第五章 图形的轴对称
(满分150分，考试时间120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（A）
2.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（B）
A.85° B.75° C.60° D.30°
3.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，若PD＝2，OC＝3，则△POC的面积为（C）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠BAD＋∠BCD＝180°，则∠B的度数为（A）
A.90° B.95° C.80° D.85°
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝AD＝4 cm，AE＝AF，则图中阴影部分的面积是（C）
A.32 cm2 B.16 cm2 C.8 cm2 D.无法确定
6.如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形，则符合条件的不同的画法有（D）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
7.如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（A）
A.65° B.60° C.55° D.45°
8.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO为（B）
A.1∶1∶1 B.2∶3∶4
C.1∶2∶3 D.3∶4∶5
9.如图，在等边三角形ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，E，F分别是BC，AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，则BE的长为（C）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（D）
A.26° B.28° C.30° D.32°
11.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2。现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（C）
12.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＞AB，P是△ABC外一点，PM垂直平分AC于点M，交BC于点E，PN垂直平分AB于点N，交BC于点F，连接AE，AF。有下列说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝60°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等。其中正确的有（C）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.剪纸艺术充分体现了我国劳动人民的智慧。如图所示的剪纸图案共有4条对称轴。
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E。若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB＝16cm。
15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15°。
16.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，连接DE，DF⊥BC于点F，则∠EDC＝30°。
【解析】过点D作DM⊥AC交CA的延长线于点M，DN⊥AE于点N，根据角平分线的性质得到DF＝DM，根据邻补角的定义得到∠DAM＝60°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB＝90°，得到∠DEF＝45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论。
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(12分)如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm。
(1)试写出EF，AD的长；
(2)求∠G的度数。(提示：四边形的内角和是360°)
解：(1)EF＝AB＝3 cm，
AD＝EH＝4 cm。
(2)因为∠B＝125°，
∠A＋∠D＝155°，
所以∠C＝360°－125°－155°＝80°。
所以∠G＝∠C＝80°。
18.(10分)如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，求∠AEC的度数。
解：因为BE平分∠ABC，
∠ABC＝50°，所以∠EBC＝25°，
又因为ED垂直平分BC，
所以BE＝CE，所以∠C＝∠EBC＝25°，
所以∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝65°，
所以∠AEC＝180°－∠DEC＝115°。
19.(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上。
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)。
①作∠CBD的平分线BM；
②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F；
(2)由(1)得BF与边AC的位置关系是 平行，并说明理由。
解：(1)①②如图所示。
(2)理由：因为AB＝BC，
所以∠CAB＝∠C，
因为∠C＋∠CAB＋∠ABC
＝∠CBM＋∠DBM＋∠ABC，
而∠CBM＝∠MBD，所以∠C＝∠CBM，所以BF∥AC。
20.(10分)如图，在△ABC中，D为边AB上一点，AD＝DC＝CB，∠ACB＝105°，求∠DCB的度数。
解：因为DC＝AD，所以∠ACD＝∠A，
所以∠CDB＝∠ACD＋∠A＝2∠A，
因为CB＝DC，所以∠B＝∠CDB＝2∠A，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝∠A＋∠DCB＝105°，
∠A＋∠B＋∠ACB＝4∠A＋∠DCB＝180°，
所以∠A＝∠ACD＝25°，所以∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝80°。
21.(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数。
解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，
所以∠ABC＝∠C＝40°，
因为BE是△ABC的角平分线，
所以∠ABE＝20°，因为AD是△ABC中线，
所以∠BAD＝50°，所以∠AFB＝110°。
所以∠AFE＝180°－∠AFB＝70°。
22.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA。
(1)∠A＝36°；
(2)若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数。
解：(2)因为EC＝EA，所以∠2＝∠A＝36°，
因为BD⊥AC，
所以∠DFC＝54°，
所以∠1＝∠DFC＝54°。
23.(12分)如图，三角形纸片ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD(点D在线段AC上且不与A，C重合)。
(1)如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；
(2)如图②，若点C落在AB边下方的点E处，求△ADE周长的取值范围。
解：(1)由折叠知DE＝CD，BE＝BC＝6，
所以AE＝AB－BE＝2，
因为AD＋DE＝AD＋CD＝AC＝5，
所以△AED的周长为5＋2＝7。
(2)由折叠知DE＝CD，BE＝BC＝6，
在△ADE中，AD＋DE＝AD＋CD＝AC＝5，
AE＜AD＋DE，即AE＜5。
在△ABE中，AE＞AB－BE，即AE＞2。所以2＜AE＜5，
所以7＜△AED的周长＜10。
24.(12分)如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。
(1)试说明CE＝CB；
解：因为AD＝CD，
