甘肃省定西市八校2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省定西市八校 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过点 (0,0)， (1,0)，则 的倾斜角为( )
3
A. B. C. 0 D.
4 2 4
2.从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的
走法有( )
A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种
3.已知数列0，lg2，lg3，lg4，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有( )
A. 8项 B. 9项 C. 10项 D. 11项
2 2
4.若双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 2，则其渐近线方程为( )
√ 2
A. = ±2 B. = ± C. = ±√ 2 D. = ±
2
5.将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有( )
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
2 2
6.已知椭圆 : + = 1的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 .过 1且垂直于 2的直线与 交于 ， 两4 3
点，则 的周长为( )
A. 4 B. 4√ 2 C. 8 D. 8√ 2
7.图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2 ，水面宽6 ，水面下降1 后，水面宽度
为( )
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A. 3√ 3 B. 3√ 2 C. 3√ 6 D. 8
8.如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相
同，中心对称的两个区域(如区域1与区域4)所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂
色方案有( )
A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(2 3 )4 = + + 2 + 3 + 40 1 2 3 4 ，则( )
A. 0 = 16 B. 1 = 96
C. 1 + 2 + 3 + 4 = 16 D. 展开式中所有项的 二项式系数的和为16
10.已知等比数列{ }的前 项积为 ， 1 = 8，且 4 = 3，则下列结论正确的是( )
1 (7 )
A. 4 = 1 B. { }的公比为 C. 3 = 32 D. = 2 2 2
11.已知圆 : 2 + 2 = 1，直线 : = + ( ∈ )，下列结论正确的是( )
A. 若直线 与圆 相切，则 = ±1
1
B. 若 = 1，则圆 上到直线 的距离为 的点恰有2个
2
C. 若圆 上存在点 ，直线 上存在点 ，使得∠ = 30 ，则 的取值范围为[ 2√ 2, 2√ 2]
5
D. 已知 (0,1)， ( , )， 为圆 上异于 的一点，若∠ = 90 ，则 的最大值为
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.抛物线 : 2 = 9 的准线方程为 ．
1 8
13.( + ) 的展开式中，各项系数的最大值是 ．
2
14.已知{ }是各项都为正整数的递减数列，若 1 + 2 + + = 100，则 的最大值为 ；当 取最大
值时， 1的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
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(1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
(2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
16.(本小题12分)
已知等差数列{ }的公差为 2，{ }是等比数列， 2 2 = 2 2 1 = 2 3 = 4．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)求数列{ + }的前 项和 ．
17.(本小题12分)
已知 的顶点 ( 1,0)， 边上的高所在直线 1的方程为 + 2 9 = 0，角 的平分线所在直线 2的方
程为3 + 7 = 0．
(1)求直线 的 方程；
(2)求直线 的方程．
18.(本小题12分)
已知数列{ }满足 1 = 2，当 ≥ 2时，( + 1) = ( + 2) 1 + 1．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{( 1) +1 }的前 项和 ．
19.(本小题12分)
2 2 3
已知 (2,0)是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的一个顶点，点(1, )是 上一点． 2
(1)求椭圆 的方程．
(2)若过点 (1,0)的直线 与椭圆 交于 ， 两点(异于点 )，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2．
(ⅰ)证明： 1 2为 定值．
(ⅱ)求| |的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
9
12.【答案】 =
4
13.【答案】7
14.【答案】13；14
15.【答案】解：(1)先排丙、丁、戊，有 33 = 6种站法．
再插空排甲、乙．有 24 = 12种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有6 × 12 = 72种．
(2)满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，则有2 × 33 = 12种站法．
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有2 × 2 32 3 = 24种站法．
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有12 + 24 = 36种．
16.【答案】解：(1)设{ }的公比为 ．

因为 = 2 2 3 22 2 2 1 = 4，所以 = = 2，故 = 3 = 2 ． 1
又 2 = 1, 2 = 4，所以 = 2 + ( 2) = 8 2 ．
(2)记{ }和{ }的前 项和分别为 ， ，则 = + ．
( 1)
又 = 6 + × ( 2) =
2 + 7 ，
2
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1
(1 2 )
= 2
1
= + 2
1，
1 2 2
1
所以 = 2
1 2 + 7 ．
2
17.【答案】解：(1)因为 边上的高所在直线 1的方程为 + 2 9 = 0，
1
所以直线 1的斜率为 ，直线 的斜率为2， 2
所以直线 的方程为 = 2( + 1)，即2 + 2 = 0．
3 + 7 = 0 = 1
(2)联立{ ，解得{ ，即 (1,4)．
2 + 2 = 0 = 4
设点 ( 1,0)关于直线 2对称的点为 ′( 0, 0)，
0 ( 3) = 1

