第四章 三角形
(满分150分，考试时间120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
2.如图，△ABC中的边BC上的高是（ ）
A.AF B.DB C.CF D.BE
3.如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为（ ）
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
4.将一副三角尺(△ABC，△DAE)按照如图所示的位置放置。若AE∥BC，则∠AFD的度数是（ ）
A.75° B.60° C.50° D.45°
5.如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加下列条件后，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A.∠B＝∠E B.∠ACD＝∠BFE C.AC＝DF D.BC＝EF
6.如图，将△ABC沿AE折叠，使点C落在边BC上的点D处，且AD平分∠BAE，若∠BAC＝75°，则∠C的度数为（ ）
A.45° B.55° C.65° D.75°
7.如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数为（ ）
A.30° B.32° C.33° D.35°
8.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（ ）
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
9.如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠EDC＝70°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.40° C.70° D.35°
10.在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架。已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，△ABC的周长为24 cm，FC＝3 cm。制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（ ）
A.44 cm B.45 cm C.46 cm D.48 cm
11.如图，△ABC中，BA＝BD，BD＝2DC，∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC。若△ABC的面积为9 cm2，则△BPC的面积为（ ）
A.1.5 cm2 B.3 cm2 C.4.5 cm2 D.6 cm2
12.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AD＝AC，在AC上截取AE＝AB，连接DE，BE，并延长BE交CD于点F，有下列结论：①△BAC≌△EAD；②∠ABE＋∠ADE＝∠BCD；③ BC＋CF＝DE＋EF。其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.起重机的底座，输电线路的支架，自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 。
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(不与点B，C重合)，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 (写出一个即可)。
15.如图，在△ABC中，BD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠DBE＝12°，则∠A的度数是 。
16.如图，AC＝AE，AD＝AB，∠ACB＝∠DAB＝90°，∠BAE＝33°，AE∥CB，AC，DE交于点F，当AF＝1时，BC的长为 。
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(12分)在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A。
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
18.(10分)已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使AC＝b，BC＝2a，∠C＝180°－α。(不写作法，保留作图痕迹)
题图
19.(10分)如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC。
(1)试说明△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数。
20.(10分)如图，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，BE与CD相交于点O。
(1)在不添加辅助线的情况下，由已知条件可以得出许多结论，例如：△ABE≌△ACD, ∠DOB ＝ ∠EOC, ∠DOE ＝∠BOC等，请再写出3个结论(所写结论不能与题中举例相同，答案不唯一，只要写出3个即可)：
① ，② ，③ ；
(2)请从写出的结论中，选取一个说明其成立的理由。
21.(10分)七年级某班数学实验课安排测量操场上旗杆的高度，小聪同学经过认真思考，研究出了一个可行的测量方案：在某一时刻测得旗杆AB的影长BC和∠ACB的大小，然后在操场上画∠MDN，使得∠MDN＝∠ACB，在边DM上截取线段DE＝BC，再利用三角形全等的知识求出旗杆的高度，请完成小聪同学的测量方案，并把图形补画完整，说明方案可行的理由。
22.(10分)如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧；②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD。
(1)试说明△ABC≌△ADC；
(2)试猜想BD与AC的位置关系，并说明理由。
23.(12分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。
(1)化简代数式：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝ ；
(2)若AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和6两部分，求底边BC的长。
24.(12分)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E。G，F分别在BD，BC上，连接DF，GF，其中∠FDC＝∠BDF＋∠EDC，GD＝DE。
(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
(2)试说明：CF＝FG＋CE。
25.(12分)阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫作对顶三角形，如图①，△AOB与△COD互为对顶三角形。
(1)问题发现：如图①，试说明∠A＋∠B＝∠D＋∠C；
(2)拓展研究：如图②，若AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线，∠B＝m°，∠C＝n°，求∠M的度数(用含m，n的代数式表示)；
(3)解决问题：在(2)的条件下，若AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB。100°<∠N<120°，则m＋n的取值范围为 。第四章 三角形
(满分150分，考试时间120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（C）
A.2 B.3 C.6 D.8
2.如图，△ABC中的边BC上的高是（A）
A.AF B.DB C.CF D.BE
3.如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为（C）
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
4.将一副三角尺(△ABC，△DAE)按照如图所示的位置放置。若AE∥BC，则∠AFD的度数是（A）
A.75° B.60° C.50° D.45°
5.如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加下列条件后，不能判定△ABC≌△DEF的是（D）
A.∠B＝∠E B.∠ACD＝∠BFE C.AC＝DF D.BC＝EF
6.如图，将△ABC沿AE折叠，使点C落在边BC上的点D处，且AD平分∠BAE，若∠BAC＝75°，则∠C的度数为（C）
A.45° B.55° C.65° D.75°
7.如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数为（B）
A.30° B.32° C.33° D.35°
8.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（B）
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