所以∠DAC＝∠DCA。因为AB∥CD，
所以∠DCA＝∠CAB。
所以∠DAC＝∠CAB。所以AC是∠EAB的平分线，
因为CE⊥AE，CB⊥AB，所以CE＝CB。
(2)连接BE，请写出BE与AC的关系，并说明理由。
解：AC垂直平分BE。
理由：设BE交AC于点F。由(1)知∠EAC＝∠BAC。
因为CE⊥AE，CB⊥AB，
所以∠CEA＝∠CBA＝90°。所以△CEA≌△CBA(AAS)，
所以AE＝AB。易得△FEA≌△FBA(SAS)，
所以∠AFE＝∠AFB＝90°，BF＝EF。所以AC垂直平分BE。
25.(12分)(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF。线段AF与BD之间的数量关系为AF＝BD；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与图①相同，猜想AF与BD在图①中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并说明理由；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？请直接写出你的结论。
解：(2)AF＝BD仍然成立。
理由：因为△ABC是等边三角形，所以BC＝AC，∠BCA＝60°，
同理可得DC＝CF，∠DCF＝60°，
所以∠BCA＋∠DCA＝∠DCF＋∠DCA，
即∠BCD＝∠ACF，所以△BCD≌△ACF(SAS)，所以AF＝BD。
(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB。
理由：由(1)知，△BCD≌△ACF(SAS)，则BD＝AF。
同理△BCF′≌△ACD(SAS)，则BF′＝AD，
所以AF＋BF′＝BD＋AD＝AB。
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立。新的结论是AF＝AB＋BF′。第五章 图形的轴对称
(满分150分，考试时间120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（ ）
2.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A.85° B.75° C.60° D.30°
3.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，若PD＝2，OC＝3，则△POC的面积为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠BAD＋∠BCD＝180°，则∠B的度数为（ ）
A.90° B.95° C.80° D.85°
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝AD＝4 cm，AE＝AF，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.32 cm2 B.16 cm2 C.8 cm2 D.无法确定
6.如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形，则符合条件的不同的画法有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
7.如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A.65° B.60° C.55° D.45°
8.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO为（ ）
A.1∶1∶1 B.2∶3∶4
C.1∶2∶3 D.3∶4∶5
9.如图，在等边三角形ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，E，F分别是BC，AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，则BE的长为（ ）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（ ）
A.26° B.28° C.30° D.32°
11.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2。现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（ ）
12.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＞AB，P是△ABC外一点，PM垂直平分AC于点M，交BC于点E，PN垂直平分AB于点N，交BC于点F，连接AE，AF。有下列说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝60°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等。其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.剪纸艺术充分体现了我国劳动人民的智慧。如图所示的剪纸图案共有 条对称轴。
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E。若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB＝ cm。
15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 。
16.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，连接DE，DF⊥BC于点F，则∠EDC＝ 。
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(12分)如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm。
(1)试写出EF，AD的长；
(2)求∠G的度数。(提示：四边形的内角和是360°)
18.(10分)如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，求∠AEC的度数。
19.(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上。
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)。
①作∠CBD的平分线BM；
②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F；
(2)由(1)得BF与边AC的位置关系是 ，并说明理由。
20.(10分)如图，在△ABC中，D为边AB上一点，AD＝DC＝CB，∠ACB＝105°，求∠DCB的度数。
21.(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数。
22.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA。
(1)∠A＝ ；
(2)若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数。
23.(12分)如图，三角形纸片ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD(点D在线段AC上且不与A，C重合)。
(1)如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；
(2)如图②，若点C落在AB边下方的点E处，求△ADE周长的取值范围。
24.(12分)如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。
(1)试说明CE＝CB；
(2)连接BE，请写出BE与AC的关系，并说明理由。
25.(12分)(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF。线段AF与BD之间的数量关系为 ；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与图①相同，猜想AF与BD在图①中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并说明理由；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？请直接写出你的结论。
