人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.4向量的数量积 教学设计（表格式）

人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.4向量的数量积教学设计
课题 6.2.4平面向量的数量积
课型 新课型 课时 2课时
学习目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和运算．3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯．
学习重点 平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
学习难点 平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质．理解平面向量数量积的运算律.
学情分析 在此之前学生已学面向量的坐标表示和平面向量数量积的概念及运算,但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便.如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用起来更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题.
核心知识 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积．
教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
导入新知我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示．那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？【实际情境】观察小车的运动，讨论功的计算公式．提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移（图6.2-18），那么力所做的功，其中是与的夹角．预设互动回答：力有做功，但是不能用W=FS，因为力F不在位移S的方向上；对力F进行正交分解，垂直于位移方向的分力F2不做功，只有在位移方向的分力F1做功；在位移方向的分力F1大小为，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小．【设计意图】向量数量积概念不是凭空产生的，用人拉小车这一实例，让学生感受“向量乘以向量”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念．因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念．已知两个非零向量，（图6.2-19），是平面上的任意一点，作，．则叫做向量与的夹角．显然，当时，与同向；当时，与反向．如果与的夹角是，我们说与垂直，记作 ．已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积（inner product）），记作，即．规定：零向量与任一向量的数量积为0．对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关． 应用新知例9 已知，，与的夹角，求．解：．【变式】已知平面向量，满足，且与的夹角为. 求的值； 【答案】 3； 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算【分析】 根据数量积的定义代入计算即可得出结果； 【详解】 由可得；即可得. 例10 设，，，求与的夹角．解：由，得．因为，所以．【变式】已知 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、相等向量【分析】利用向量的夹角定义直接得解.【详解】如图，与的夹角为，故选：C如图6.2-20(1)，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影(project)，叫做向量在向量上的投影向量．如图6.2-20(2)，我们可以在平面内任取一点，作，．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．2.向量的投影◆探究如图6.2-20(2)，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？显然，与共线，于是．下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式．我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论．当为锐角(图6.2-21(1))时，与方向相同，，所以；当为直角(图6.2-21(2))时，，所以；当θ为钝角(图6.2-21(3))时，与方向相反，所以即．当时，，所以当时，，所以．从上面的讨论可知，对于任意的，都有．【设计意图】1.引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的投影以及数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义．2.通过课前尝试练习，使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解，课堂上师生展开互动分析，并进行归纳总结，为数量积的性质埋下伏笔．向量数量积的性质◆探究从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质．设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则(1)．(2)．如果是否有，或 (3)当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或。 ◆常记作．此外，由还可以得到．【设计意图】将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？【活动预设】展示数学乘法运算的运算律，及前两节所学的向量的线性运算律，学生类比出数量积的一些运算律.【预设的答案】 运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝baa·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)a(b·c)＝(a·b)c正确错误分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确 【设计意图】引导学生类比已学内容，做出猜想，为引入本节的数量积运算律做铺垫.2.分析联想，寻求方法活动：尝试说明上述猜想正确与否，并给出证明：由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量，，和实数，有（1）；（2）；（3）．【活动预设】教师带领学生讨论，学生尝试说明以上猜想正确与否.【预设的答案】（1）交换律显然成立.（2）数乘结合律：(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)(λa)·b=|λa||b|cos θ1 λ(a·b)=λ|a||b|cos θ2 a·(λb)=|a||λb|cos θ3 对λ分类讨论可以说明数乘结合律是成立的.数量积结合律： 思考： a(b·c)＝(a·b)c成立吗？由于 a(b·c)表示与a共线的向量，(a·b)c表示与c共线的向量，所以这个式子不成立.（3）分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c教师讲授：利用a＋b的投影向量等于a与b的投影向量之和可以证明.3.猜想验证，得出结论向量数量积的运算律：a·b＝b·a；（交换律） （2）(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)；（数乘结合律）（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.（分配律）下面我们利用向量投影证明分配律(3).证明：如图6.2-22，任取一点，作，，，．设向量，，与的夹角分别为，，，它们在向量上的投影向量分别为，，，与方向相同的单位向量为，则，，．因为，所以．于是，即，整理，得，所以，即．所以．因此．【设计意图】培养学生的归纳总结能力；鼓励学生大胆猜想，小心求证；紧扣向量的数量积定义进行运算律的验证，便于理解向量数量积的运算律.思考设，，是向量，一定成立吗？为什么？应用新知例11 我们知道，对任意，恒有，．对任意向量，，是否也有下面类似的结论？(1)；(2)．解：(1)；(2)．因此，上述结论是成立的．【活动预设】学生可利用分配律和交换律自行推导，加深对数量积运算律的理解.【设计意图】通过数量积运算律的探索过程，学生已感受到类比推理的魅力.进一步类比实数范围内常用的结论，可以得到向量范围内的常用结论.【变式】已知，与的夹角求：(1)；(2)的值；(3).【答案】(1)(2)(3)【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模【分析】（1）直接代入向量的数量积公式计算即可；（2）根据向量的运算律计算即可；（3）根据向量模的公式计算即可.【详解】（1）===；（2）；（3），所以，.例12 已知，，与的夹角为，求．解：【活动预设】学生动手操作，尝试初步运用. 【设计意图】应用向量运算律解决计算问题，对初学者来说是有些难度的，教师根据运算律详细展示计算过程，加深巩固学生对新知识的把握.【变式】已知向量，满足，，．(1)求的值；(2)求向量与的夹角．【答案】(1)(2)【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算【分析】（1）由条件推理求得利用向量数量积的运算律即可求得；（2）利用计算向量夹角的公式，先求和，再代入公式计算即得.【详解】（1）因，,由可得，，即于是，；（2）设向量与的夹角为，则，因，，，即与的夹角为．例13 已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直？解：与互相垂直的充要条件是，即．因为，，所以．解得．也就是说，当时，与互相垂直．【活动预设】引导学生开动脑筋，考虑将几何问题与向量联系起来.【设计意图】通过此题让学生感受向量处理问题的优势. 通过向量运算将几何问题转化为代数问题，这为解决几何问题提供了新的思路.课堂总结1．知识清单：(1)向量的夹角．(2)向量数量积的定义．(3)投影向量．(4)向量数量积的性质．2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角．向量数量积的概念1.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.关于数量积的结果(1)非零向量数量积的运算结果是一个数量，当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.(2)特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0.向量的投影关于投影向量(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量·.(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ.向量数量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.(2)a⊥b a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a|·|b|.(5)cos θ＝.向量数量数量积的注意点：(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量．(4)|a|＝是求向量的长度的工具．(5)区分0·a＝0与0·a＝0．(6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件．
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