所以{ 0
+1
,
0 1 3 + 0 7 = 0
2 2
= 5
解得{ 0 ，即 ′(5,2)．
0 = 2
1
直线 ′的斜率为 ，
2
1
所以直线 的方程为 = ( 1) + 4，整理得 + 2 9 = 0．
2
18.【答案】解：(1)当 ≥ 2时，( + 1) = ( + 2) 1 + 1，

即 1
1 1 1
= = ．
+2 +1 ( +2)( +1) +1 +2
2 1 1
设 =
，则 = , = ， ≥ 2， = ( ) + (
+2 1 3 1 +1 +2 1 1 1
2) +
+( 3 2) + ( 2 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) = ．
+1 +2 +1 1 4 5 3 4 3 +2
1 1 +1
所以 = 1 + = ( ≥ 2)． 3 +2 +2
+1
当 = 1时，也符合 = ， +2
所以 = ( + 2) = + 1．
(2)解法一： = ( 1)2 × 2 + ( 1)3 × 3 + ( 1)4 × 4 + +( 1) +1 ( + 1)，①
= ( 1)3 × 2 + ( 1)4 × 3 + ( 1)5 × 4 + +( 1) +2 ( + 1)，②
① ②得2 = 2 + ( 1)3 + ( 1)4 + +( 1)
+1 ( 1) +2( + 1)
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1
[1 ( 1) ]
+2 3 (2 +3) ( 1)= 2 + ( 1) ( + 1) = ，
1 ( 1) 2 2

3 (2 +3) ( 1)
所以 = ． 4 4
解法二： +1 = 2 3 + 4 5 + 6 + +( 1) ( + 1)．

当 为偶数时， = (2 3) + (4 5) + +[( 1)
+ ( 1) +1 ( + 1)] = ．
2
1
当 为奇数时， = (2 3) + (4 5) + +[( 1)
1 ( 1) + ( 1) ] + ( 1) +1 ( + 1) = +
2
+3
( 1) +1 ( + 1) = ．
2

, 为偶数,
2
综上， = { +3
, 为奇数.
2
= 2,
19.【答案】解：(1)由题可知{ 1 9
2
+ 2 = 1,
4
解得 = 2， = √ 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1．
4 3
(2)(ⅰ)证明：若直线 的斜率为0，则直线 与椭圆的交点为( 2,0), (2,0)，矛盾，
故直线 的斜率不为0，设其方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)．
= + 1
由{ 2 2 ,
+ = 1
4 3
消 得：(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
方程的判别式 = (6 )2 4(3 2 + 4)( 9) = 144( 2 + 1) > 0，
由已知 1, 2为方程(3
2 + 4) 2 + 6 9 = 0的解，
6 9
所以 1 + 2 = ， = ， 3 2+4 1 2 3 2+4

因为 1 =
1 ， 22 = ， 1 2 2 2

所以 1 21 2 = =
1 2 = 1 2
( 1 2)( 2 2) ( 1 1)( 2 1)
2 1 2 ( 1+ 2)+1
9
= 3
2+4 9
9 6 = ，为定值．
2 2 (
4
3 +4 3 2
)+1
+4
(ⅰ)| | = √ 1 + 2 × | 1 2| = √ 1 + 2 × √ ( 21 + 2) 4 1 2
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2
6 36 144( 2 + 1) 12( 2 + 1)
= √ 1 + 2 × √ ( ) + = √ 1 + 2 ×
2 √ = 3 + 4 3 2 + 4 2 2(3 2 + 4) 3 + 4
3 2+3 1
= 4 × 2 = 4 (1 2 )， 3 +4 3 +4
3 1 1 3
因为 ≤ 1 2 < 1，当且仅当 = 0时，1 2 取得最小值 ， 4 3 +4 3 +4 4
所以| |的最小值为3．
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