北京市北师大二附西城实验学校2024-2025学年九年级下数学开学测试卷(PDF版，无答案)

北师大二附中西城实验学校 2024—2025 学年度下学期开学调研
九年级数学
2025.02
1．本试卷共 7 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时
间 95 分钟。
注2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
意
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
事
项4．在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔
作答。
5．考试结束，请将考试材料一并交回。
一、选择题
1．二次函数 y 3 x 4 2 2的图象的对称轴是（ ）
A. x 4 B． x -2 C． x -4 D． x 2
2.下列图形中，不．是．中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列说法中，不正确的是（ ）
A．“a是实数， a 0 ”是必然事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币 100次，正面朝上的次数一定是 50次
C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
D．不可能事件发生的概率为 0
4.如图，在 O中，弦 AB，CD相交于点 P，若 A 35 ， APD 80 ，
则 B的大小为（ ）
A． 45 B．55 C．60 D．65
5. 2如果二次函数 y a x 1 k的图象经过点 P 2,3 ，
那么该图象必经过点（ ） 4题图
A． 1,3 B． 0,3 C． 1,3 D． 4,3
6.为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的
开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之
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间都要进行一场比赛，共要比赛 240场．设参加比赛的球队有 x支，根据题意，下面列出的
方程正确的是（ ）
A． x(x 1) 240 B． x(x 1) 240
1 1
C． x(x 1) 240 D． x(x 1) 240
2 2
7. 已知 BAC 60 ， AB 4， 以 B为圆心， AB长为半径画圆 B， 若点 C在圆 B内， 则
线段 BC的取值范围是（ ）
A．0 BC 4 B． 2 BC 4 C．BC 4 D． 2 3 BC 4
8.如图，抛物线 y ax bx c a 0 与 x轴交于点 A 1,0 和点 B，对称轴为直线 x 1，下
列结论：① abc 0；② 2a b 0；③3a c 0；④当抛物线沿着 y轴向下平移 1个单
位长度就可能经过点 3, 1 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8题图 9题图
二、填空题
9. 如图，在Rt△ABC中， C 90 ，那么 sin A的值为 ．
10. 2若关于 x的一元二次方程 x 4x a 0有两个相等的实数根，则 a的值是 ．
11.已知 y是以 x为自变量的二次函数，且当 x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述
条件的二次函数表达式 ．
12.如图，树 AB在路灯 O的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO 5m，树影 AC 3m，
树 AB与路灯 O的水平距离 AP 4.5m，则树的高度 AB长是______米．
13.如图，将 ABC绕点 A 顺时针旋转 42 得到 ADE，点 B的对应点 D恰好落在边 BC
上， 则 ADE ．
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12题图 13题图
14.已知一个扇形的弧长为5 cm，圆心角是 150°，则它的半径长为 cm，扇形的
面积为 cm．
15.如图，AB是 O的直径， PA，PC 是 O的切线，A ，C 为切点， BAC 30 ，PA 6，
则 AB的长为 ．
16.如图，以 G 0,1 为圆心，半径为 2的圆与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于C，D两点，
点 E为 O上一动点，CF AE于 F ，当点 E在 O的运动过程中，线段 FG的长度的最小
值为 ．
15题图 16题图
三、解答题
17. 解方程： x2 6x 3 0；
18.下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知： 如图 1， ABC．
求作： 直线 BD，使得 BD∥AC ．
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作法：如图 2
①分别作线段 AC，BC的垂直平分线 l1， l2两直线交于点 O；
②以点 O 为圆心，OA长为半径作圆；
③以点 A 为圆心， BC长为半径作弧，交劣弧 AB于点 D；
④作直线 BD．
所以直线 BD就是所求作的直线．
根据设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接 AD，
点 A, B, C, D在 O上， AD BC，
AD ① ．（ ② ）（填推理的依据）．
DBA CAB（ ③ ）（填推理的依据）．
19．已知关于 x 2的方程 2x 2m 1 x m 1 0
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一个正实数根 x1且 x1 2x2 10，求 m的值．
20.已知抛物线 y ax2 bx c a 0 图像上部分点的横坐标 x与纵坐标 y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 …
(1)求此抛物线的解析式，并画出图像；
(2) 结合图像直接写出当 021.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 4个，某学习小组做摸球
试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动
进行中的一组统计数据：
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摸球的次数 n 2048 4040 10000 12000 24000
摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012
m
摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
n
(1)请估计：当 n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 0.1)
(2)试估算口袋中白球有多少个？
(3)若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求
两次摸到的球颜色相同的概率．
7
22.在矩形 ABCD中， AB 8，点 G为边 AD上一点， AG 6，CE BG 于点 E，DG
3
(1)求证△ABG∽△ECB ；
(2)求证 E是 BG的中点．
23．如图，等边 ABC，在BC边延长线上取点 D，连接 AD，将线段 AD绕点 D顺时针旋转60
得到线段DE，连接CE，AE．
(1)求 ECD的度数；
(2)若 AB 6，CD 2，求DE的长．
24. 2023年 4月 16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获 9金 2
银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在 10米跳台
跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的
平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度 （单位：m）与水平距离
（单位：m）近似满足函数关系 = 2 + < 0 ．
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某跳水运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.6 2.0
m
竖直高度
10.00 10.45 10.60 10.45 10.00 5.20 1.00
m
①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 =
2 + < 0 ；
②运动员必须在距水面 5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失
误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为 1.6m，判断此次跳
水会不会出现失误，并说明理由；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度 与水平距离 近似满足函数关系 = 4.16
0.38 2 + 10.60．如图，记该运动员第一次训练的入水点为 A，若运动员在区域 内（含 A，
B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．
25.如图， ABC中， AB BC，以 AC为直径的 O分别交边 AB，BC于点D，E，过点A
作 O的切线交CB的延长线于点 F ．
(1)求证： AB BF；
(2)若 AF 8， cos BAF
4
，求
5 BE和DE的长.
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26. 2在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y ax 2ax 3 a 0 上有两个点 x1, y1 和
x2 , y2
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若对于 2 x1 3，m x2 m 1都有 y2 y1 ，求m的取值范围；
(3)若对于 2 x1 1， 2 x2 3都有 y1y2 0 ，求证：3a 3 0．
27.如图，在 ABC中， AB AC， BAC 90 120 ，D为 BC的中点，E是线段
CD上的动点（不与点C，D重合）．连接 AE，将线段 AE绕点A逆时针旋转 得到线段 AF ，
连接 EF交 AC于点G，过点 B作 AC的平行线交FE的延长线于点 H ．
备用图
(1)求证： ACF CBH；
(2)若M 为线段 FH 的中点，连接DM ，用等式表示线段DM 与 FG之间的数量关系并证明.
28．如图 1，平面中的线段 AB和直线 AB外一点 P，对于 P，A，B三点确定的圆，如果∠
APB所对的弧为优弧，我们就称点 P为线段 AB的“优关联点”．
如图 2，已知点O 0,0 ，C 2,0 ．
① 在点 P1 1,1 ， P2 2,1
1
， P3 ,
1
中，是线段 OC的“优关联点”的是 ；
2 2
② 如果直线 y x b上存在线段 OC的“优关联点”，直接写出 b的取值范围． 图 1
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