形可以通过 变换得到右边的图形．(填一种方案即可)
轴对称
平移
旋转
轴对称
4．如图所示的图案，它可以看成是什么“基本图形”通过怎样的变换而得到的？
解：图案是以一个叶片和柄为“基本图形”，通过连续四次旋转而形成，旋转角度分别为72°，144°，216°，288°.
知识点二：图案设计
5．你喜欢穿什么品牌的衣服？你注意到以下四个图案了吗？它们表示洗涤说明，那么在设计中没有运用旋转或轴对称知识的是( )
C
6．如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①是轴对称图形；②所作图案用阴影标记，且阴影部分面积为4.
解：答案不唯一，以下各图供参考(如图所示)．
7．请用圆形、长方形、等腰三角形(数量不限，但三种图形都要用到)设计一个简单、美观的图形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形．
解：如图所示．(答案不唯一)
8．(教材P146例题改编)如图，将该图形先绕点O旋转180°，再以上边缘所在的直线为轴，将该图形向上作轴对称变换，所得到的图形是( )
B
9．(呼和浩特中考)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是( )
A．96
B．69
C．66
D．99
B
10．把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )
C
11．如图，下列图形均可由“基本图形”通过变换得到．
(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是 ；
(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是 ；
(3)既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是 .
①⑤
②⑥
③④
12．如图①、图②、图③均是边长为1的4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，M，N均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图．
(1)在图①中，画出图中△ABC向右平移3 格后得到的△DEF；
(2)在图②中，画出△ABC关于直线MN对称的△DEF；
(3)在图③中，画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△DEF.
解：(1)(2)(3)如图所示．
13．如图是北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；
②所设计的图案(不含方格纸)必须是可以通过旋转或轴对称变换得到．
解：如图的图形都符合条件．
