2024-2025学年广东省深圳市明德实验学校大鹏校区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市明德实验学校高级中学大鹏校区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知是椭圆：上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，设，则( )
A. B. C. D.
4.已知是等比数列，，，则公比( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为( )
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离
6.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.将正奇数按照如图排列，我们将，，，，，，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知集合，，若，则的最小值( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是( )
A. 焦点 B. 准线方程
C. 点或 D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
10.等差数列的前项和为，公差为，若，，则( )
A. B.
C. 当时，取得最大值 D. 当时，取得最大值
11.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且则下列结论中正确的有( )
A. 当向运动时，总成立
B. 当向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列中，，公差，则 ______．
13.已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．
14.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，与垂直，垂足为，若，则的面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
Ⅰ求；
Ⅱ求；
Ⅲ若，求的值．
16.本小题分
已知圆心为的圆经过原点．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ设直线与圆交于，两点，求的面积．
17.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形．
求椭圆的标准方程；
过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长．
19.本小题分
文科生做如图，四棱锥中，底面，，，，，，是线段上的一点不包括端点．
求证：平面；
求点到平面的距离；
试确定点的位置，使直线与平面所成角的正弦值为．
参考答案
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15.解：Ⅰ；
Ⅱ因为，，
所以，，
所以；
Ⅲ因为，
所以，
解得．
16.解：圆的半径为 ，
从而圆的方程为．
Ⅱ解：作于，则平分线段．
在直角三角形中，由点到直线的距离公式，得，
所以．
所以．
所以的面积．
17.解：设正项等比数列的公比为，，且，，成等差数列，
，
，
化为：，
解得．
．
．
数列的前项和．
18.解：因为椭圆的长轴长为，为正三角形，
所以，
解得，，，
则椭圆的标准方程为；
由知，，
所以该直线为，
联立，消去并整理得，
解得，．
则．

19.证明：底面，平面，，
，
，又，
平面．
解：取的中点，则，，
又底面，，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
点到平面的距离：
．
Ⅲ设，，
则，
解得点，即，
由，
解得不合题意舍去或，
当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．
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