2024-2025学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. 集合 C. D.
2.已知命题：，命题：为第三象限或第四象限的角，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列正确的是( )
A. B. 若，则
C. D.
4.集合，与对应关系如图所示，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. ：是从集合到集合的函数
C. ，对应关系
D. ：的定义域为集合，值域为集合
5.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则( )
A. B. C. D.
6.下列正确的是( )
A. B.
C. D.
7.函数的零点个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则( )
A.
B. ，
C. 的解集为
D. 的解集为
10.函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A.
B. 在区间单调递增
C. 若方程在区间上有两个不相等的实数根，，则
D. 将图象的横坐标伸长到原来的倍，再向右平行移动个单位长度，得到函数
11.定义二元函数，其中，，且，记，如，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若扇形的半径为，面积为，则扇形圆心角为______弧度．
13.已知，，，则，，的大小顺序为______．
14.已知函数，若，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，，，．
当时，求的值；
已知集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
化简：；
已知是第三象限角，求的值．
17.本小题分
设函数．
当时，证明：函数为奇函数，并求出函数的值域；
当时，探索函数的单调性，并用函数单调性的定义给予证明．
18.本小题分
如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点．
当时，求的值；
当的周长为时，
求的大小；
设，为的面积，求的最小值．
19.本小题分
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数．
函数是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明理由；
已知直线与函数的图象有三个交点设为，，，求的值；
已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，
所以，，
即，，
所以；
集合，
因为，
所以，
即实数的取值范围为．
16.解：
；
因为是第三象限角，
所以，
可得，
所以，
可得．
17.解：证明：当时，，
，
，
故函数为奇函数；
又为上的减函数，
所以为上的增函数，且当时，，且当时，，
所以的值域为；
当时，为增函数；
证明：设，，且，
则，
故，
所以，即当时，为增函数；
同理可证，当时，为减函数．
18.解：因为正方形的边长为，，
则，，
所，
，
，
则，
所以，
则．
设线段、的长度分别为、，，，
因为正方形的边长为，则，，
因为的周长为，所以，
则由勾股定理得，即，
又因为，，
则，
因为，所以，
所以．
由知，设，，
则，，，
，
因为，所以，
则，则，
则，
所以，
所以的面积的最小值为．
19.解：函数的图象有对称中心，证明如下：
因为，
假设函数的图象关于点成中心对称图形，
等价于函数为奇函数，
因为，即，
可知的定义域为，
可得，即，
此时，
可得，解得，
此时为定义在内的奇函数，
所以的对称中心为；
直线与函数的图象有三个交点，
函数的图象过点，
当时，，
所以当，时，
直线与函数的图象有两个交点，如下图：
设另外两个交点为，，
两个交点关于点对称，
则，
当时，
由，解得，舍，
则直线与函数的图象有一个交点，如下图：
设坐标为，
所以直线与函数的图象有三个交点，
则；
因为，时为减函数，
且，，
则函数，的值域为，
当时，，
所以当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
又函数的图象关于点对称，使得，
所以当时，函数，的值域为，
由，
可得，解得，则；
当时，函数，的值域为，
由，
则，解得，则；
当时，函数，的值域为，
由，则，解得，则；
当时，函数，的值域为，
由，则，解得，则；
综上所述，实数的取值范围为．
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