2025年九年级一轮复习【解题模型】专辑二（含答案）

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2025年九年级一轮复习【解题模型】专辑二
一、单选题
1．（2024八下·渠县月考）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中弦，股，则小正方形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022九下·新河模拟）如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若，，则的面积为（　　）
A．12 B．25 C．8 D．18
3．（2023八上·城关期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积为（　　）
A．15 B．12 C．27 D．45
4．（2024·云南模拟）按一定规律排列的一列数依次为-a2，a5，-a8，a11，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是(　　)
A．a23 B．-a26 C．a29 D．a32
5．（2024九下·富阳期中）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023七上·西安月考）如图，按照图1、图2、图3的数字规律，则图4的括号中应填数字　 　；
7．（2023八下·霸州期中）图甲中菱形两条对角线的长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图乙所示的大正方形，则大正方形的边长是　 　，图乙中间的小正方形的面积等于　 　．
8．（2024八上·东莞期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则　 　．
9．（2024八下·澧县期中）2002年国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是下图，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值是　 　．
10．（2024七下·福田期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是　 　．
11．（2023八上·薛城月考）如图，大风把一棵树刮断，已知树与地面垂直，且米，米，则原来树高　 　米．
三、计算题
12．（2024八下·寻乌期末）（1）计算：．
（2）如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，求木杆折断之前的高度．
四、解答题
13．（2024八下·南昌期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？
14．（2023八上·禅城月考）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面处折断倒下，树顶落在离树根处，求大树在折断之前的高度．
五、综合题
15．（2024八下·蚌埠高新技术开发期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长．
16．（2024八上·滕州月考）在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
17．（2024八下·昂仁期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
六、实践探究题
18．（2024七上·嘉兴期末）观察下面的等式：，，，，…，根据其中的规律，解决下列问题：
（1）【尝试】写出关于的等式．
（2）【归纳】写出关于的等式．
（3）【运用】计算的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】“赵爽弦图”模型
2．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；“赵爽弦图”模型；已知正切值求边长
3．【答案】B
【知识点】“赵爽弦图”模型
4．【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
6．【答案】10
【知识点】探索规律-数阵类规律
7．【答案】5；1
【知识点】菱形的性质；“赵爽弦图”模型
8．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；“赵爽弦图”模型
9．【答案】25
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
10．【答案】1＜AD＜7
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
11．【答案】
【知识点】风吹树折模型
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算；风吹树折模型
13．【答案】尺
【知识点】风吹树折模型
14．【答案】
【知识点】风吹树折模型
15．【答案】
【知识点】风吹树折模型
16．【答案】这棵树高15m
【知识点】风吹树折模型
17．【答案】8米
【知识点】风吹树折模型
18．【答案】（1）解：根据前面给出的a1，a2，a3，a4等式的规律，可得a6=1+=，
（2）解：∵a1=1+==，a2=1+==，a3=1+==，a4=1+==，…，
∴可以归纳为an=，
（3）解：由（2）得：an=，
∴a1a2a3a4…an=××××…×××=，
当n=20时，原式==231.
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
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