9.如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠EDC＝70°，则∠A的度数为（B）
A.50° B.40° C.70° D.35°
10.在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架。已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，△ABC的周长为24 cm，FC＝3 cm。制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（B）
A.44 cm B.45 cm C.46 cm D.48 cm
11.如图，△ABC中，BA＝BD，BD＝2DC，∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC。若△ABC的面积为9 cm2，则△BPC的面积为（C）
A.1.5 cm2 B.3 cm2 C.4.5 cm2 D.6 cm2
12.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AD＝AC，在AC上截取AE＝AB，连接DE，BE，并延长BE交CD于点F，有下列结论：①△BAC≌△EAD；②∠ABE＋∠ADE＝∠BCD；③ BC＋CF＝DE＋EF。其中正确的有（D）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.起重机的底座，输电线路的支架，自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了三角形的稳定性。
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(不与点B，C重合)，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是BD＝CD(答案不唯一)(写出一个即可)。
15.如图，在△ABC中，BD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠DBE＝12°，则∠A的度数是 62°。
16.如图，AC＝AE，AD＝AB，∠ACB＝∠DAB＝90°，∠BAE＝33°，AE∥CB，AC，DE交于点F，当AF＝1时，BC的长为2。
【解析】作DG⊥AC，证△ADG≌△BAC，△AEF≌△GDF，得AF＝BC。
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(12分)在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A。
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
解：(1)∠A＝30°，∠B＝60°。
(2)△ABC按边分属于不等边三角形，按角分属于直角三角形。
18.(10分)已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使AC＝b，BC＝2a，∠C＝180°－α。(不写作法，保留作图痕迹)
题图
解：如答图，△ABC即为所求。
19.(10分)如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC。
(1)试说明△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数。
解：(1)在△ABE和△DCE中，
所以△ABE≌△DCE(AAS)。
(2)因为△ABE≌△DCE，所以BE＝EC，所以∠EBC＝∠ECB，因为∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，所以∠EBC＝25°。
20.(10分)如图，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，BE与CD相交于点O。
(1)在不添加辅助线的情况下，由已知条件可以得出许多结论，例如：△ABE≌△ACD, ∠DOB ＝ ∠EOC, ∠DOE ＝∠BOC等，请再写出3个结论(所写结论不能与题中举例相同，答案不唯一，只要写出3个即可)：
①BD＝CE，②∠ACD＝∠ABE，③△DBC≌△ECB；
(2)请从写出的结论中，选取一个说明其成立的理由。
解：(2)选择①BD＝CE。(答案不唯一)
理由：在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(ASA)，
所以AB＝AC，所以AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE。
21.(10分)七年级某班数学实验课安排测量操场上旗杆的高度，小聪同学经过认真思考，研究出了一个可行的测量方案：在某一时刻测得旗杆AB的影长BC和∠ACB的大小，然后在操场上画∠MDN，使得∠MDN＝∠ACB，在边DM上截取线段DE＝BC，再利用三角形全等的知识求出旗杆的高度，请完成小聪同学的测量方案，并把图形补画完整，说明方案可行的理由。
解：过点E作GE⊥DM，交DN于点G，此时EG＝AB。
理由：在△ACB和△GDE中，
∠ACB＝∠GDE，CB＝DE，
∠ABC＝∠GED，
所以△ACB≌△GDE(ASA)，所以AB＝EG，即可得出旗杆高度。
22.(10分)如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧；②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD。
(1)试说明△ABC≌△ADC；
解：由作图步骤可得AB＝AD，
BC＝DC，因为AC＝AC，
所以△ABC≌△ADC(SSS)。
(2)试猜想BD与AC的位置关系，并说明理由。
解：BD⊥AC，理由：由(1)知△ABC≌△ADC，
所以∠BAC＝∠DAC，因为AB＝AD，
所以△ABE≌△ADE(SAS)，所以∠AEB＝∠AED，
又因为∠AEB＋∠AED＝180°，
所以∠AEB＝90°，所以BD⊥AC。
23.(12分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。
(1)化简代数式：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝2a；
(2)若AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和6两部分，求底边BC的长。
解：(2)设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
因为AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
所以①当3x＝15，且x＋y＝6时，解得x＝5，y＝1，
即三边长分别为10，10，1；
②当x＋y＝15且3x＝6时，解得x＝2，y＝13，此时腰为4，
因为4＋4＝8＜13，所以这种情况不存在，
所以△ABC的底边BC的长为1。
24.(12分)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E。G，F分别在BD，BC上，连接DF，GF，其中∠FDC＝∠BDF＋∠EDC，GD＝DE。
(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
解：因为∠A＝80°，
所以∠ABC＋∠ACB＝100°，
因为BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
所以∠DBC＋∠DCB＝50°，
所以∠EDC＝∠DBC＋∠DCB＝50°。
(2)试说明：CF＝FG＋CE。
解：在BC上取一点M，使CM＝CE，
易证△DEC≌△DMC(SAS)，
所以∠MDC＝∠EDC，DM＝DE，
因为∠FDC＝∠BDF＋∠EDC，所以∠FDM＝∠BDF，
又因为DG＝DM，
所以△DGF≌△DMF(SAS)，所以GF＝MF，
所以CF＝CM＋FM＝CE＋GF。
25.(12分)阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫作对顶三角形，如图①，△AOB与△COD互为对顶三角形。
(1)问题发现：如图①，试说明∠A＋∠B＝∠D＋∠C；
(2)拓展研究：如图②，若AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线，∠B＝m°，∠C＝n°，求∠M的度数(用含m，n的代数式表示)；
(3)解决问题：在(2)的条件下，若AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB。100°<∠N<120°，则m＋n的取值范围为120～160。
解：(1)因为∠A＋∠B＋∠AOB＝∠D＋∠C＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，所以∠A＋∠B＝∠D＋∠C。
(2)因为∠AED＝∠B＋∠BAE＝∠M＋∠EDM，
所以∠M＝∠B＋∠BAE－∠EDM，
因为AM平分∠BAC，DM平分∠BDC，
所以∠BAE＝∠BAC，∠EDM＝∠BDC，
由(1)知∠BAC＋∠B＝∠BDC＋∠C，
所以∠BAC－∠BDC＝∠C－∠B，
所以∠M＝∠B＋∠BAE－∠EDM
＝∠B＋∠BAC－∠BDC＝∠B＋(∠BAC－∠BDC)
＝∠B＋(∠C－∠B)＝∠B＋∠C＝m°＋n°。
